一度聞いたら忘れない区分求積法の授業
はいこんにちはえ今回は区分休石法に色が
ついて見える授業をしていきたいと思い
ますえ区分休石法と言えばねえ数学3で
習うやつなんですけどえまず式を見ちゃう
とこうやって説明されるんですねこれが
区分旧積法の式ですよとまあこの式を
初めて見てね思うことはもうよくわからん
の一言ですよねえこの式を初めて見て最初
からああなるほど分かりやすいと思った人
はねえまあ超天才か何も分かってないかの
どっちかと思いますえ自分自身もですね
高校生の思い出すとこの式初めて見た時に
もうね記号の羅列に見えて1個1個が何
言ってるかわかんなかったですだってなん
かねリミット出てきてマ出てきてFの括弧
の中にXじゃないやつ入ってるしもうわけ
が分かりませんという風になってましたえ
ただしっかりと意味を理解すればこの式も
ですねえ可愛く記号1つ1つに意味があっ
てすっきりと理解できるようになりますえ
この状態をですねえ僕は色がついて見える
状態と言ってるので今回はこの区分休石法
に色がついて見える授業をしていきたいと
言ってわけですえこの授業はですね最後
まで聞いてくれた暁月にはですねしっかり
と意味がえ意味が理解できてもう惰性席
もってね家飛び出したくなるぐらい興奮し
てると思いますえ旧石法だけにねはいと
いうわけでやっていきたいんですがまず
ですねちょっと概要を使みましょう区分
求積法の式え見てみてくださいこれはです
ね左辺がリミットが入った極限の式になっ
てます
極限そして右辺が積分の形になってますね
ま数学的に正しく見ればですねまこれは別
に積分そのものじゃんってなるんですけど
もえこと受験においてどういう風にこの式
を使うかというとえ難しくてややこしい
極限の問題が与えられてる時にそれを簡単
な形の積分に直すえ手法の1つとして使え
ますもう1回言いますね極限の問題を積分
に置き換えて簡単に解くためにこの区分
求積法を使いますまそんな式なんですが
しっかりとですね式の意味が分かってない
えとそもそもおそらくこの形をまいわゆる
覚えることも難しいと思いますで実際に
頑張ってこの形を覚えてもですねえ少し形
が変わった瞬間にえ全くですねわ訳が
分かんなくなってしまうて人が多いのでえ
この式を単にね丸暗期にしても意味ないか
なと思いますなのでしっかりとねこの意味
を理解していきましょうえではですねそれ
を理解するために今この図を使いたいん
ですがえこの図見てみてくださいえx軸y
軸があってでY=FXの関数のグラフが
ここに書いてありますと
で一旦この式忘れてもらって単純にここ
だけ集中して引いててくださいえまず始め
にですねこのXが0から1の区間があるん
ですがこれをN等分したいと思いますえ
つまりこんな
感じはいN等分した場所にメモリを振って
みましたNは普通にえ何でももいいですN
等分してみました
1/という風に書いてみたえそしてですね
こんなことをしてみますXが1の時のこの
Y=FXのえY=FXのyの値を見たいと
そう思ったら別に縦に伸ばしてぶつかる
場所のY座標を見ればいいですねなので
1/の場所から縦に線伸ばし
ますはいそこのぶつかった場所のY座標が
このま縦の長ささんまYこれFXのyの値
ですよねで今ちょっと四角形っぽいものが
できそうなので赤囲ってみたいと思い
ますはいえ何やってるかまだ全然分かん
なくていいのでこういう風な四角形を作っ
てみてくださいでちょっとあの塗ってみ
ましょう見やすいようにはい塗ってみまし
たそしてこの四角形に注目すると今この
四角形の縦の長さが何になってるかって
言うともちろんXに1/を入れた時のYの
座標の値なのでこれ
はFの1/っていう縦の長さになってるん
ですよねえおそらく多くの高校性はこの
FXっていう形のこのXの場所にX以外を
ねあまり入れたことがないと思うんですが
ま入れたことがあってもなんかAとかBと
かってね一文字だったと思うんですがえ
1/を入れた時のこのy座標の値はこう
いう風に書くことができますよねえ少しに
びっくりするかもしんないけどもXの場所
にNを入れてるだけとえしっかりと理解し
てみてくださいとりあえず大事なのはこの
赤色の四角形の縦の長さがFの1/だと
いうことそしてこの四角形の横の長さが
何かと言うと横は普通に1/ですよ
ねはいこれで四角形が縦の長さと四角え縦
の長さと横の長さが分かったとでこれの
面積をちょっと書いてみたいと思います
面積を書いてみますちょっとこれ黄色で
書いたんでここ黄色にします
ねこの四角形の面積を書いてみると
もちろん縦かる横でいいの
ではいまこうですよね普通にFの1/か
1/がこの赤色の四角形の面積になってる
と
はい気持ちが分かりやすいように赤色の
四角で囲ってみました次にですね同じよう
なこと考えますXが2の時のこのY=FX
のyの値何かって言うともちろんこれは線
を伸ばし
てぶつかる時のY座標の値なんですが
