Die Eulergerade in Geogebra

so GeoGebra ja ein dynamisches geometriesystem das es einem ermöglicht geometrische Konstruktionen anzufertigen mit dem Vorteil gegenüber Tafel oder Papier dass man die verändern kann das heißt man kann die geometrische Objekte konstruieren man kann sie verändern und schauen welche Auswirkung das hat und das machen wir heute mal und zwar haben wir ja letztes Mal einige Beweise geführt zu Dreiecken unter anderem haben wir gezeigt dass die Mittelsenkrechten eines Dreiecks sich in einem Punkt schneiden und das etwas das kann man wunderbar auch hier in GeoGebra mal nachbauen also wir brauchen erstmal ein dreie hier oben sind die ganzen Werkzeuge die es in GeoGebra so gibt also hier sind alle möglichen punktwerkzeuge man kann ein Punkt konstruieren und od was man oft braucht ist ein Schnittpunkt von irgendetwas oder ein Mittelpunkt ja dann gibt's hier die Strecken und geraden Werkzeuge würde ich es mal nennen kann man eine gerade eine Strecke konstruieren eine halbgerade ein Strahl und so weiter hier findet man Werkzeuge bei denen es um die das Verhältnis sozusagen von geraden oder senkrechten geht also möchte eine senkrechte gerade konstruieren eine parallele Gerade und so weiter gibt sogar das konstruktionswerkzeug Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende und so weiter und so weiter und hier findet man die Möglichkeit Vielecke zu konstruieren also entweder ein normales Vieleck oder ein regelmäßiges Vieleck bei dem die Seitenlängen alle gleich lang sind und so weiter okay guck ab und zu mal in den Chat hinein genau gut also wir konstruieren mal ein Dreieck so und das schließt man ab also ich habe jetzt die drei Punkte einfach angeklickt man schließt ab indem man wieder auf den ersten Punkt klickt dann ist klar okay das ist jetzt sozusagen ein nicht regelmäßiges ein allgemeines Dreieck und das kann man jetzt jederzeit verändern wenn ich hier oben auf dem Pfeil drauf klicke ne bewege auswähle dann kann ich die Punkte bewegen und dann verändert sich das Dreieck okay wunderbar so jetzt wollen wir mal den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten konstruieren was muss ich machen man geht da auf das vierte Symbol oben mhm und dann tipp mal rauf und geht auf Mittelsenkrechte Mittelsenkrechte okay und jetzt sieht man hier unten da steht wähle zwei Punkte oder eine Strecke genau und was könnten wir jetzt machen ja können wir entweder auf A und B klicken oder auf diese Strecke auf A und B z.B da sieht man schon ah da kommt schon was an ne so okay und dann kann man einfach noch eine mittelsenrechtig glaub man muss nicht noch mal rauf tippen kann BC und dann auch noch C und A auf C und A okay ah guck mal was hier passiert ist genau das was wir letztes Mal bewiesen haben ne die drei Mittelsenkrechten gehen durch einen gemeinsamen Schnittpunkt den kann man vielleicht noch einfach mal hier tatsächlich explizit konstruieren indem ich hier Schnittpunkt auswähle und dann wähle ich jetzt zwei Objek also diese gerade hier und diese gerade jetzt habe ich hier den Schnittpunkt D ich nenne ih vielleicht mal um machen wir gleich so aber der Vorteil ist jetzt ich kann jetzt schauen ob das bei jedem Dreieck so ist oder ob das zufällig nur bei diesem Dreieck der Fall ist dass sich die drei mittelsenkrechen ein Punkt schneiden letzte Woche haben wir bewiesen dass es bei jedem Dreieck der Fall ist aber das können wir jetzt auch tatsächlich mal überprüfen indem wir wieder den Pfeil auswählen und die Punkte hier bewegen und jetzt sieht man was passiert mit D okay so aber sch mal mal kann z.B schauen kann es auch