【北京大學】《金融經濟學》北大最受歡迎的課程！經濟學必修! P83 - 83.第15講-02資產定價基本定理的描述、超平面分離定理

咱們在給出資產價格之前我們要給一個定義 就怎麼來定價 這是我們的書上定義 15.2 這個就是狀態價格向量 我定義一個東西 State Price Vector 狀態價格向量 這個狀態價格說的玄乎 其實就是阿羅證券的價格 把它全部弄了一塊 這狀態價格向量有這麼多個東西 一個Phi 我們以後就記為它是一個向量 Phi 等於什麼 Phi1一直到Phi大S 因為大S這種狀態 所以有大S的狀態價格 它是一個列向量 那這麼一個東西 然後每個 我用的是Phi小S Phi1也一樣 用Phi小S 就每一個元素 就狀態價格向量的每一個元素 都是大於零的 認給S 然後它滿足這麼一個條件 什麼叫狀態價格向量 它滿足這個條件 就是認給一個資產J 都有PJ等於S從1到大S Phi S X S J 如果你滿足這個條件 你就是個狀態價格向量 所以狀態價格向量是個什麼東西 狀態價格向量就是這麼一堆正數 注意它是大S個正數 你把這個大S個正數搞出來之後 任何一個資產 市場裏面任何一個資產 你用這一堆狀態價格向量裏面的元素為權重 來去對它未來各個狀態的支付做一個加減平均 就是這個資產現在的價格PJ 對任何一個資產都是這樣 所以如果你能找到這麼一堆正數 滿足這麼一個條件 那麼它就是狀態價格向量 而這個東西 其實我們以前在均衡定價裏面我們是看到過 這個形式其實就是可以反映出來 這就是阿羅證券的價格 為什麼 因為這個X S J 是J這個資產在S小S這個狀態下面的支付 你要把未來某個狀態下面支付折算為現在的價格 你就需要用阿羅證券 用阿羅證券的價格 因為阿羅證券的價格就對應著 未來這個S這個狀態下面的一單位的支付 值現在多少錢 值零時個多少錢 所以你把它未來所有狀態下支付 都用阿羅證券給它折算過來 就是這個資產現在的價格 所以這個XS其實它就是阿羅證券的價格 阿羅證券的價格 既然它是阿羅證券的價格 我們肯定必須得要求它是正的 它如果不是正的話 它如果不是正的 它就是 你說價格負的 這就不對了 不符合基本的我們的要求 好往下 我們要證明一個非常重要的定理 這就是我們無套利定價的理論基礎 這個定理叫做 這個定理名字很霸氣 資產定價基本定理 Fundamental Theorem of Asset Pricing 這個霸氣側漏 所以你從它的名字你就知道 這是個非常重要的定理 Fundamental 能夠在我們理論裡面標上Fundamental的字樣的東西 那是很少的 Fundamental Theorem of Asset Pricing 這個定理非常簡單 這定理程度上也非常簡單 就如果沒有一個資產市場裡面 如果沒有套利 如果沒有套利機會 如果不存在套利機會的話 那麼它就等價於 或者你可以說是當且僅當 一個資產市場不存在套利機會 當且僅當 這個資產市場裡面存在著一個狀態價格向量 Fundamental 也就是說 如果一個資產市場沒有套利機會 你一定能夠找到這堆數 這大S是個政府 組成一個狀態價格向量 來給所有資產定價 反過來說 如果你能夠找到這麼一個 如果有這麼一個狀態價格向量 那麼這個市場一定是無套利的 這是個當且僅當 那麼這個定理我們要證明它其實比較複雜 這個證明的過程不要求 不要求大家掌握 但是要給大家推導一遍 因為這個定理非常重要 你如果不給大家推導一遍 大家以後整個理論 就覺得心裡面是發虛的 用它的時候 我覺得是經常大家會碰到一個東西 比如說讓大家做一些理論的證明 其實證完大家都忘了 一般考完之後就忘了 但你證還是沒證過它 這個對你心理的影響很大 證過之後你就知道 這個東西是靠譜的 是能靠住的 哪怕你以後都忘記了 但你會記住我自己見過它的證明 所以對於這麼重要一個定理 霸氣外露的一個定理 我們肯定要證它 但我們證就只能給出一些證它的idea 讓大家能夠看到證明的過程什麼意思 是個什麼樣的思路 這個思路其實本身是很有趣的 為了證明這個定理 我們需要另外一個定理 作為它的輔助工具 這個定理其實也是非常重要一個數學的定理 就是超平面分離定理 Hyperspace Separation Theorem 超平面分離定理 數學系的同學可能是聽過的 Hyperspace 文科的同學估計是沒聽過 Hyperspace Separation 如果沒聽過這個定理的同學 今天回去之後可以找你們室友跟他們說說 