こんな四角形書いてみ
ましょうぶつかった場所からXが1の場所
まで線を伸ばしてで縦にバーっとまた
引き直してあげてここにも新しい四角形を
作ってあげますまなのでねこの図で見ると
ね少しだけこの辺りはねY=FXにも上に
飛び出てる部分なんですけどもこういった
四角形をえ作ってあげるとこの四角形の
面積もさっきと同じように考えてみ
ましょうえまずこの横の長さは1/から
1/進めば2/なのでさっきと同じ幅N
です
ねまこれは当然ねだってさっきN等分した
わけだからこの1個の四角形の幅は変わり
ませんと縦の長さが変わってますねさっき
とちょっとだけずれてるのが見えると思い
ますこの縦の長さが何かと言うとこれは
もちろんいいとぶつかる場所のY座標なの
でXに2/を入れた時のこのFのえ2です
よねなのでここ
ははいこうですだから2つ目の赤色の
四角形の面積は何かというと
はいこうなります別にこれは不思議じゃ
ないですよねこれをちょっと足し合わせて
おきましょうなので今この赤色で
塗りつぶしてる部分の面積の合計になって
ますここでもう1つやってみましょうえ
くいかもしれませんが最終勉強する時は
くどいぐらいがちょうどいいですなのでえ
我慢して引いてください3の場所のY座標
の値はというと結構手前でぶつかりますね
この図だとここでさっきみたいに手前の
場所まで線伸ばしますで四角形を作って
あげるそうするとこれは横の長さ幅は
さっきと同じ1/から1進めば3なので
これ
1/で縦の長さが何になってるかって言と
縦の長さは3入れてぶつかった場所のY
座標の値が縦の長さのはずなの
でこうですねこの3つ目の四角形の面積も
書いてみます
はい書いて足し合わせてみました今この3
つの合計ってのはあの赤色の面積の合計に
なってますこれを4でも5でも1でも全部
やりますで最終的にこの1の場所1って
いうのはこれはNNって書けますよ
ねはいN最後なわけですnnここも同じ
ようにやってきて最後の場所でもちょっと
絵を書いてみ
ましょうnnつまり1の場所でぶつかる
とこ見てあげて1個手前のとこまで線
伸ばして
あげるで四角形を
作るこいつの面積を考えてあげると幅は
1/
でえ縦の長さ
がFのnnですよねだからずっとここでも
え同じことをしますNでもやって最後にn
nまで全部足し合したらどうなるかって
いうとこうかけます
ねはいこんな風にかけるはずです
めちゃくちゃ端っこになっちゃってね映っ
てるか怖いんで一瞬チェックし
ますはい無てましたねえこういう風に1番
目から23点てNまで全部足し合わせて
ますなのでここには書いてないけど本当は
これ赤色の系だらけになってるはずですえ
それを点点で省略しています点点で省略し
てるはいえこれねいっぱい輪の形に並んで
しまってるけどもシマっていう記号を使え
ば綺麗にまとめられそうですよねマで
まとめてみたいと思います
イコールはいこう書けば良くないでしょう
かまこのKの位が123点点Nまで動いて
全部足し合わせるんだからFのKN1って
書いてこのKを1からNまで動かしなさい
と書けばいいですよね動くのはこのKです
動く範囲は1からNこれ見ながらだったら
分かると思わますという風にえまとめて
表すことができましたとでも今回やりたい
のはこれの極限取ったやつなんですよね
よく見るとこの形ってのはこのの区分急積
法の左辺のここに現れてます若干ねなんか
1/の場所が違うじゃねえかってね起こり
たくなる気持ち分かるんですが11っての
は別にこれシの外に出しても同じですよね
だって動くのはこれKなので別に1/は前
にくってしまってもえ構いませんなので
1/前に出した形つまり全くこれと同じ
ものがですねここに入ってます極限の右側
になってるだからこれこの極限を取ること
がですね今回やりたいことなんですがえそ
を書いてみたいと思い
ますはい式の形で書いてみましたでどんな
極限を取ってるかっていうとNを無限大に
しなさいって言ってるんですよねNを無限
打にするってこはこれさっきN等分した
けどもこれをもっともっと無限に細かく
分けなさいって言ってるんですね今Nが
適当にねえ適当な何かの値なのでこういう
風になんか幅があるけども無限に大きくし
たらこれもっともっと小さくなりますよね
この四角形の単座みたいなやつも
めちゃくちゃもっと細かくなっていくはず
です細かく細かく無限に細かくしてくと
どうなるかというえ言うとこれはもう想像
してもらえばいいんですがこうなるはず
ですよねこれがどんどん細かくなるNが
無限大になる
とこれは
Y=FえY=FXの0から1の区間のこれ
面積になりますよね今これ1個1個のこの
四角形長方形の面積の合計とこれは一緒
じゃないはずです無限代取る前はだって
ちょっとはみ出ちゃったりしてるしねなん
ならここ足りてないしめちゃくちゃはみ出
てるしなので面積は同じじゃないかもしれ
ないけども無限に細かくしてくと綺麗に
そういうえ少しずれてしまう部分が
