【北京大學】《金融經濟學》北大最受歡迎的課程！經濟學必修! P96 - 96.第17講-04按揭貸款定價

好 接下來我們講另外一個東西 就講這個mortgage 講這個按揭貸款 這個按揭貸款大家以後都會碰得到 只要你買房子 除非是富二代 否則的話你都要用這個mortgage mortgage就是一個按揭貸款 就是你去買房子的時候 一般來說房子價格太高了 現在北京什麼樣的房子動輒都是大幾百萬 甚至上千萬 一般的人是一次不能夠掏出這麼多現金來的 所以這個時候你肯定要找銀行要借的 那麼這個找銀行借 銀行它會擔心你不還錢 所以銀行是這樣的 你要去借按揭貸款 就你比如說一千萬的房子 你不能都找銀行借 一般情況下 你不能都找銀行借 你自己得掏一部分錢 這部分錢叫做首付 英文叫down payment down payment 就首付 然後剩下的錢 就你找銀行借的 找銀行借的 然後你把你銀行借的這筆錢支付給賣房的人 你把這房子買過來 當然因為你找銀行借這筆錢 所以你房子的產權就抵押給銀行了 所以你如果去借過按揭貸款 你會看到你的產權證上就會蓋個章 蓋個章這個東西被抵押了 就這個產權不在你這 在銀行那 然後你借了銀行錢你就要還錢 直到你慢慢把你銀行借的銀行錢全都還完了 然後你就去解抵押 就把那個東西給你消掉 就不是把那章消掉 因為都蓋上去了 它就給你 我忘了 反正標註一下已經解抵押了 就產權就回到你了 所以你就相當於把你買的房子的產權抵押給銀行 找銀行借了一筆抵押貸款 然後因為這個按揭貸款的數額都很大 數額都非常大 隨時面臨幾百萬的 所以你銀行 而且時間會很長 一般都比如說十年都算短了 正常一般都二十年 甚至有三十年 所以銀行不能夠說我借了一筆 不就借給你三百萬 三十年後你才還我本期 這個不行 銀行覺得這樣風險會特別大 所以按揭貸款都是本金會逐步逐步還清 不是說等到最後一期才還本金 這跟債券不一樣 債券是前面都還利息 最後一期再還本息 就本金加利息 但是按揭貸款因為數額太大 而且銀行覺得個人借的按揭貸款 可能比如借了個三十年 到三十年該還本金的時候 就不還你了 你就是把房子拿走吧 我住了三十年 我也住夠了 所以銀行肯定不幹 銀行都會要求你持續的還本金 每個月都要還本金 還本金有兩種還法 一個中文叫等額本金還款法 英文叫做even principal payments principal就是本金 每期還的本金一樣多 還有一種還款方法叫做等額本息還款法 就是等額本金還款法 等額本金還款 就是等額本金 還有一個even total payments 中文叫等額本息還款法 等額本息還款 什麼意思 等額本金 比如說打個比方 我借了100萬 然後我要還 比如說我承諾要十期還完 我要還十期 那麼等額本金就是每期還的本金數額是一樣的 每期我都還你10萬塊錢 一直還 這叫等額本金 當你還錢的時候 你不能說只還本金 你還有利息的 等額本金還款 每期你還的本金是一樣多的 但是因為你越還 你欠銀行的本金越來越少 所以你的利息越來越少 所以在等額本金還款的時候 你的總的還款的支付是逐漸下降的 我們可以畫個圖 我畫這兒來 我就畫這兒 這個就是你的payment 這是你的principle principle一直都是一根直線 還的數額都一樣 這是principle 但是你的利息會變化 你的利息一開始比較多 後來因為你本金越還越多 就還的越來越少了 所以這是利息 利息支付就越來越少 所以最後你的總的還款額 每期還的本期的還款額就是變化的 一開始還的比較多 一開始可能還這麼多 到後來就還的這麼多 所以你的總的支付就逐步逐步減少 