sein dass der Punkt außerhalb des Dreiecks liegt ne so dann kann ich jetzt mal versuchen den außerhalb des Dreiecks irgendwie hinzukriegen damit geht's irgendwie nicht keine Ahnung ah doch ja ah jetzt oder genau funktioniert okay es liegt halt außerhalb des Dreiecks macht ja nichts was ist denn das für ein besonderer Punkt im Dreieck dieser Schnittpunkt der mittelsenkricht hat eine ganz besondere Bedeutung welche wer weiß ESM kannst du es nach hinten werfen das der Mittelpunkt vom Umkreis genau der Mittelpunkt vom Umkreis schauen wir mal ob das stimmt oder also warum müsste das der Mittelpunkt vom Umkreis se vielleicht erstmal weil der Schnittpunkt von den drei Mittelsenkrechten zu jedem Punkt vom Dreieck also von den drei Punkten also den Dreiecken eben den gleichen Abstand hat genau D hat denselben Abstand von A wie von B wie von C ja dann möchte vielleicht h ein bisschen noch mal zur Seite damit man da was sieht so na vielleicht so also diese drei Strecken diese hier diese hier und diese hier müssten gleich lang sein ne weil der Punkt D denselben Abstand hat von A und von B und von B und von C und von C und von A also von allen dreieckpunkt des Dreiecks hat der Punkt D denselben Abstand so das heißt das müsste eigentlich der Umkreis Mittelpunkt sein dann ziehen wir doch mal einen Kreis da gibt's auch mehrere Möglichkeiten hier bei GeoGebra Kreis mit Mittelpunkt durch ein Punkt oder Kreis mit Mittelpunkt und Radius und so weiter und so weiter okay machen wir Kreis mit Mittelpunkt und Punkt der Mittelpunkt ist der Punkt hier und ich nehme den Punkt hier oben man sieht ah ja okay sieht so aus als wäre das tatsächlich der Umkreis ne der geht durch alle drei Punkte durch egal wie ich das Dreieck verändere logischerweise geht der Kreis immer durch alle dreie Eckpunkte wunderschön oder kann man stundenlang davor sitzen und hier einfach nur so rummachen und so ah toll ja oder auch nicht ne deswegen ich benenne den Punkt jetzt mal um das kann man machen den man jetzt zumindest auf der Variante mit der rechten Maustaste drauf klickt dann kann man den Punkt umbenennen und ich nenne den mal u für Umkreismittelpunkt okay dann wissen wir dass es der Umkreismittelpunkt ist so und jetzt ähm möchte ich gerne mal ein paar Objekte wieder ausblenden die stören mich wenn ihr fragen habt genau einfach okay ihr löst das Problem sehr gut okay ich blende jetzt mal ein paar Objekte aus die mich stören die ich nicht mehr weiter sehen will ich könn sie auch löschen aber ich kann sie auch ausblenden hier indem ich mit der rechten Maustaste drauf klicke und Objekt Anzeigen abwähle ne dann verschwindet das also es ist theoretisch noch da aber man Opala das war etwas zu viel was habe ich jetzt hier ausgewählt das hier so na ja genau okay die Strecke die will ich nicht mehr sehen so na ich habe versehlich wieder das Dreieck angeklick glaube ich hier die Strecke will ich nicht sehen die da so wieder das dre okay so also ich habe den Umkreismittelpunkt konstruiert jetzt konstruieren wir mal den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden was muss ich jetzt machen Winkelhalbierende okay die müssen irgendwo hier oben sein ne gucken wir mal hier sind die Winkelhalbierenden ja online wurde gefragt ob das der Schwerpunkt ist oder der inkreismittelpunkt nee nee das ist der Umkreismittelpunkt den wir gerade konstruiert haben die anderen konstruieren wir jetzt ne jetzt machen wir die winkelhalbiendee da schauen wir mal was muss man da machen das steht da unten wer di Punkte oder zwei Geraden so ich möchte die Winkelhalbierende dieses Winkels hier unten konstruieren