どんどんどんどん消えていって無限にNを
大きくするとその図れもですね完璧に
なくなってこれと同じになるはずですなの
でこういう風にあるものを足し合わせた
実際に今回は四角形長方形の面積を
足し合わせていったものが積分になるって
言ってるんですねこれで極限と積分の関係
が分かりましたとえなのでこれはこれに
等しはい積分に変わりましたえなのでえ
今後はですねこの式をこう見て欲しいって
いう話をえ書いますこれは縦の長さだと
思ってほしいこの長方形の縦の長さそして
1/はこれ1個1個の長方形の横の長さ
ですその1個1個の小さい長方形を
足し合わせてくださいと言ってます
足し合わせて
くださいはい足そしてL無限大でこれは
細かくしてくださいって言ってるんです
ねはい区分積法の難しいのは左辺ですが
こっちはま簡単な積分の形なんで左辺の
意味は赤い長方形を縦かける横の長さで
作ってください面積書いてくださいそれを
足し合わせてってくださいそのままだと
面積普通のここで囲まれる区間の面積とは
ずれてしまうので無限に細かくして
くださいねそうすれば綺麗に埋まっていっ
て積分と同じになるでしょうと言ってるの
がですねえ区分急積法の式の意味になり
ますで今ここではですねえ授業なので
分かりやすいように本当に式の色を変えて
ねKと変えてここに丸とかしちゃってね
さっきえ分かりやすく動くものとこの
変わらない一定の幅色変えてみてますが
これが別にえ自分が持ってるシャーペンと
かボールペンで書いても色がついてるよう
に見えるになって欲しいんですねもうえ1
回分かった人に取ったらこの式見た瞬間に
はいはいこれが幅でこれが軽が動いてくる
のねっていうこれとこれで面積ねって風に
は見えるんですがえ皆さんは今後ですね
これを思い出して単にこの式の暗記では
なくてですねえこの式の意味がこういう風
になってるとえイメージして色がついてる
ように見えるようになってくださいでま
これでおしまいでも構わないんですが
しっかりと理解すればこの形の変形した
バージョンもすぐにえ考えることができる
すぐに問題解く時に使えるよという話を
最後にしてみたいと思います応用編
[音楽]
ですでは発展としてこんな形の極限を考え
てみたいと思いますえ今からやりたいのは
この極限のの形を何らかの積分の形に
置き換えることとえいう問題なんですがま
単純に区分休石法の式を丸暗期してるだけ
だとこれもう大パニックなんですよねもう
パニパニパニックになりますなんか
スタート地点も違うしゴールも違うとどう
したらいいんだなんか少なくても01じゃ
なさそうだけどなんだなんだってなると
思うんですけど意味がしっかりと理解でき
てる人だったらですねえこれすぐに積分に
直すことができますちょっと丁寧に考えて
みましょうさっきみたいなえ図を書いてみ
ますね
はい書いてみましたでK=N+1から3N
なのでこの括弧の中に入る最初のやつって
いうのはK2N+1を入れたやつだ
からNN+1つまりこれ
は1+1/ですよねえだから適当なとこ
ちょっと1としてこの1つ先ここ
を1+1だとしましょうとだからこのKが
N+1の時このFのNN+1下1/が何
言ってるかって言うとここの部分の赤色の
面積ですよ
ねここですよねで次にえここに1追加すれ
ばいいからK=N+2の時はこの括弧の中
が何になってるかって言う
ともちろんこうでこれは
1+2なの
でこっからさらに1/だけ追加したここの
場所の面積が1/とかけて現れてる
とはいそうですねまもう最初の方は分かっ
たのでじゃゴールを考えてみましょう最終
的にはこっから1ずつ追加されてKが3N
までいくんですねKが3Nの時このはえ
括弧の中何になるかって言うと3Nで
もちろん
3になりますなので最後に書けばいいのは
3です
ね3なのでFの3下1/ってのはここの
部分の赤色の
面積はい途中はねえ点点点でこれ省略し
ますがこういう赤色の長方の面積が
たくさん足し合わせられているのがこの
リミットの手前の部分とでこっからN無限
大でもっとこの長のえ長方の幅をえ細かく
しなさいよって言ってんのねバーって
細かくしたら最終的にどの面積と同じに
なるかというとここですよ
ねはいこのY=FXの1から3までの区間
の面積と等しくなっていますよとなので
これ
ははいこう表すことができるとちょっと色
で説明追加しておくと単純にこの長方形の
面積がここ
この合計がこれで無限に細かくすればこの
面積と同じになってる
という話ですねといった具合にしっかりと
式の意味が理解できてればこのグの
スタートとかゴールとかあるいはもう括弧
の中のねえ形が通常のあの公式の形と
違くてもすぐに対応ができるはずですなの
で是非ですね今後はしっかりと意味を理解
して区分求積を使っていってみてください
ではまた別の授業動画でお会いしましょう
さよなら
届けこんな声を何個連でも超えてなって何
度たっ
て
描き直すよ
立ち尽くす方が痛いからさ