Primzahlen

Ja, ich würde gerne mit euch über Primzahlen diskutieren. Primzahlen sind so ein schöner Bereich, so eine schöne Menge, die MathematikerInnen fasziniert. Und auch viele Menschen, die am Anfang über Primzahlen nachzudenken, werden relativ schnell in ihren Bann gezogen. Ich habe hier schon mal ein Blatt vorbereitet, natürlich. Okay, ich würde gerne mal mit euch überlegen, was eine Primzahl ist. Und zwar würde ich jetzt gerne mal eine andere Struktur der natürlichen Zahlen anschauen. Jetzt schauen wir uns mal die multiplikative Struktur an, okay? Und zwar schauen wir uns erstmal keine Primzahl an, sondern nehmen wir mal die Zahl 12. Angenommen, ihr habt zwölf Quadrate, zwölf kleine Quadrate und möchtet die in einem Rechteck anordnen. Wie könntet ihr zwölf Quadrate in einem Rechteck anordnen? Habt ihr da Ideen? Drei mal vier, schreibt Theo Fried, genau. Oder werden schon alle möglichen Ideen geäußert, genau. Also zum Beispiel drei mal vier. Das ziehe ich mal hier hin. Drei mal vier, okay. Kann man sich das vorstellen als so ein Kuchenblech oder so, Streuselkuchen oder irgendwas in der Art. Zwölf Stück Kuchen. Wir haben vier Personen und jeder von denen kriegt drei Stück. Drei mal vier ist zwölf. Das ist eine multiplikative Struktur der Zahl zwölf. Und es gibt noch andere Möglichkeiten. Zwei mal sechs wurde hier geäußert, genau. Zwei mal sechs. Ich zeichne es mal ein bisschen größer hier. So ein anderes Kuchenblech. Sechs Personen und jede Person kriegt zwei Stück, sind auch zwölf. Das sind keine Quadrate. Sehr schön. Ja, ja. C.C. Vormann, du hast vollkommen recht. Das habe ich jetzt hier auf die schnelle Skizze ein bisschen hingekriegt. Aber ihr könnt euch das vorstellen. Das sind von mir aus halt zwölf Rechtecke, kleine. Okay, das heißt, wenn wir die Teile der zwölf mal hinschreiben wollen, daraus können wir die Teile der zwölf hier schließen. Also hätten wir die drei und die vier als Teile und die zwei und die sechs. Das sind die Teile der zwölf. Schreiben wir mal so hin. Und einmal zwölf geht auch. Ich will es jetzt nicht so lang zeichnen. Machen wir mal nicht verhältnismäßig hier, verhältnisgetreu. So, das müssten zwölf sein. Eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben, acht, neun, zehn, elf, zwölf. Genau. Einmal zwölf. Das schreibe ich mal hier oben hin. Also wir sehen, die Zahl zwölf hat verschiedene multiplikative Strukturen. Jetzt sind wir bei anderen Strukturen von natürlichen Zahlen. Man kann sie als Produkt von zwei natürlichen Zahlen schreiben. Drei mal vier, zwei mal sechs und einmal zwölf. Und da können wir die Plättchen jeweils immer anders hinlegen. Und es sind immer zwölf. Also ihr könnt euch jetzt vorstellen, ich habe jetzt gerade keine Plättchen hier. Aber ihr könnt euch vorstellen, dass man die Plättchen hier nimmt und umsortiert. Und dann kann man die so hinlegen. Und dann kann man die nochmal umsortieren. Dann kann man die so hinlegen. Okay. Man könnte sie auch zu vier mal drei oder sechs mal zwei oder so legen. Aber das ist ja nichts anderes, als hätte man das, was man jetzt hingezeichnet hat, nochmal um 90 Grad gedreht oder so. Oder man hat den Kopf gedreht. Das ist praktisch dieselbe Struktur, könnte man sagen. Dieselbe multiplikative Struktur. Okay. Und jetzt schauen wir uns mal vielleicht folgende Zahl an. Die Teiler der sieben. Welche multiplikative Struktur hat denn die Zahl sieben? Denkt mal nach. Einmal sieben schreibt Frettchen. Alle schreiben