1. binomische Formel: Ikonischer Beweis

Wir beweisen die drei binomischen Formeln ikonisch. Das bedeutet ein ikonischer Beweis. Wir machen das Ganze bildhaft, also anhand von Bildern, anhand derer man versteht, warum die binomischen Formeln gelten. Wie lautet denn die erste binomische Formel? Schreiben wir die gerade mal auf. Erste binomische Formel, a plus b zum Quadrat. Das ist noch nicht die binomische Formel. a Quadrat plus 2ab plus b Quadrat. Genau. Das ist die erste binomische Formel. Und wenn ich euch jetzt sage, beweist die mal. Wie würdet ihr da rangehen mit cool Know-how? Wie würde man das beweisen? Kannst du das Mikro weitergeben? Einfach a plus b mal a plus b. Genau. Man kann es formal beweisen. a plus b zum Quadrat ist gleich a plus b mal a plus b. Dann muss man alles mit allem multiplizieren. Also dann haben wir a Quadrat plus ba plus ab plus b Quadrat. Und wenn man das zusammenfasst, hat man a Quadrat plus 2ab plus b Quadrat. Das wäre ein formaler Beweis, algebraisch durch Termumformungen. Wir haben durch Äquivalenzumformungen diesen Term umgeformt in diesen Term. Das kann man machen, aber man arbeitet hier auf einer sehr abstrakten Ebene. Man kann sich das nicht so richtig vorstellen. Und hier kann man vielleicht auch den ein oder anderen Fehler machen, dass man es versehentlich statt plus mal geschrieben hat und so. Und man kann sich das eigentlich nicht richtig vorstellen, was damit gemeint ist. Im Gegensatz dazu kann man bei ikonischen Beweisen einen Beweis führen, der sozusagen die Anschauung, also die bildhafte Struktur des Sachverhalts mit einbezieht. Und man sieht an einem ikonischen Beweis, warum etwas gilt, direkt an der Anschauung. Manchmal muss man da noch ein paar Sachen dazu sagen oder so. Also man sieht manchmal nicht direkt am ikonischen Beweis. In der Regel muss man dann noch erklären dazu, wie man das meint mit dem Bild oder so. Aber oftmals sieht man es auch direkt. Und das machen wir jetzt auch bei der ersten binomischen Formel mal. Und zwar versuchen wir das mal geometrisch zu deuten. A plus B zum Quadrat. Angenommen A und B sind Längen. Ja, ich habe hier eine Länge A und eine Länge B. Was ist denn geometrisch dann A plus B? Ich hätte jetzt gesagt, man setzt einfach beide Längen nebeneinander zusammen. Genau. Die Verknüpfung der Längen A plus B könnte man sagen. Man legt die aneinander. Dann habe ich hier B, da habe ich A. So, okay, A plus B. Jetzt habe ich eine Länge, eine Strecke der Länge A plus B. Was bedeutet A plus B zum Quadrat geometrisch? Was bedeutet es, Längen zu multiplizieren? Dann kommt ein Quadrat draus, weil wir sie dann sozusagen viermal nehmen. Also einmal noch runter und dann haben wir jetzt nochmal A plus B. So, okay. Also jetzt haben wir sozusagen ein Quadrat mit der Seitenlänge A plus B. Und A plus B Quadrat ist dann was? Was kommt da raus? Eine Länge oder was anderes? Ich hätte jetzt gesagt eine Fläche. Genau, der Flächeninhalt kommt raus. Der Flächeninhalt des Quadrats. Also der Flächeninhalt dieses Quadrats ist A plus B zum Quadrat. Die Seitenlänge ist A plus B zum Quadrat, ist der Flächeninhalt dieses Quadrats. Wie kann ich jetzt anhand dieses Bildes die erste binomische Formel beweisen? Also ich könnte mein großes Viereck jetzt im Prinzip aufteilen in kleinere Flächen. Genau. Und dann quasi den Flächeninhalt von dem großen Viereck berechnen, indem ich den Flächeninhalt von den kleinen Flächen addiere. Genau. Das nennt man Zerlegung. Ich zerlege das große Quadrat in Teilflächen. Und wenn ich die Teilflächeninhalte jetzt addiere, dann muss ich ja den großen Flächeninhalt erhalten, den Gesamtflächeninhalt. Wie groß ist denn der Flächeninhalt dieser linken oberen Fläche? Da haben wir A Quadrat. A Quadrat. Okay. Wie groß ist der Flächeninhalt der rechten unteren Fläche? B Quadrat. Und dann haben wir noch A mal B. Hier haben wir A mal B. Und B mal A oder auch A mal B. Ja, auch A mal B. Und jetzt sieht man, der gesamte Flächeninhalt ist A Quadrat plus 2 mal A mal B plus B Quadrat. Das ist ein ikonischer Beweis der ersten binomischen Formel. Schön, gell?