Algebra: Einstieg in Restklassen

also wir haben uns bislang mit den deckabbildungen von Vielecken beschäftigt und habe uns dort angeschaut wo sind da Gruppen zu finden wir gehen jetzt mal einen komplett anderen Bereich rein und zwar in den Bereich der Restklassen wie fit seid ihr in Zahlentheorie gar nicht aber im ersten Semester habt ihr glaube ich in der Arithmetik ein bisschen was davon gemacht oder Restklassen was war das noch mal wer von euch kann mit dieser Schreibweise was anfangen a ist kongruent B modulo m was bedeutet das ja meine B a nee aber fast fast B teilt nicht a nee also diese Schreibweise hier hat was zu tun mit der Division durch M a kongruent B modulo m bedeutet die Zahlen A und B lassen denselben Rest bei der Division durch M also Beispiel wir rechnen modulo modulo 5 wir teilen also durch 5 und ich schrei hier mal die zwei hin welche zahlen müsste hier stehen oder könnte hier stehen welche Zahl lässt bei der Division durch 5 auch den Rest 2 ja 12 z.B 12 Konkurenz 2 Mod 5 ne oder 7 kongruent 12 modo 5 und so weiter also die Schreibweise bedeute ich habe zwei Zahlen die dividiert durch das Modul hin die gleiche den gleichen Rest lassen oder anders formuliert wenn ich die Differenz der beiden Zahlen Bilde dann ist die durch 5 teilbar ne 12 - 2 ist 10 ist durch 5 teilbar oder hier 7 - 12 ist -5 ist auch durch 5 teilbar wenn die beide den gleichen Rest lassen und ich so voneinander abziehe zieh ich den Rest vom Rest ab und das was übrig bleibt ist durch F teilbar das ist die modulo Schreibweise das ist eine Relation zwischen zwei Zahlen 12 steht in Relation zu 2 modulo 5 weil beide denselben Rest lassen wenn man durch 5 dividiert und jetzt kan man ze ich will jetzt nicht zu tief in die Zahlentheorie einsteigen brauchen wir gar nicht kann man zeigen dass das eine äivalenzrelation ist und die ganzen Zahlen werden in Äquivalenzklassen eingeteilt also alle Zahlen die denselben Rest lassen bei Division durch 5 sind in einer dieser Klassen bilden eine Klasse ja welche Reste können dann übrig bleiben ja 0 1 2 3 und 4 das sind die möglichen Reste ne und in der Restklasse der Restklasse 0 sozusagen ne die wird gebildet von allen zahlen die bei Division durch 5 0 Rest lassen also 15 15 20 25 30 auch ins Negative -5 - 100 -1 und so weiter okay das heißt bei der Division durch 5 habe ich f Restklassen und wir schreiben R5 für die Menge aller Restklassen so bei der Division durch 7 habe ich 7 Restklassen von 0 bis 6 okay und jetzt kann man auf dieser Menge eine Addition definieren ich kann die addieren miteinander und die Addition schreiben wir mal mit so einem Kringel plus und was passiert wenn ich die Restklasse 2 addiere zur Restklasse 4 was kommt dann raus ja Restklasse 1 ja vielleicht in erster im ersten Schritt erstmal die Restklasse 6 ja und das ist halt dasselbe dieselbe Klasse wie die Restklasse von ein ne die Restklasse 1 und die diese addition da kann man sozusagen folgende Definition ähm wählen wenn man zwei Restklassen hat und die restklassenmäßig addiert dann ist das dasselbe als wenn ich erst die beiden Zahlen addiere in den ganzen Zahlen und dann die Restklasse Bilder eure Aufgabe zur Vorbereitung der nächsten Woche ist es euch Restklassen mit der Restklassen adddition anzuschauen und man können jetzt ja gucken Restklasse z.B Restklassen modulo 5 mit der Addition ist das eine Gruppe oder nicht und ich habe euch dazu Aufgaben gestellt in Moodle habe ich gerade eben freigeschaltet das sind drei Aufgaben glaube ich wo ihr euch mal genau anschaut wie verhält es sich mit Restklassen und der Restklassen addition finden wir da Gruppen oder sind es keine Gruppen okay gibt's Fragen von eurer Seite dazu falls euch noch unklar ist wie das mit restlassen ist könnt ihr gerne no mal in euer altes arithmetiksript reinschauen oder mal googelen um euch da noch mal ein bisschen stärker einzudenken wie sich das mit Rest en verhält und ähm ja dann besprechen wir nächste Woche die Ergebnisse und gehen dann über zum Thema Isomorphie alles klar dann bis nächste Woche