einmal sieben. Okay. Also ich kann jetzt hier sieben Plättchen nehmen. Und eins, zwei, drei, vier, fünf, sechs, sieben. So. Einmal sieben. Nur eins schreibt Mathe. Z-Man. Genau. Einmal sieben. Gibt keine andere. Es gibt nur eine einzige Möglichkeit, sieben Plättchen hinzulegen. Ah, Nuclea. Minus eins mal minus sieben. Ja, sehr gut. Genau. Lass uns mal in den natürlichen Zahlen bleiben. Also nur den positiven oder den nicht negativen ganzen Zahlen. Ab null können wir schon denken. Aber wir bleiben mal im nicht negativen Bereich. Und da gibt es tatsächlich nur eine Struktur. Einmal sieben. Gibt nur die. Und alle Zahlen, die genau zwei Teile haben, wie die sieben. Die sieben hat genau zwei Teile. Eins und sieben. Das sind die Primzahlen. Da hat man eine schöne Vorstellung von Primzahlen. Man kann natürlich eine abstrakte Definition von Primzahlen nehmen. Aber das ist eine Vorstellung, eine tragfähige Vorstellung davon, was eine Primzahl ist. Wir müssen uns vielleicht noch eine Ausnahme betrachten. Die Eins. Die Eins kann man nur so legen. So, das ist die Eins. Okay. Die wird aber nicht zu den Primzahlen gezählt. Die will man da nicht drin haben. Da gibt es unterschiedliche Gründe. Deswegen verlangt man, dass eine Primzahl genau zwei Teile haben soll. Nämlich eins und sich selbst. Es müssen aber auf jeden Fall zwei Teile sein. Die Eins hat nur einen einzigen Teil. Die Eins. Gibt keine weiteren. Hat nicht zwei verschiedene Teile oder so. Okay. So, das sind Primzahlen. Primzahlen sind die Zahlen, die genau zwei Teile haben. Übrigens weiß jemand, wie man den Counterpart zu einem Teiler nennt? Also wenn ich zum Beispiel bei der Zahl 12 die 3 habe, die 4. Was ist die zur 3? Weiß das jemand? Hier wird gerade gefragt, ist 0 nicht auch ein Teiler der 1? Ist 0 ein Teiler der 1? Können wir mal überlegen. Also hier oben die Teiler. Da konnte man ja immer schreiben, bei der 12 zum Beispiel, 3 mal 4 gleich 12. 3 ist ein Teiler der 12. 4 ist ein Teiler der 12. 3 mal 4 gleich 12. Ist 0 ein Teiler der 1? 0 mal wie viel ist gleich 1? Was ist der andere Teiler? Ah ja, Komplementärteiler. Wird gerade schon gesagt. 7 ist 7. Genau. Komplementärteiler. Oder multiplikatives Komplementär. Klingt gut. Ah, Knochio. Multiplikatives Komplementär. Gerade ausgedacht. Auch nicht schlecht. Also tatsächlich der Komplementärteiler. Also zur 3 ist die 4 der Komplementärteiler, wenn es um die Teile der Zahl 12 geht. Was ist der Komplementärteiler zur 0? Geht nicht, schreibt Steph. 0. 0, schreibt sie. 0 mal 0 gleich 1? Ne. 42, Hänschen. Ja, ja, genau. Das ist natürlich immer richtig. Es gibt keine natürliche Zahl, die ich an die 0 ran multiplizieren kann, damit 1 rauskommt. Deswegen kann man auch nicht durch 0 dividieren. Das haben wir im letzten Stream gemacht, wenn ihr interessiert seid. Error kommt raus. Genau, beim Taschenrechner. Wenn ihr interessiert seid, das steht als Aufzeichnung online auf YouTube und Peertube. Das haben wir schon mal letztes Mal beim Stream angeschaut. 0 ist kein Teiler einer natürlichen Zahl. Man kann natürliche Zahlen nicht durch 0 teilen. Genauso, ja, also nix genauso. Ich habe nur einen Teiler der Zahl 1, das ist die 1. Und bei Primzahlen habe ich genau zwei Teiler. Okay. Jetzt möchte ich mal mit euch gemeinsam auf die Suche nach Primzahlen gehen. Ich habe da mal was vorbereitet. Und zwar die ersten 100 natürlichen Zahlen. So. Okay. Ah, Hänschen sagt, kann man eine Zahl definieren, die genau das macht? 