Der Höhenschnittpunkt

So, jetzt zeigen wir Aufgabe 3. Die Geraden, die durch die Höhen eines Dreiecks bestimmt sind, schneiden sich in einem gemeinsamen Punkt. Machen wir das mal zu zeigen. Die Geraden, die durch die Höhen eines Dreiecks bestimmt sind. Warum sage ich das überhaupt so umständlich? Warum sage ich nicht einfach die Höhen? Ja, die Höhen sind keine Geraden, ne? Die Höhen sind Strecken im Dreieck. Und wir betrachten aber die Geraden, die praktisch auf den jeweiligen Höhen liegen. Okay. Wir machen wieder eine Skizze. Oh, jetzt muss ich aufpassen. Mist. Das muss ich ein bisschen kleiner machen. Da können wir mit leben, glaube ich. Vergiss mal das Stückchen hier links. Okay. So, ich habe hier einen Dreieck ABC. Wie zeichne ich jetzt die Höhen jeweils ein? Ah, ich habe das Dreieck ein bisschen blöd gezeichnet, glaube ich. Vergiss mal dieses Dreieck hier. Ich versuche mal, ein Dreieck zu skizzieren. Ja, machen wir das mal so. So. Ich glaube, so funktioniert es. Diese Höhe, diese Höhe hier und so. Okay. So, mit dem Dreieck funktioniert es ganz gut. Ich wollte jetzt verhindern, dass die Höhen irgendwie außerhalb von dem Dreieck liegen. Das sieht so ein bisschen klarer aus. Offensichtlich schneiden sich die drei Höhen in einem Punkt. Das wollen wir aber erst zeigen. Wie zeigt man das? Wer von euch kennt den Trick? Ja? Kannst du das Mikro nach hinten werfen? Ich muss sagen, ich wäre niemals darauf gekommen. Wir haben es im Tutorium gemacht. Wir haben dazu quasi bei jedem Eckpunkt von dem Dreieck nochmal so eine Gerade durchgezogen, die parallel ist zur gegenüberliegenden Seite. Genau. Also jetzt quasi eine Gerade durch C, die parallel ist zu AB. Eine Gerade durch C, die parallel ist zu AB. Okay. Genau. Und bei den anderen beiden das Gleiche. Also eine durch B, die parallel ist zu AC. Eine durch B, die parallel ist zu AC. Und? Und durch A parallel zu BC. Durch A parallel zu BC. Genau. Also, macht euch keine Sorgen, wenn ihr da nicht von selbst drauf gekommen seid. Da kann man schwer von selbst drauf kommen. Außer wenn man vielleicht lange umprobiert und experimentiert. Also wir haben zu jeder Dreieckseite die Parallele gerade gezogen durch den dieser Dreieckseite gegenüberliegenden Punkt. Also Parallele zu AB durch C, Parallele zu AC durch B und auch noch die Parallele durch diesen Punkt hier. So. Was wollen wir jetzt zeigen? Also was ist der Trick? Mach mal weiter. Der Trick ist quasi, dass die Höhen, die jetzt in dem kleinen Dreieck sind, dann am Ende, ich glaube es waren die Winkelhalbierenden, die mittelsenkrechten von dem großen Dreieck sind. Genau. Wir zeigen jetzt, dass die Höhen, die wir hier eingezeichnet haben, also die Geraden, die durch die Höhen gehen. Dass diese Geraden hier, die Geraden, die durch die Höhen bestimmt werden in dem kleinen Dreieck, dass das die Mittelsenkrechten des großen Dreiecks sind. Und wenn wir jetzt zeigen können, dass das die Mittelsenkrechten des großen Dreiecks sind, dann wissen wir, dass die Mittelsenkrechten des großen Dreiecks sich alle in einem Punkt schneiden. Also müssen das auch die Geraden machen, die durch die Höhen gehen des kleinen Dreiecks, weil das sind ja die gleichen. Okay. Und das machen wir jetzt so, dass wir erstmal das Vereine der drei Mittelsenkrechten machen, oder Vereine der drei Höhen. Wir zeigen jetzt für diese, ich zeichne mal blau ein, wir zeigen für diese Gerade hier, diese, dass die Mittelsenkrechte für die Strecke G und H ist. Und für die anderen beiden wäre es analog. Man kann das Dreieck ja einfach um 120 Grad drehen und den Beweis wieder machen, auf die gleiche Art und Weise. Wir zeigen es erstmal nur für eine der Höhen. Wir zeigen, dass diese Gerade hier, die auf der Höhe liegt, die ich hier andeute, dass die die Mittelsenkrechte dieser Strecke hier ist. Was müssen wir da zeigen? Ich habe das vielleicht noch mal hin. Nennen wir die mal G. G ist Mittelsenkrechte von GH. Ja. Jetzt muss man zeigen, dass das wirklich doppelt so lang ist, die Strecke. Und das sieht man so, dass AC ist einmal so lang und H und was ist der Punkt