Kannst du diese Aufgabe aus China lösen? 🇨🇳

bist du bereit herauszufinden ob du das Zeug hättest an einer der topuniversitäten Chinas zu studieren mach dich bereit denn diese mathematik aufgabe aus China hat es wirklich in sich obwohl sie mit dem Wissen aus der Mittelstufe machbar ist die Aufgabe stammt aus dem Gao von 2022 der gaoko ist die Hochschulaufnahmeprüfung in China die über die Zukunft der Schüler entscheidet und eine große Bedeutung im chinesischen Bildungssystem hat okay genug vorgeplenkel wie lautet denn n die Aufgabe wir betrachten diesen Term hier deine Aufgabe steht darin herauszufinden welcher Koeffizient vor x² y hoch 6 steht wenn man den Term ausmultipliziert und zusammenfasst wie du dir sicherlich denken kannst sollst Du hier durch Nachdenken auf die Lösung kommen und nicht durch stumpfes ausrechnen es ist also verboten so etwas wie X + y hoch 8 konkret auszurechnen schauen wir uns aber am besten erstm an wie sich dieser term hier zusammen setzt wir haben hier etwas das so ähnlich wie eine binomische Formel aussieht nur das im Exponenten 8 statt 2 steht das ist aber kein Problem denn damit können wir umgehen es gibt da nämlich den sogenannten binomischen Lehrsatz der besagt dass A + B in Klammer hoch n = der Summe von N über K mal a hoch n- K mal B hoch K von K =0 bis N ist Moment bitte was nun schauen wir uns das am besten mal für N = 2 an dann halten wir nämlich die erste binomische Formel die du bestimmt schon kennst wir leiten Sie uns nun aber exemplarisch einmal mit dem binomischen leersatz her dazu setzen wir für n = 2 ein und erhalten A + B in Klammern hoch 2 ist die Summe von 2 über K mal a hoch 2- K mal B hoch K von K = 0 bis 2 die Summe auf der rechten Seite entspricht 2 über 0 mal a hooch 2 - 0* B hoch 0 + 2 über 1 mal a h 2 - 1* B ho 1 + 2 über 2* a h 2 - 2 mal B ho 2 das ist = 2 über 0* a² B hoch 0 also a² + 2 über 1* a ho 1* B ho 1 also mal ab + 2 über 2 mal a hoch 0 mal B hoch 2 also B hooch 2 was sind aber diese 2 über 0 2 über 1 und 2über 2 nun allgemein gilt n über K ist nfakultät geil K Fakultät mal n- K Fakultät oder anders ausgedrückt wie viele Möglichkeiten hat man um aus nelementen K Elemente ohne Zurücklegen zu ziehen wir haben eine möglich keit um kein Element aus zwei Elementen zu ziehen nämlich einfach keines zu ziehen wir haben zwei Möglichkeiten um ein Element aus zwei Elementen zu ziehen nämlich einmal das eine und einmal das andere und wir haben eine Möglichkeit um zwei Elemente aus zwei Elementen zu ziehen nämlich indem wir einfach beide Elemente ziehen dadurch erhalten wir die uns bekannte binomische Formel A + B in Klammern zum Quadrat ist a² + 2 ab + B Quadrat dieses Wissen hilft uns schon einmal dabei den Koeffizienten zu ermitteln der vor x hooch 2 y hoch 6 steht dazu später mehr X + y in Klam hoch 8 ist also zu bendigen es bleibt also noch die Frage wie wir mit dem Faktor 1 - y x umgehen sollen nun wir können den ausmultiplizieren also 1 x X + y K h 8 - y dur x mal X + y in Klam hoch 8 von diesen beiden teiltermen werden wir nun mit Hilfe des binomischen Lehrsatzes den Faktor vor dem x² y