0 mal Superzahl gleich 1. Du darfst alles definieren, was du willst. Ja. Wenn es in irgendeiner Weise dann nicht zu Widersprüchen kommt. Mathematik muss widerspruchsfrei sein. Und wenn du das zu einem widerspruchsfreien System ausbauen kannst, kannst du gerne mal probieren. Jetzt wird schon das Sieb des Eratosthenes eingeworfen. Das machen wir vielleicht gleich. Schauen wir uns das gleich mal an. Ich würde gerne erst mal so mit euch auf die Suche gehen. Sag mir mal ein paar Primzahlen. Na, was sind denn hier Primzahlen? Lass uns mal gemeinsam suchen. Wo sind hier die Primzahlen? Oh, da werden schon die ersten rein. 2, 3, 5. Also 2, 3 und 5 sind Primzahlen. Genau. 41 wird hier ins Feld geworfen. Schon stupor mundi. 41 Nervus Nullpointer mag die 17. Okay. Glane 88, 97. Aha. Okay. Gibt es noch weitere? Frettchen 27 nicht. Nee, 27 ist ja teilbar. Durch 3 und durch 9 beispielsweise. Aber die 29. Die 29 ist eine Primzahl. Genau. Knochio, die 91. Ist die 91 eine Primzahl? Überprüft es mal. Ob die 91 wirklich ankreuzen könnte oder umkringeln könnte. Hemmichrist 73. Die 73 ist eine Primzahl. Genau. Ah, Knochi. Genau. Durch 7 teilbar. Ah, Mist. 91 ist durch 7 teilbar, Leute. Genau. 70 ist durch 7 teilbar. Und 21 auch. Und 91 dementsprechend auch. Little Miss Chaos Queen hat alle Primzahlen gepostet hier. Okay. Enter Square. 11 ist eine Primzahl. 19 ist auch eine. Genau. Hänschen sagt 11 auch. Genau. Haben wir schon gerade. Genau. 37 wird hier noch geäußert. Von Glane ist auch eine Primzahl. Okay. Haben wir jetzt alle? Keine Ahnung. Die wilde 13 ist auch eine Primzahl. 7 fehlen. Little Miss Chaos Queen hat die 83 und die 89. Genau. Das sind auch Primzahlen. Jawohl. 83. So. Aber wir haben natürlich jetzt eine echte Schwierigkeit. Immer zu sagen. Oh, haben wir denn jetzt schon alle oder nicht? Da werden immer noch welche im Chat genannt. Oder? 23 ist eine Primzahl. Ja, genau. 53. Okay. 53 ist glaube ich auch eine. 53 ist nur durch 1 und durch sich selbst halber. Hat genau zwei Teile. Kann man auch nur so als einen Streifen darstellen. Multiplikative Struktur. All diese Zahlen kann man nur als einen Streifen darstellen. Also 3 zum Beispiel. Wenn wir das hier hinmalen. Die 3 hat nur diese eine Struktur. Multiplikative Struktur. Das war es. Einmal 3. Genauso die 5. Hat auch nur diese multiplikative Struktur. 1, 2, 3, 4, 5. Und so weiter. Ja, Knochi. Sehr mühsam, oder? Sehr mühsam. Oh Mann. Muss man jetzt prüfen. 47 ist das auch eine Primzahl oder nicht? Little Miss Cowgirls Queen sagt ja. 47 ist eine Primzahl. Okay. Haben wir jetzt alle? Oh Mann. So. Naja. Wir haben immer noch nicht alle. Okay. Das ist natürlich relativ unsystematisch, was wir hier machen. Okay. Super unsystematisch. Also 61 wird noch genannt. Okay. Wir suchen einfach wild durch die Gegend. Und könnten wir vielleicht ein bisschen systematischer vorgehen? Wo könnten wir denn nach Primzahlen suchen? Marius schreibt. Ich behaupte mal, ab 4 ist jetzt nur noch entweder Vorgänger oder Nachfolger von Vielfachen der Zahl 6 eine Primzahl. Sonst nichts. Das ist eine gute Idee. Das machen wir später noch. Das habe ich ja schon vorbereitet. Genau. Keine geraden Zahlen. Naja, die geraden Zahlen, die könnten wir schon mal streichen. Das können auch keine Primzahlen sein. Und weil ich hier immer 10 in einer Reihe habe, stehen die untereinander. Die kann man schon mal streichen. Hier sind alle. Hier stehen alle Vielfachen. Also sowieso alle Vielfachen. Nicht alle Vielfachen, sondern die Zahl 2 und immer 10 dazu addiert. 