ganz unten? I, oder? Was ist ganz unten der Punkt beim großen Dreieck? Da haben wir noch keinen Namen gegeben. Nehmen wir mal I. Genau. Und HI ist sozusagen die Doppelstrecke von AC und die sind parallel zueinander. Wenn wir gezeigt haben, dass diese Strecke hier doppelt so lang ist wie diese, warum ist das hier dann die Mittelsenkrechte von GH? Achso, nein. Das ist analog. Dann geht es um GH und AB, genau dasselbe. Du willst zeigen, dass diese Strecke doppelt so lang ist wie diese. Ja. Warum ist das dann die Mittelsenkrechte? Weil dann weiß man auf jeden Fall, dass es doppelt so viel ist. Wenn diese Strecke hier doppelt so lang ist wie diese hier, muss C nicht notwendigerweise in der Mitte liegen. Die Strecke könnte ja auch doppelt so lang sein wie diese und C liegt hier. Was willst du eigentlich zeigen? Du hast vollkommen recht. Wir müssen jetzt genau in diese Richtung gehen. Das kann ja was helfen, genau. Wir wollen zeigen, dass AB GC entspricht und CH. Dann zeigen wir, dass C in der Mitte liegt. Das ist die Strategie, genau. Wir werden zeigen, dass diese Strecke AB genauso lang ist wie GC und wie CH, um was zu zeigen? Dass G die Mittelsenkrechte ist von GH. Genau, dass G die Mittelsenkrechte ist von GH. Also, wir wollen zeigen, dass G die Mittelsenkrechte ist von GH. Dazu müssen wir zeigen, dass G senkrecht steht auf GH und durch die Mitte geht. Das macht eine Mittelsenkrechte. Das heißt, wir müssen dann auch zeigen, dass C in der Mitte liegt. Das ist genau die Strategie, die du vorgeschlagen hattest oder ihr beide vorgeschlagen habt. Wir zeigen dann, dass die Strecke AB genauso lang ist wie GC und wie CH und damit muss C in der Mitte liegen. Wenn C in der Mitte liegt und die gerade senkrecht steht auf GH, dann ist g die Mittelsenkrechte. Können wir dann eins von beiden schon sehr einfach zeigen? Wir müssen zwei Dinge zeigen. Wenn wir zeigen wollen, dass g die Mittelsenkrechte ist, müssen wir zeigen, dass g senkrecht steht auf GH. Also, g steht senkrecht auf GH und C liegt in der Mitte der Strecke GH. Können wir nicht schon sagen, dass es senkrecht auf GH liegt? Wir haben ja vorhin schon gesagt, dass die Höhe senkrecht auf AB liegt und AB ist parallel zu GH. Genau. G steht senkrecht auf der Strecke AB. Wir wissen, g steht senkrecht auf der Strecke AB, weil ja g die gerade ist, die durch die Höhe bestimmt wird auf AB. Außerdem wissen wir, GH ist parallel zu AB, weil wir das so konstruiert haben. Und daraus können wir folgern, g steht auch senkrecht auf GH. Warum können wir das eigentlich folgern? Haben wir mal einen Satz bewiesen, mit dem man das folgern kann? Mit welchem Satz könnte man das machen? Wir haben zwei parallele Geraden. Diese hier und diese hier. Und eine, die schneidet. Also, woher wissen wir denn, dass das jetzt auch da oben rechter Winkel sein muss? Da könnte man Wechselwinkel verwenden. Oder im Fall vom rechten Winkel kann man auch Stufenwinkel verwenden. Ich habe gerade selbst überlegt, wie das heißt. Ich war gerade bei Scheitelwinkel, aber der ist ja an derselben Kreuzung. Also der Stufenwinkel hier wäre der gleiche. Oder der Wechselwinkel. Das wäre der Wechselwinkel. Und weil es 90° sind, sind natürlich alle vier Winkel an der Stelle gleich groß, wegen Nebenwinkel dann auch. Da dieser Winkel 90° groß ist und der Gesamtwinkel hier an der Geraden 180° geben muss, ist der auch 90° groß. Das ist der Nebenwinkelsatz. Also über Stufenwinkel, Wechselwinkel, Nebenwinkel kommt man darauf, dass hier auch ein rechter Winkel herrschen muss, egal an welcher Stelle. Und demnach steht auch G senkrecht auf GH. Okay, also wir wissen jetzt, es steht senkrecht. Jetzt wollen wir noch zeigen, das war deine Strategie gewesen, dass diese Strecke hier, und deine auch, glaube ich, dass diese Strecke hier AB gleich groß ist wie, geben wir dem vielleicht nochmal einen Namen hier, nehmen wir erstmal S hier oben, den Schnittpunkt. So, dass AB gleich lang ist wie GS und AB gleich lang ist wie SH. Wie machen wir das? Wir machen es nacheinander. Wir zeigen erstmal, dass AB gleich lang ist wie, nehmen wir