hoch 6 ausrechnen danach können wir sie voneinander abziehen und erhalten das Ergebnis warte dazu ersetzen wir vorher aber alle A's und BS in der Formel hier durch XE und Y schon viel besser wie bereits erwähnt wenden wir den binomischen leersatz auf X + y in Klammern hoch 8 an n ist ja offensichtlich 8 bei A + B in Klam hoch 2 war das N = 2 das heißt n steht immer im Exponenten wir sind aber nur an x hoch 2Y hoch 6 interessiert was müssen wir also für K einsetzen um auf x hoch 2 y hoch 6 zu kommen nun das K ist ja der Exponent vor dem y das heißt für K = 6 und N = 8 erhalten wir 8 über 6 mal x hoch 8 - 6 mal y h 6 und das ist 8 über 6 mal x hoch 2 mal y hoch 6 und was ist 8 hooch 6 na ja das ist die Anzahl der Möglichkeiten aus Elementen se Elemente ohne Zurücklegen zu ziehen mathematisch betrachtet bedeutet das 8 x 7 x 6 Fakultät geil 6 Fakultät mal 2* 1 falls sie nicht klar sein sollte wie man darauf kommt dann schauut dir gerne noch mal mein Video zu den Fakultäten an hier können wir die sechs Fakultät übrigens kürzen und erhalten als Ergebnis 8* 7 ge 2 x 1 das ist 56 dur 2 und das ist 28 okay wenn wir jetzt X + y in Klammern hoch 8 ausrechnen würden dann würden wir am Ende also 28 x hoch 2 y hoch 6 irgendwo dort stehen haben und wie machen wir das bei dem zweit Faktor da steht do noch dieses y ge dur x davor was die Sache etwas erschwert nun eigentlich nicht wirklich denn wir wollen am Ende ja wieder auf x hoch 2 y hoch 6 kommen um den Koeffizienten davor zu bestimmen da wir im Zähler ein Y und im Nenner ein X stehen haben müssen wir den Term x hoch 3 y hoch 5 betrachten und davon den Koeffizienten bestimmen warum na weil y x mal x H 3 y hoch 5 = x H 2 y h 6 ist das X wird nämlich einmal rausgekürzt und das Y was oben im Zähler steht wird mit dem y hoch 5 multipliziert und welches K müssen wir jetzt wählen um den Koeffizienten von x hoch 3 y hoch 5 zu berechnen ganz einfach der der über dem y steht also K = 5 dadurch erhalten wir 8 über 5* x H 8- 5 mal y h 5 und das ist 8 über 5 mal x hoch 3 mal y hoch 5 und was ist 8 Hof 5 ja das wer die Anzahl der Möglichkeiten aus acht Elementen fünf Elemente ohne Zurücklegen und ohne Betrachtung der Reihenfolgen zu ziehen und mathematisch betrachtet bedeutet das 8 x 7 x 6 mal 5 Fakultät geil 5 Fakultät mal 3* 2 mal 1 hier können wir die fün Fakultät kürzen und erht 8* 7 x 6 ge 3* 2* 1 und 3* 2 x 1 entspricht ja 6 das heißt wir haben 8 x 7 und das ist 56 okay wenn wir y x mal X + y Klammer hoch 8 ausrechnen würden dann würden wir am Ende also 56 mal y x mal x ho 3 mal y h 5 bzw 56 x H 2 y ho 6 dort stehen haben perfekt alles was wir jetzt noch tun müssen ist 28 x H 2 y 6 und 6 x H 2 y 6 voneinander zu subtrahieren das geht weil wir beide Male x hoch 2 y h 6 dort stehen haben als Ergebnis erhalten wir also -28 x H 2 y h 6 der Faktor vor dem gesuchten x hoch 2 y h 6 lautet also 28 fertig das war's schon wie fandest du die Aufgabe hättest du sie lösen können interessieren dich weitere Aufgaben aus dem Gao schreib deine Antwort gerne unten in die Kommentare vielen Dank fürs zusehen und bis zum nächsten Video