2, 12, 22, 32 ist natürlich alles durch 2 teilbar. Und hier alle 4, 14, 24 ist durch 2 teilbar und so weiter. Da könnten wir schon mal ein paar streichen. Da können keine Primzahlen sein. Da haben wir bislang auch keine gefunden. Alle geraden Zahlen, also alle, die durch 2 teilbar sind, können wir streichen. Wir können alle durch 2 teilbaren Zahlen streichen. Bis auf die 2 natürlich. Bis auf die 2. Welche Zahlen können wir noch streichen? Also alle Vielfachen der 2 können wir streichen. Ich mache das hier nochmal. Alle Vielfachen der 2 streichen wir mal. Alle mit 5 am Ende. Alle Vielfachen der 5 können wir streichen. Ah ja, genau. Alle Vielfachen der 5. Was ist mit 9, wird hier gefragt. Also die 1 auch keine Primzahlen, haben wir gesagt. Die können wir vergessen. Wir haben jetzt alle Vielfachen der 2 gestrichen. Könnten alle Vielfachen der 5 streichen. Und was ist mit der 9? 9 ist ja ein Vielfaches. Von welcher Zahl? 3. Ah ja. Dann lasst uns doch mal die Vielfachen der 3 streichen. Ah ja, Knorri. Genau. Also wir haben jetzt alle Vielfachen der 2 gestrichen. Bis auf die 2. So. Also ist die 2 eine Primzahl. Jetzt nehmen wir mal die 3, die nächste Zahl. Die nächste Zahl, die wir noch nicht gestrichen haben. Das ist eine Primzahl. 3 ist eine Primzahl. Also lasst uns doch mal alle Vielfachen der 3 streichen. Okay. 9, 12 haben wir schon gestrichen. 15, 18 haben wir schon gestrichen. 21, 24 haben wir schon gestrichen. Jede zweite haben wir schon gestrichen. Warum? Könnte ich gerade mal überlegen. 27, 30 haben wir schon gestrichen. 33, ich nehme jetzt nur jede zweite, damit es schneller geht. 33, 39, 45, 51 ist durch 3 teilbar. 57 ist durch 3 teilbar. Da helfen uns jetzt vielleicht auch die Quersummen. Die Quersummenregel, die wir gerade uns überlegt haben mit der 3. 60, 63, 66, 69, 72, 75 ist durch 3 teilbar. 78, 81, 84, 87 ist durch 3 teilbar. Genau. Die 90, die 93 und die 99. Uiuiui, jetzt haben wir alle. Genau, weil jedes zweite Dreier vielfaches auch durch 2 teilbar ist. Genau, haben wir die schon gestrichen. Sehr gut. Alle Vielfachen der 6. Naja, klar. Genau, alle Vielfachen der 6 sind schon weg, weil wir alle Vielfachen der 2 schon gestrichen haben. Und da sind auch die Vielfachen der 6 drunter. Sehr schöne Begründung. Genau. So, jetzt haben wir die Vielfachen der 2 gestrichen, die Vielfachen der 3. Nehmen wir die nächste noch nicht gestrichene Zahl, das ist die 5. Und streichen wir doch mal alle Vielfachen der 5. Christo Matthies, so cool, dass man so die Muster sieht. Ja, Mathematik ist die Wissenschaft der Muster und Strukturen. Ich sage es immer wieder gern, damit einem das immer wieder bewusst wird. Mathematik ist nicht irgendwas notwendigerweise mega abstraktes. So, 5. Alle Vielfachen der 5. Die können wir vielleicht so ganz einfach streichen. Schaut mal hier. Also 10. 10, 20, 30 und so haben wir schon gestrichen. Und unter der 5 können wir die ganze Spalte hier streichen. Da haben wir alle Vielfachen der 5 gestrichen. Bis auf die 5 natürlich. So. Da könnt ihr schon mal überlegen, wie wir weitermachen. Ah, OG. Würdest du sagen, dass Mathematik eine Art Sprache ist? Ja, ja, klar. Mathematik ist eine Perspektive auf Mathematik, würde ich sagen. Dass Mathematik auch eine Sprache ist. Sprachliche Mittel und Werkzeuge zur Verfügung stellt. Auch für andere. Also für andere Wissenschaften beispielsweise. So. Jetzt haben wir die 7. Die ist noch nicht gestrichen. Das ist eine Primzahl. Jetzt müssen wir alle Vielfachen der 7 streichen. Und so weiter. 