但是你的本金每期還的一樣多 還有一個就是等額 有些人覺得我一開始這樣還太多 我的壓力太大 現在一開始還太多 有的銀行還開發出另外一種還款方法 就叫等額本息 就是告訴你說你的總的payment 這個payment 總的payment 我就用黃線來表示你的總payment 總的payment是不變的 但是因為你總的payment不變 所以一開始你還的利息會還的比較多 所以你的本金一開始就還的比較少 所以在這個總的固定的payment裏面 你的還的本金的量是這樣的 是逐步逐步上升去的 一開始更多的是來還利息 還的本金比較少 然後到後面 因為本金逐步還的多了 那麼還的利息就比較少 本金就還的比較多了 所以在等額本息還款法下面 你的本金一開始還的慢 然後後面越還越快 這個其實就你每個月該還多少錢 裏面有多少本金 多少利息 這就很難算 這比較難算的 所以你會發現你上網去搜一下 這個什麼按揭貸款還款計算器 就幫你算 比如說你要借比如說一百萬 你要借比如說十年 然後你用什麼樣的利息 那麼你每個月該還多少錢 都可以幫你算出來 就馬上你搜就搜到了 所以這有兩種還款的辦法 這是我們對按揭貸款的一個介紹 按揭貸款有個特點 這個貸款有個特點 它裏面有個option 有個embedded option option of advance payment 提前還款的一個權利 期權 必須要有 這是按揭貸款的特點 它裏面必須要有個期權 就借這個按揭貸款人 他可以提前把本金都還了 就我有錢 本來按道理應該比如這樣還 我就可以選擇在某個時間 我就把本金全還了 像現在說你可以比如說還一半本金也行 就你想還多少 你可以提前還 可以提前還 所以這裏面借款人有個提前還款的期權 為什麼必須要有這個期權呢 因為大家知道這個房子買了之後 我是可能會賣掉的 我可能會把這房子賣掉 但如果說我賣房的時候 我這房子還被抵押了 產權不在我 我想賣賣不掉的 所以如果我不能夠提前還款 比如說我這個產權抵押給銀行 一抵就是20年30年 那這20年30年裏面我就沒法賣房子 這個它約束太大了 比如我可能搬家了 或者我工作換了 我從北京搬到上海去了 我北京房子我想賣 賣不掉 我就沒錢在上海買房子 所以如果是這樣的話 大家可能一開始就不願意去找銀行借這個貸款 因為約束太強了 所以因為有這種賣房的可能性 所以銀行必須要給大家一個權利 就是我如果想賣房的時候 我就可以提前把這個按揭貸款還了 把這個產權從銀行那拿回到我自己手裏 然後我再來賣 所以你會 如果交易20房 一般你都 大家就會發現 你都要先去 賣房的那個人一般都要先去做結抵押 把它抵押給銀行的這個錢 房產產權先拿回來 但是銀行它是沒法分辨說 你一個人找我過來提前還款 它是因為要賣房子 還是因為說別的原因 所以銀行只能說你想提前還款 就給你提前還款 不會去區別說 不會說你只有想賣房的時候 我才讓你提前還款 不會做這樣的 所以它就有一個option 一個按揭貸款裏面有一個option 就我這個按揭貸款可以提前還款 所以因為有這個option的存在 你要給按揭貸款估價 就變得比較復雜 變得比較復雜 因為這個按揭貸款它的存續的時間 是不確定的 有可能這個人就因為提前還款了 有可能提前還款 所以我們現在就來計算 我們現在來計算 那麼按揭貸款怎麼給它定價 怎麼給按揭貸款定價 為什麼要給按揭貸款定價 因為銀行有可能我想把這個按揭貸款 發放出去之後 這是我的資產 我想把這個資產給賣出去 然後我把錢收回來 我發新的按揭貸款 就在次貸危機爆發之前 美國銀行就這麼幹的 它把這個按揭貸款都打包成為這個MBS 