und drei Punkte auswählen und ihr alle wisst jetzt in welcher Reihenfolge ich die drei Punkte auswählen muss in welcher wer kann mir die Reihenfolge sagen da merkt man die Entwickler von GeoGebra haben sich an der mathematischen Norm orientiert ja gegen den Urzeigersinn also B gegen Urzeigersinn genau B AC richtig erst B dann a dann C und zack schon habe ich die Winkelhalbierende und damit wir die von den Mittelsenkrechten unterscheiden können wähle ich mal eine andere Farbe aus nämlich rot okay so so dann nehmen wir noch mal die anderen beiden Winkelhalbierenden C ne AC CB und CBA so okay und was sieht man hier was passiert mit den drei Winkelhalbierenden na ja okay ist klar ne schneiden sich auch alle in einem Punkt überraschenderweise haben wir bewiesen da muss so sein ich markiere mal den Schnittpunkt dazu brauche ich natürlich nur zwei dieser Geraden auswählen HSA man muss wirklich genau klicken ne so wie könnte ich denn den Punkt nennen wenn das hier der Umkreismittelpunkt war muss das ja was sein was ist das für ein besonderer Punkt im Dreieck ah es wird online gefragt ist die Reihenfolge nicht egal ähm bei Winkelhalbierenden in der Tat weil auch die Winkelhalbierende auf der anderen Seite des Winkels die Winkelhalbierende ist in der Regel ist aber nicht egal muss immer gegen den Urzeigersinn denken okay was ist das für ein besonderer Punkt wer weiß es was gilt denn für den Punkt D was für eine Eigenschaft hat denn ein Punkt auf einer Winkelhalbierenden das müsst ihr aber wissen haben wir bewiesen ein Punkt auf der Winkelhalbierenden ein Punkt P auf der Winkelhalbierenden zweier Geraden g und h hat welche Eigenschaft ja bitte er hat glaube ich zu allen Seiten das GLE also das gleiche lot also dass er quasi die kürzeste Strecke zu jeder Seite ist halt gleich lang genau hat den gleichen Abstand von den beiden Beteiligten geraden oder in dem Fall von den dreieckseiten ne das hei dieser Punkt hat den gleichen Abstand von dieser Seite und dieser Seite wenn man das Lot Fällen würde kann man mal machen hier glaub senkrechte gerade kann man machen ne von D also [Musik] von diese Seite und der Punkt D dann haben wir hier das Lot und zu dieser Seite das Lot und zu dieser Seite das Lot so und die jeweiligen nur die Abschnitte natürlich bis zur Seite die Streckenabschnitte die sind gleich lang was ist das dann für ein besonderer Punkt hat auch was mit Kreisen zu tun ja der Innenkreis vom Dreieck ja schauen wir mal oder müsste ja so sein oder guck wir mal ich ziehe einen Punkt jetzt brauche ich jetzt brauche ich ein Schnittpunkt hier noch am Rand sonst kann ich keinen Punkt auswählen also ich schneide mal jetzt diese Seite mit dieser Geraden und jetzt kann ich einen Kreis mit Mittelpunkt durch Punkt konstruieren ne diesen Punkt brauchte ich hier so und ist tatsächlich so der der dieser Kreis berührt jetzt hier die drei Seiten weil die jeweiligen Lote an den berührpunkten senkrecht stehen auf den Dreiecksseiten und auch wenn wir hier wieder verändern werden wir feststellen es wird immer so bleiben ne okay also nennen wir das Ding jetzt innenkreismittelpunkt also I vielleicht und Blenden mal die Dinge aus die wir nicht mehr sehen wollen nein doch so und e brauchen wir auch nicht mehr ne so okay jetzt haben wir den Schnittpunkt der mittelsenkrech und den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden welche Schnittpunkte haben wir noch konstruiert W erinnert kannst du das Mikro nach hinten gehen bitte ich glaube wir haben noch die dreieckshöhen konstruiert die dreieckshöhen okay wie können wir die denn jetzt konstruieren hat i mE