7 brauchen wir nicht streichen. Das ist eine Primzahl. Aber 14 haben wir schon. 21, 28. Machen wir es wirklich mal. 35 haben wir schon gestrichen. 42 schon. 49 noch nicht. 56 schon. 63, 70. 77 ist ein Vielfaches der 7. 84. 91. Das haben wir vorhin schon festgestellt. Okay. Und dann fehlt noch die 98. Haben wir schon gestrichen. Okay. So, und jetzt wird hier behauptet, wir sind fertig. Was wir übrigens gerade entdeckt haben oder selbst überlegt haben, ist das 7. Erratosthenes. So heißt das. 7. Erratosthenes. Wie funktioniert das? Ich nehme eine Primzahl, streiche alle Vielfachen. Können keine Primzahl sein. Weil ja die Anfangszahl ein Teiler ist von der Zahl. Die nächste noch nicht gestrichene Zahl ist eine Primzahl. Die streiche ich alle Vielfachen. Und ich mache das so lange weiter, bis alle gestrichen sind. Und jetzt wird hier behauptet, ich bin fertig. Echt? Also muss ich nicht jetzt die 11 nehmen und alle Vielfachen der 11 prüfen? Und die 13 und auch alle Vielfachen der 13 prüfen? Ihr könnt es ja mal machen, ne? Wir machen es mal mit der 11. 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Alle gestrichen, ne? Irre. 13. Vielfach der 13. 26, 39. Was kommt dann? 52. Schon gestrichen, ne? Plus 13 ist 65. Und so weiter. Alle schon gestrichen. Warum können wir aufhören? Bis zu welcher Zahl müssen wir gehen? Wir haben hier 100 Zahlen. 100 ist sozusagen die Endzahl, die wir jetzt hier mal haben auf unserem Sheet. 100. Bis zu welcher Zahl müssen wir gehen? Maximal. Hat jemand eine Idee? Wurzel wird hier gesagt. Wurzel 100. Also theoretisch bis zur 10. 8, 9, 10 haben wir schon gestrichen. Also, naja, bis zur 7 in dem Fall, ne? Genau. Bis 10 bis zur Wurzel. Aber warum die Wurzel? Warum nicht bis zur 50, bis zur Hälfte? Oder so, ne? Manche Leute denken, man muss bis zur 50 gehen. Warum nur bis zur 10? Hat da jemand eine Begründung? Marius schreibt 10, weil sonst ja ein Teilerpaar gäbe, wo ein Teiler kleiner als 10 wäre. Martin hängt bestimmt mit dem Komplementärteiler zusammen. Z-Feuerwelle. 100 ist gleich 10 mal 10. Also wenn eine Zahl durch eine Zahl größer zehnteilbar ist, ist der Komplementärteiler kleiner 10. So ein Marv. Wir betrachten ja immer den kleineren Faktor. Genau. Wenn es ein Produkt 11 mal x im Bereich 100 gäbe, dann hätten wir es schon gefunden. Genau. Ja? Also 100 ist 10 mal 10. 10 mal 10 gleich 100. Das ist die Wurzel aus der 100. Die Wurzel wird sich selbst multipliziert. Wurzel 100 mal Wurzel 100 ist 100. Okay. So. Wenn ich jetzt eine Zahl habe, die größer ist als 100, also 11 beispielsweise, dann ist die linke Zahl, wenn ich innerhalb der 100 bleiben will, ja kleiner als 10. Wenn eine der beiden Zahlen größer ist als die Wurzel, muss die andere Zahl kleiner sein, damit man noch innerhalb der Zahl bleibt, also unter der 100 bleibt in dem Beispiel. Das habt ihr sehr schön rausgefunden. Also im Bereich von 1 bis 100 ist ja maximal 9 mal 11 drin. 10 mal 11 ist schon drüber. Und alle Zahlen bis zur 9 haben wir ja schon die Vielfachen gestrichen. Also brauchen wir die nicht mehr streichen. Angenommen, ich würde die 13 noch prüfen wollen. Naja, was ist denn das größte Vielfache der 13, das gerade noch in dem Bereich bis 100 drin ist? 7 würde ich sagen. 7 mal 13. 7 mal 10 ist 70. 7 mal 3 ist 21. 91, die Zahl, die wir vorhin hatten. 