mal GS. Wieso sind die beiden Strecken gleich lang, AB und GS? Eine Minute, Mitnachbarinnen, Mitnachbarn. Versucht mal rauszukriegen, ein Argument, warum AB gleich lang ist wie GS. Okay, so. Ich mache das Mikro immer aus in euren Beratungszeiten, also ihr könnt da entspannt sein. Also hat jemand eine Idee von euch? Wieso sind die beiden Strecken AB und GS gleich lang? Wir haben ja ganz viele Parallelen. Und vom Anfang hatten wir ja, dass GS parallel ist zu AB. Das hatten wir ja ganz am Anfang. GS ist parallel zu AB, genau. Und gleichzeitig ist aber auch GA parallel zu SB. GA ist parallel zu SB. Und deswegen haben wir dann ein Parallelogramm. Und deswegen sind AB und GS gleich lang. Wir haben schon gezeigt, dass in einem Parallelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind. Nö, das habe ich jetzt einfach gefordert. Gefordert, okay. Gefordert, ach so, Entschuldigung. Das macht ja einfach Sinn. Wenn sie nicht parallel wären, dann wären sie ja nicht gleich lang, die anderen beiden Seiten. Jaja, du hast vollkommen recht. Ich zeichne dann mal das Parallelogramm in rot ein, okay. Damit wir das alle sehen. Die beiden Strecken haben wir parallel konstruiert. Und die beiden Strecken haben wir auch parallel konstruiert. So, hier ist ein Parallelogramm. Ja, mir ist was anderes gekommen. Also wenn wir nicht daraus folgern können, dass sie parallel sind. Wir verfolgen deinen Gedanken weiter. Okay, wir haben hier ein Parallelogramm. Und wir hätten gerne, dass gegenüberliegende Seiten im Parallelogramm gleich lang sind. Das ist ja so, oder? Denken wir, aber wir haben es noch nicht bewiesen. Wollen wir das schnell mal machen? Wollen wir es schnell mal beweisen, dass im Parallelogramm die gegenüberliegenden Seiten gleich lang sind? Okay, das kann man ganz gut gebrauchen an verschiedenen Stellen, oder? Dann machen wir das mal. Jetzt machen wir weiter mit unserem Beweis, dass wir zeigen wollten, dass die Gerade G die Mittelsenkrechte von der Strecke GH ist. Wir wissen, dass ABSG ist ein Parallelogramm, weil wir die jeweiligen Geraden parallel konstruiert haben. Wir haben ja diese Strecke hier gezogen parallel zu AB und wir haben diese Strecke gezogen parallel zu BC. Also ist es ein Parallelogramm. Und daraus folgt genau das, was wir haben wollten. Die Strecke AB ist gleich lang wie die Strecke GS. Mit dem Hilfsatz, den wir gerade bewiesen haben, dass ein Parallelogramm gegenüberliegende Strecken gleich groß sind. Gegenüberliegende Seiten, Entschuldigung. Das ist aber noch nicht alles. Das müssen wir noch zeigen. Wir wissen jetzt, AB ist gleich lang wie GS, damit S wirklich in der Mitte von GH liegt. Dass AB genauso lang ist wie SH. Und wie können wir das zeigen? Wir betrachten das andere Parallelogramm, dieses hier. Ich mache es mal so. Das sieht man sonst nicht so gut. Dieses Parallelogramm. Okay. ABSH ist ein Parallelogramm. Also folgt daraus, AB ist gleich SH. Also jetzt wissen wir, diese Strecke ist gleich lang wie diese Strecke und diese AB ist auch gleich lang wie diese Strecke. Also müssen auch GS und SH gleich lang sein. Und damit wissen wir, die Gerade G ist die Mittelsenkrechte von GH. Also wir wissen, die Höhe in diesem kleinen Dreieck liegt auf der Mittelsenkrechten des großen Dreiecks. Und das können wir für alle Höhen machen. Wir müssen immer nur aus der anderen Richtung gucken oder das Dreieck um 120 Grad drehen. Das heißt, alle drei Höhen liegen auf den drei Mittelsenkrechten des großen Dreiecks. Und wir haben vorhin gezeigt oder beim letzten Mal gezeigt, dass die drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks sich in einem Punkt schneiden. Also müssen sich auch die Höhen des Dreiecks in einem Punkt schneiden. Ja, also wir haben jetzt ja nur aufgeschrieben, G ist Mittelsenkrechte. Jetzt könnte man schreiben, analog sind, das müssen ja alle Namen kriegen. G, nennen wir die mal hier H und I. Analog sind H und I Mittelsenkrechten im großen Dreieck Mittelsenkrechten im Dreieck GHI. Diese schneiden sich in einem Punkt. So, damit hätte man es glaube ich jetzt verständlich erklärt, oder?