eine Idee als will jetzt die dreieckshöhe ich mache mal das Dreieck so hier hin so die dreieckshöhe Konstruieren von C die zum Punkt C gehört also die Höhe hier auf ab mhm man braucht eine senkrechte zu ab die durch C geht ja genau dann machen wir das senkrechte gerade zu ab durch C okay das machen wir jetzt bei allen und wel ich brauche ich noch die hier so blöd g jetzt schneiden sich da oben so h wir das mal bisschen runter okay hier oben ist der Schnittpunkt der höhenschnitt Punkt liegt diesmal außerhalb des Dreiecks sind eigentlich nicht die Höhen sondern es sind die Geraden die durch die Höhen bestimmt werden ne die Höhen sind eigentlich nur die Strecken innerhalb des Dreiecks aber da gehen natürlich die Liegen auf geraden und die habe ich geschnitten jetzt Okay geben wir den mal andere Farben machen wir die mal blau die auch blau und die auch blau so ups habe ich eine falsche blau gemacht die sollte doch blau werden hier okay dann bilden wir noch den Schnittpunkt von zwei dieser Geraden und dann nennen wir den H oder für höhenschnittpunkt so okay wir haben noch einen weiteren Schnittpunkt gebildet machen wir alle machen wir es vollständig welchen kennen wir noch wir haben jetzt die Höhen geschnitten die Winkelhalbierenden geschnitten und die mtelsenkrechten geschnitten es fehlt noch einer ein Schnittpunkt fehlt noch ja du möchtest fangen okay super die Seitenhalbierenden die Seitenhalbierenden wie kriege ich die Seitenhalbierenden was mus ich da machen also ich meine vom Winkel zum also vom gegenüberliegenden Winkel zur gegenüberliegenden Seite genau auf die Mitte von der Seite also auf die wo die Mittelsenkrechte beginnt wo die Mittelsenkrechte beginnt oder genau also den jede Seite hat ja eine Mittelsenkrechte der Schnittpunkt der Seite der Mittelsenkrechte ist der mit ist die Mitte der Seite und dann von der gegenüberliegenden Ecke hin zu zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite ja so und wenn wir diese Strecken jetzt konstruieren wollen brauche ich tatsächlich die Mittelpunkte der Seiten aber die habe ich ja weil ich muss ja nur die Mittelsenkrechten schneiden mit den jeweiligen Seiten das mache ich mal hier die schneide ich [Musik] mal die schneide ich und diese hier das waren die schwarzen ne so und D will W nicht durcheinander kommen zeige ich da mal nicht die Beschriftung an weil ich möchte eigentlich nur jetzt die Punkte sehen die Schnittpunkte die uns irgendwie interessieren so na doch war doch richtig na was ist denn das hier für ein J kommt denn das her meinst du ich habe jetzt zweimal den Punkt konstruiert vielleicht jetzt können wir mal schauen im algebateil es gibt hier so ein algebateil Ansicht Algebra J ist die Strecke nee quatsch das ist kleinj machen wir den ja stimmt dann löschen wir den oder weg damit so jetzt blenden wir den Algebra Teil wieder aus den brauchen wir nicht so okay ja genau so wollten wir es haben so und jetzt bilden wir die Seitenmitten die seitenhalbieren Entschuldigung das sind Strecken von einem Punkt aus zur jeweiligen gegenüberliegenden Seiten mititte und die können wir auch gleich noch grün machen würde ich sagen oder grün haben wir noch nicht grün okay das ganze noch mal von dieser Seiten mititte zu diesem Punkt Einstellungen Farbe grün ist gerade ein bisschen umständlich aber egal habe ich das Grün genommen nee das hier okay und welche fehlt noch die da ne und was fällt euch auf schaut euch das mal schon mal an was passiert mit den drei Seitenhalbierenden was passiert mit den drei seitenhalbierenen online wird gerade noch gefragt ob die winkelhalbieren nicht eigentlich