91 ist das größte Vielfache der 13. Na, das haben wir aber doch schon gestrichen als Vielfaches der 7. Also wenn eine Zahl größer ist als die Wurzel, der Endzahl, dann muss der Komplementärteil kleiner sein als die Wurzel, damit man noch innerhalb des Zahlbereichs bleibt, den man sich hier anschaut. Und ja, insofern müssen wir nur bis zur Wurzel gehen. OG fragt, kurze Reinspringerfrage. Ist dein Stream strukturiert vorbereitet oder kann ich hier eine Frage stellen, die nach diesem Thema beantwortet wird? Ich habe tatsächlich ein paar Sachen vorbereitet. Ich habe so einen Gang vorbereitet. Du kannst gerne jederzeit hier Fragen stellen. Vielleicht können wir die gemeinsam beantworten. Falls nicht, können wir gerne die Frage mitnehmen in unseren Discord-Channel. Wir haben einen Discord-Server und wir haben eine Aftershow-Party sozusagen dort. Und auch innerhalb der Woche oder so bis zum nächsten Stream, da ist ganz viel immer los. Und da können wir gemeinsam auch diese Fragen besprechen. Sephiro, genau. Wenn man sich die Primfaktoren anschaut, dann wäre bei der 11 die nächste, die nur die 11 beinhaltet, 11² gleich 121. Genau. Ja, ja. Also 121 wäre dann die erste Zahl bei der 11, die man streichen müsste, aber die ist ja schon größer als 100. Okay, super, oder? Wir haben uns hier gemeinsam das Sieb des Eratosthenes erarbeitet und uns überlegt, bis wohin man gehen muss beim Streichen von Vielfachen. Ja, jetzt haben wir alle Primzahlen gefunden, die im Bereich der 100 liegen. Und damit wir das uns noch ein bisschen schöner anschauen können, ist das hier auch mal vorbereitet. Hier sieht man auch nochmal die Primzahlen sehr schön im Bereich von 1 bis 100. Die habe ich jetzt hier alle eingefärbt. Ich hoffe, ich habe keine vergessen. Könnt ihr nochmal die Gegend checken gerade. Fehler passieren immer, haben wir auch schon oft drüber geredet. Ich hoffe, es ist kein Fehler drin, aber vielleicht habe ich auch irgendwas übersehen. Dann bitte melden. Okay. Wunderbar. So, was ist der schnellste Weg, um eine größere Zahl auf Prim zu prüfen? Wie ist es mit höheren Primzahlen? Gibt es solche Regeln und so weiter? Wir sind auf dem Weg dahin, festzustellen, wie faszinierend die Primzahlen sind. Also, zum einen, da gibt es einen Beweis, den werden wir heute Abend nicht machen, aber könnt ihr euch gerne auf YouTube anschauen oder wir besprechen ihn in der Discord. Man kann beweisen, dass es unendlich viele Primzahlen gibt. Also, es ist nicht so, dass in den natürlichen Zahlen irgendwann mal eine Zahl kommt, ab der keine Primzahl mehr kommt. Es gibt unendlich viele Primzahlen. Und jetzt bei sehr großen Zahlen zu prüfen, ob das eine Primzahl ist oder nicht, oder wie die multiplikative Struktur der Zahl ist, bei sehr großen Zahlen, dann wird es auch teilweise sehr aufwendig. Also, da beruhen Verschlüsselungsmechanismen im Internet drauf, auf der Schwierigkeit, sehr, sehr große Zahlen in Primzahlen zu zerlegen, multiplikativ. Also, man denkt, das ist schwierig, weil es ist so, man hat bis heute noch keine Formel gefunden, mit der man alle Primzahlen einfach bestimmen kann. Gibt es nicht. Nach heutigem Kenntnisstand. Man vermutet, dass die Primzahlen unstrukturiert verteilt sind über die natürlichen Zahlen. Astro schreibt gerade, genau, eine Vermutung, die Riemannsche Vermutung, genau. Das hängt mit der Riemannschen Vermutung zusammen. Eine Vermutung, die eng damit zusammenhängt. Und noch kein Mensch konnte das beweisen oder widerlegen. Also, die Primzahlen, jetzt schreibt ihr ganz viel, das