我們今天學了超平面分離定理 超平面分離定理什麼意思 其實很簡單 證明起來很複雜 這個是很多數學的大定理證明要靠它 它的意思很簡單 就說我在空間中 空間可以是任意維度的 比方說黑板上二維平面上 我任意找兩個分離的凸極 什麼叫凸極 凸極 這叫凸極 什麼凸極 如果一個東西是凸極 它在這個集合裏面任找兩個點 然後這兩點做一根直線 做根線段把它連起來 這個線段上的所有點都還在這個集合之內 這就叫凸極 所以它是個凸極 我們中文字就很形象 凸極 不是凸極什麼樣的 比如我們這麼一個集合它就不是凸極了 比如我們一個腰果 大家吃過腰果的 腰果就不是凸極 為什麼 我這連一個點 這來一個點 連起來的話 這一截不在腰果裏面 所以就不是凸極 所以凸極就是一個球 簡直看起來就是球 凸極 然後這倆凸極要分離 要分離開 就它不能粘在一塊 又不能重疊 不能重合 所以如果你能夠在空間中有兩個分離的凸極 比如A和B 如果你找到兩個分離的凸極 那麼你一定可以咔嚓一刀 把它們倆切到兩邊去 分開它 當然這個切法肯定有很多 比如這可以切一刀 這也可以切一刀 這樣也可以切一刀 都行 那麼就告訴你 只要你能夠分離 只要你找到兩個分離的凸極 我就能夠用一刀 這個一刀是什麼東西 就是一個超平面 那麼我們這是二維的空間 二維平面 在黑板上是二維平面 所以這個二維空間的一個超平面什麼的 就是一根直線 就比它低一個維度 把它分開了 所以只要你能找到兩個分離凸極 你就一定能夠把這兩凸極用一個超平面 就是咔嚓一刀切開 這就是超平面分離定理 就這麼簡單 然後你用數學來描述它是怎麼描述的 就只有兩個集合 認給兩個 認給convex A B 且A交B是空極 A交B是空極 那麼一定可以找到一個 那麼如果是這樣的話 那麼存在一個線性的函數 其實不是函數 其實它是一個泛函 你把它理解為函數就行了 存在一個linear function F使得Fa小於Fb 認給A屬於A B屬於B 這就是我們的超平面分離定理的一個數學的描述 認給兩個凸極 交極為空 它們是分離的 交極為空 就存在一個線性的函數 它其實應該是個泛函 因為它這個集合未必是數 它可能是其他東西 但沒關係 我們就把它理解為線性函數就行了 它是個線性函數 這個函數就是你把A裏面隨便一個元素拖出來 B裏面隨便一個元素拖出來 把它函數值算出來 你會發現A裏面元素的函數值 怎麼也算不過B裏面元素的函數值 這個數學描述 結果我把它分開了 我就用這個東西把它分開了 然後為什麼我們說要linear function 線性函數 因為線性函數有個重要的性質 待會我們會用的上 線性函數Fμx 這是線性函數 這個μ是一個實數 μ是個實數 那麼線性函數有一個性質 就是你可以把這個東西提出來 可以把μ提到函數外面去 這是線性函數的一個性質 不是所有函數都能幹這個事的 只有線性函數能幹這個事 我把這個函數的自變量把它乘上一個常數 乘上一個實數 然後可以把實數提到函數外面來 這是線性函數 比如我們舉個例子 這個是 比如這個 y等於2x加1 這是個函數 我們寫成這樣 Fx等於2x加 這是個線性函數 那麼這個F2x等於多少呢 既然這還沒有這個 不能有這個 這個截句線不能有 這就不是線性了 我寫成這樣 這個2x我寫成這樣 寫到這了 Fx1 x2 等於比如說這個 α1 x1加上α2 x2 這個α1和α2是兩個常數 是常數係數 所以它這個自變量兩個 所以我說這個F 我把這個x叫做x 這是個向量 那麼F2x這個向量什麼意思呢 就是說 F2x1 2 x2 就兩個東西 它兩個自變量同時乘上一個數 乘上一個這個2 那麼就等於 2倍α1 x1 加上2倍α2 x2 對吧 不就等於這個 2倍的F x1 x2 所以這是線性函數的一個性質 這是線性函數的一個性質 那如果不是線性的呢 就如果上面給你 它不是α1 x1 而是α1 x1的平方 這就不行了 就沒有這個性質了 所以如果加個平方 大家可以試一下 如果加上平方的話 就沒戲了 就沒有這個性質了 所以我們就要求它是個線性函數 這個定理的證明 就不是我們要關心的 這個超平面分離定理 這個它的證明的思路 我都不跟大家講了 這個你們需要知道的話 就去問數學老師去 這個不是我的事了 我們現在要給的思路 是我用這個東西 用這個工具 我怎麼來證明上面這個東西 就我把這個 我把這個 這個當且僅當的條件給它證明出來 我們先來證明複雜的這一點 這個方向 就從無套利 到存在狀態加個向量 反過來其實很顯然 反過來顯然