Halbgeraden sind ja könnte man auch so definieren genau in GeoGebra sind die winkelhalbieren tatsächlich Geraden also was passiert mit den drei Seitenhalbierenden offensichtlich schwierig schwierig ja genau ihr alle wisst das wolltest du nicht sagen die schneiden sich in einem Punkt ne hier in dem Punkt den nennen wir mal s so jetzt haben wir wieder J hier umbenennen in s okay so und den machen wir ne lassen wir mal so okay was ist denn der Schnittpunkt der seitenhalbieren für ein besonderer Punkt es ist nicht der innkreismittelpunkt es ist nicht der Umkreismittelpunkt sondern ja da ist es ich bin mir nicht sicher aber äh er teilt die Seitenhalbierenden 2 Z ein Verhältnis richtig also die Seitenhalbierenden werden Verhältnis 2 Z1 geteilt wenn man mal diese seitenhalbierende von A ausgehen sehen dann ist diese Teilstrecke also die Strecke von A bis S doppelt so lang wie die Strecke von S bis zu dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite 2 Z ein und zwar bei jeder Seitenhalbierenden okay die der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ist der sogenannte Schwerpunkt wenn ihr so ein Dreieck nehmt stellt euch vor so ein pappdreieck Ja und euren Finger und ihr legt das Dreieck auf euren Finger irgendwo drauf dann wird es runterkippen an der Seite ne dann verschiebt ihr das Dreieck so lange bis das Dreieck in der Schwebe auf eurem Finger ist und dann befindet sich der Finger die Fingerspitze direkt am Schwerpunkt also der Schwerpunkt eines Dreiecks sozusagen der Punkt bei dem die das Dreieck äh so ausgeglichen liegt dass es nicht zu einer der Seiten wegkippt wenn ihr es sozusagen an diesem Punkt ähm befestigt das ist der Schwerpunkt ne bei einem Kreis ist der Schwerpunkt der Kreismittelpunkt ne ist klar wenn es irgendwo ein Rand vom Kreis kippt er von der Seite weg beim Kreis direkt den Finger Mittelpunkt vom Kreis und der bleibt auf der auf dem Finger stehen so bei dem Dreieck ist es der Seitenhalbierenden Schnittpunkt okay so und jetzt kann man sich diese die Situation anschauen und ein bisschen variieren und schauen was passiert und da wä jetzt meine Frage an euch habt ihr hier was entdeckt bezüglich der drei oder dieser vier Schnittpunkte mus man vielleicht ganz genau hinschauen ja ich konnte die so zusammenschieben dass alle schnittpunke aufeinander legen dass ich ein Dreieck habe wo alles in einem ist ein Dreieck wo alle aufeinander liegen genau jetzt gucken mal ob wir das hinkriegen alle vier Punkte hier u i S und H Umkreismittelpunkt inkreismittelpunkt Schwerpunkt und höhenschnittpunkt so dass es auf einem Punkt liegt ne muss hier vielleicht noch ein bisschen so oh sieht das toll aus bei welchem Dreieck ist das der Fall dass alle Punkte aufeinander liegen was ist das für ein Dreieck mhm ich hätte gesagt das ist ein gleichseitiges ein gleichseitiges Dreieck genau beim gleichseitigen Dreieck gehen die Mittelsenkrechten durch den gegenüberliegenden Punkt und teilen gleichzeitig den Winkel in zwei gleich große Hälften also sind gleichzeitig die Winkelhalbierenden außerdem sind es gleichzeitig die Höhen geraden weil auch die Höhe durch einen Punkt geht senkrecht auf der gegenüber liegenden Seite steht und es sind no gleichzeitig die Seitenhalbierenden da drauf weil natürlich die Seitenhalbierenden von dem gegenüberliegenden Punkt zum Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite geht so okay also im gleichseitigen Dreieck liegen alle Punkte aufeinander was passiert denn im gleichschenkligen Dreieck Versuch das hier mal na ja ah gleich esreck ma ich anders Moment war natürlich Blödsinn wartet mal kurz