beschäftigt einen. Die Primzahlen sind wahrscheinlich, muss man sagen, wenn man das Gefühl hat, naja, wird schon so sein, aber ist noch nicht bewiesen, weder bewiesen noch widerlegt. Also, die Primzahlen sind sehr wahrscheinlich oder wahrscheinlich oder vermutlich oder vielleicht unstrukturiert über die natürlichen Zahlen verteilt. Das heißt, man hat noch keine Formel, die die Struktur wiedergibt, der Verteilung der Primzahlen über die natürlichen Zahlen. Astro, wenn die Vermutung bewiesen wird, war es das mit der Verschlüsselung. Ja, genau. Also, ich bin jetzt kein Verschlüsselungsexperte. Damit habe ich mich vor 20 Jahren mal beschäftigt. Ich weiß nicht, wie der aktuelle Stand ist. Welche Verschlüssungsverfahren da verwendet werden. Vielleicht kann es auch jemand in den Chat schreiben. Man kann natürlich das Sieb des Eratosthenes machen bis zu der Zahl, die einen interessiert und schauen, also bis zur Wurzel der Zahl, die einen interessiert. Aber das kann halt ewig dauern. Selbst Computer brauchen lange bei sehr großen Zahlen. Und das ist verblüffend an den Primzahlen. Man braucht viel Zeit und viel Speicher. Also das ist so eine erste Vermutung, die einen verblüfft. Die Primzahlen sind wahrscheinlich unstrukturiert über die natürlichen Zahlen verteilt. Und das sieht man ja auch hier. Also hier schon im Bereich bis 100 merkt man, so ein richtiges System können wir nicht erkennen. Also man kann hier ein paar Sachen ausschließen. Also man weiß, wo Primzahlen nicht liegen. Hier in der Spalte liegen keine Primzahlen, außer die zwei, weil ansonsten nur gerade Zahlen da drin sind. In dieser Spalte liegen keine Primzahlen, in dieser Spalte liegen keine Primzahlen, in dieser nicht und in dieser nicht. Also wenn wir Primzahlen suchen, müssen wir nur natürlich in den ungeraden Spalten schauen. Es gibt ja nur eine gerade Primzahl, das ist die 2, die einzige gerade Primzahl. Alle anderen sind ungerade. Das heißt, wir müssen nur in jeder zweiten Spalte gucken. Aber selbst da sind sie unstrukturiert. Also hier beispielsweise in der ersten Spalte haben wir hier die einzige Primzahl. Okay, die 11 ist eine Primzahl, dann kommt mal keine und dann die nächsten beiden sind eine jeweils und dann wieder keine und dann wieder zwei. Hier sind die ersten drei Primzahlen, dann mal wieder nicht und so. Und bei der 7, in der 7er Spalte hier, haben wir hier ein zweier Päckchen, da nicht, da wieder ein zweier Päckchen und so. Ja, verrückt. Es gibt noch ein paar Verfahren, wie man noch andere Suchbereiche vielleicht ausschließen könnte. Ich habe da auch mal was vorbereitet. Ich habe das mal anders aufgeschrieben hier. Ich habe jetzt hier nicht 10 Zahlen in einer Reihe geschrieben, sondern 6 Zahlen. Okay, sieht man hier. 1, 2, 3, 4, 5, 6 Zahlen, nicht 10 Zahlen in einer Zeile. Und habe man hier auf eine bestimmte Art und Weise hingeschrieben. Wenn man die Zahlen mal anfängt so aufzuschreiben, also beginnt mit 1 hier, aber dann mit 5 weiter und immer so 6er Päckchen hier, 6er Zahlen. Wo würde dir sagen, muss man nicht nach Primzahlen suchen? In welchen Spalten nicht? Unter der 2. Ja, genau. Also unter der 2 nicht. 2, jede Zahl, die jetzt hier kommt, ist ja immer plus 6. Also 2 plus 6 plus 6 und so weiter. Da haben wir so eine schöne Zahlenfolge hier. Das heißt, die brauchen wir nicht anschauen. Oh, die 2 habe ich nicht streichen dürfen. Entschuldigung. Die hier unten brauchen wir nicht anschauen, weil das alles gerade Zahlen sind. Die Spalte von der 3 auch nicht. Ja, warum das nicht? Also 2 ist natürlich eine Primzahl. 3 ist eine Primzahl. Aber die Spalte brauche ich mir nicht anschauen. Warum nicht? Gerade Zahlen auch nicht. Also hier sind auch nur gerade Zahlen. Das war auch das gleiche Argument mit der 2. Und auch hier unter der 6 sind nur gerade Zahlen. Ja, genau. Unter der 3 sind alle ungeraden Vielfachen der 3. Also ich habe ja die 3. Jetzt addiere ich da 6 drauf. Und addiere hier wieder 6 drauf. Ich addiere immer 6 drauf. Das heißt, die Zahlen sind immer alle durch 3 teilbar. 3, 9, 15, 21. Ich kann also auch die streichen. Die 1 auch gestrichen. Das ist keine Primzahl. Okay. Das heißt, in welchen Spalten muss ich nur schauen? Ich muss mir nur die Spalten hier anschauen. Diese hier und diese. Nur in diesen beiden Spalten können Primzahlen liegen. Das ist so eine andere Herangehensweise, könnte man sagen. Eine andere Struktur, ein anderes Muster, in denen Primzahlen auftauchen. Und ja, da das hier die Vielfachen der 6 sind, 6 mal n, 6 mal 1, 6 mal 2, 6 mal 3, 6 mal 4, 6 mal 5, haben wir hier die Spalte mit 6n plus 1 und hier die Spalte mit 6n minus 1. Hier haben wir ein Vielfaches der 6. Hier haben wir die Zahlen, die gerade 1 kleiner sind als die Vielfachen der 6. Und hier haben wir die Zahlen, die gerade 1 größer sind als die Vielfachen der 6. Das heißt, Primzahlen haben entweder die Struktur 6n minus 1 oder 6n plus 1. Sind also gerade entweder 1 kleiner oder 1 größer als ein Vielfaches der 6. Verrückt, oder? Hilft aber nichts. Warum habe ich die zwei eingerückt? Genau, weil ich eben alle Vielfachen der 6 untereinander stehen haben wollte bei einer Zeilenlänge von 6. Ja, genau. Die 25 hier ist nämlich keine Primzahl, die müssen wir streichen. Das heißt, ist hier noch irgendwas keine Primzahl? Seht ihr es? 35, genau. Ja, ja. 35 keine Primzahl. Noch was? Das heißt, Primzahlen liegen in diesen beiden Spalten, mit Ausnahme der 2 und der 3. Alle anderen liegen in diesen beiden Spalten. Aber nicht alle Zahlen in diesen Spalten sind Primzahlen. Auch hier wieder kein System. Wahrscheinlich kein System. Ah ja, könnte man nicht eine diagonale Linie machen? Auch ein guter Hinweis. Hier, guck mal, eine diagonale Linie, genau. Diese hier. Du möchtest so streichen. Ja, das könnte man auch machen. Ah, interessant, genau. Warum kann man das machen? Warum kann man die Zahlen streichen? Weiter geht es halt nicht. Wir haben ja nur 6 Zeilen. Aber von der 10 aus können wir hier streichen. Genau. Warum? 5er Reihe. Ah ja, genau. Weil diese Zahl, die gerade nicht direkt unter der 10 liegt, sondern 1 weiter links, ist ja 5 entfernt von der 10. Bei 6 Elementen in der Zeile. Und auch wieder 1 weiter 5. Also immer plus 5, plus 5, plus 5, plus 5, plus 5. Könnte man vielleicht auch von der 40 ausgehen hier. 45, dann wird es genauso sein. Das habe ich jetzt hier nicht mehr drauf. Aber so könnte man auch hier noch streichen. Man kann so ein paar Heuristiken einsetzen, wo man auf keinen Fall Primzahlen suchen braucht. Trotzdem, wenn ich euch dann irgendeine Zahl gebe in einer potenziellen Primzahlspalte, eine sehr große Zahl. Schwierig zu prüfen, ob das tatsächlich eine Primzahl ist oder nicht. Und das dauert lange. Oder noch schlimmer, wenn ich eine sehr große, eine riesige Zahl habe mit vielen Stellen, die das Produkt von zwei sehr großen Primzahlen ist. Rauszukriegen, welche da miteinander multipliziert werden. Schwieriges Problem. Wahrscheinlich.