da mus ich den Punkt C bewegen ne na Krieg du mal hin so okay im gleichchenkligen Dreck was ist denn da der Fall was fällt den hier auf im gleichschenkligen Dreieck ja liegen alle auf einer Geraden die Schnittpunkte die liegen alle auf einer Geraden warum das warum müssen die alle auf der Geraden liegen auf der der Punkt liegt die Ecke liegt die ich gerade gezogen habe und das Dreieck sozusagen gleichschenklig gemacht habe ne also die die der Schnittpunkt der beiden Schenkel warum ist das so das liegt in einer Besonderheit vielleicht fällt Euch auf sch mal man sieht nur noch zwei rote geraden und zwei blaue geraden und zwei grüne Seitenhalbierenden und zwei mittelsenkrecht warum sieht man hier immer nur zwei es liegt ein bisschen an der computerdarstellung aber wo sind denn die jeweils wo ist denn jeweils dritte andere mhm die liegen alle übereinander in der Mitte die liegen alle übereinander hier da auf dieser Geraden hier ne warum na ja die Mittelsenkrechte von ab geht durch C im gleichschenkligen Dreieck ist gleichzeitig die Winkelhalbierende des Winkels hier oben außerdem gleichzeitig die höhengerade und außerdem gleichzeitig die seitenhalbierende unter alle Schnittpunkte ja auch Schnittpunkte dieser vier geraden sind müssen alle vier Schnittpunkte auf dieser Geraden liegen geht nicht anders so spannend wird's jetzt oder noch spannender wird's wenn ich ein allgemeines Dreieck draus mache was passiert dann mal sehen ob das jemand sieht von euch ich gebe euch mal ein Tipp ignoriert mal den innkreismittelpunkt also den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden i ignoriert den mal i wie ignorieren okay fällt Euch was bei H S und U auf ja also die wirken jetzt kongruent auf mich also immerin auf der gleichen Strecke Linie gerade die liegen alle auf einer Geraden scheinbar ne woll mal prüfen ich ich konstruiere Maline gerade durch H und U und schau mal ob s drauf liegt ich ma die mal andersfarbig lila so lila Magenta okay so S und U liegen auf einer gerade jetzt kann ich das hier bewegen und das kann man dann ein bisschen n mit rumpielen egal wie man rumspielt h S und U liegen immer auf der magentanen gerade verrückt oder diese gerade hat einen Namen diese gerade heißt Euler gerade benannt nach Leonard Euler ein berühmter Mathematiker die eulergerade und die eulergerade ist eine gerade auf der liegt der Umkreismittelpunkt der Schwerpunkt der höhenschnittpunkt und noch ein anderer besonderer Punkt den wir jetzt nicht behandeln nämlich der Mittelpunkt des sogenannten feuerbachkreises das ist so ein ander ander geometrischer interessantes geometrisches Objekt im Kontext von Dreiecken und diese vier Punkte liegen auf einer Geraden der Euler geraden den Beweis schaen wir uns nicht an dem Rahmen der Veranstaltung das sozusagen einfach nur jetzt ja zum wundern und ja wir haben das könnte man sagen so ein bisschen explorativ herausgefunden indem wir jetzt hier in GeoGebra verändern und sehen es bleibt immer auf derselben geraden das natürlich kein Beweis ne vielleicht haben wir zufälligerweise nur alle Dreiecke uns angeschaut bei denen das der Fall ist also man müsste h noch ein formalen Beweis führen machen wir jetzt im Rahmen der Veranstaltung nicht bezüglich der eulergaden aber das ist tatsächlich so diese drei Punkte Umkreismittelpunkt Schwerpunkt und höhenschnittpunkt liegen auf einer Geraden nämlich der eer geraden nicht der inkreismittelpunkt ne bei dem ist es nur der Fall wenn wir ein gleichschenkliges Dreieck haben mindestens mal okay ist das nicht wunderschön ich sehe es in euren Gesichtern ihr findet das alle wunderschön