這個抵押貸款支持的這種證券賣掉 你要把它資產證券化 把這個抵押貸款要資產證券化 你必須要給它能夠定價 你沒法定價 那就沒人敢買 你也不好賣 所以現在我們就來看 怎麼給抵押按揭貸款定價 當然這個裏面最核心的就是 我要知道這個抵押按揭貸款 什麼時候會被提前還款 當然有可能就賣房子會被提前還款 這當然是一種可能性 還有一種可能性 就比如說你借銀行的按揭貸款利率 比方你寫在合同裏面 比方每年10% 可能沒那麼高 比方5% 每年你還銀行的利息5% 然後後來比如有段時間 利率下降 比如央行降息了 把利率比如降到3%去了 甚至2%了 就你發現現在市場上 我給你2%的 2%或者3%利率能借到錢 結果我從銀行借的抵押貸款利率5% 你肯定就不高興了 所以當利率下降的時候 借款的成本下降的時候 你就有動力去把之前借的抵押按揭貸款給還了 然後以較低的市場利率來重新借錢 所以利率下降的時候 就會引發抵押按揭貸款的這麼一個提前還款的一種風潮 所以今天我們在這算 我們就是來算怎麼來計算利率的變化 市場利率的變化 對按揭貸款價值的影響 或者說按揭貸款價值怎麼會因為利率的變化而變化 所以我們首先要給出個利率的走勢來 所以現在我們要給出來的 我們抵押按揭貸款它是一個衍生品 它是什麼的衍生品呢 它是利率的衍生品 所以我們之前看到的期權美式期權歐式期權 它是股票的衍生品 所以現在我們看到的是一個利率的衍生品 這個利率的衍生品其實比股票的衍生品市場更大 這個是非常龐大一個市場 所以你要計算一個利率的衍生品 你就必須要首先把你的底層資產 也就是利率的運動給它刻劃出來 所以我們還是用二叉數 我們用二叉數 我們就說市場利率一開始是這麼多 R0 R20 R0 然後在每一期我們還是用二叉數 每一期市場利率都有可能上漲也可能下跌 上漲就上到RU 下跌下到RD 這個就等於U乘以R0 我們待會再寫出來 再下一期又可以上漲或者下跌 變成RUU RUD RU0 RDD 然後在這條模型我就直接給的是 在風險中性概率下 上漲和下跌的上漲的概率Q 我們就不要大家去算風險中性概率是多少了 我直接告訴你 這就是在風險中性概率下利率運動的過程 然後我們有些notation 其實主要就是它的notation相對多一些 我們說這個是B0 B1和B2 這什麼 這就是剩餘的未還的本金 所以這個Bt Bt Bt什麼 就是我可以寫成unpaid 沒還的本金 principle 還沒還的本金 在t這個時刻我還沒有還的本金是多少 然後很自然 這個t這個時刻還沒還的本金 所以這個Bt-1-Bt 就是我在這個t-1到t這個時刻中間的這個時段裏面 我需要償還的本金 就是我的principle payment 那還有一個呢 Rbar Rbar是這個mortgage interest rate 就是我這個按揭貸款的借款利率 interest rate 然後我加個bar是什麼意思 我就假設這個東西不變 就我們簽好了合同 這個利率就不變 這當然是為了簡單 當然你如果你把它寫成浮動的利率 比如說浮動利率加點也可以 但這個計算就會變得更復雜 計算方法就不太一樣了 所以我們這方面減變 我就假設這個貸款利率 一旦按揭貸款合同寫出來就不變了 就確定了 就Rbar 所以既然是Rbar 那麼這個Rbar乘以Bt-1 就上一期我剩餘的未償還的本金 乘上我的這個利率 乘上我的按揭貸款利率 就是我這一期需要償還的利息 所以這個是interest rate interest payment 就是我的利息的支付 所以我在t時刻 我在t時刻要支付的本金和利息總額是多少呢 就應該等於Bt-1-Bt 因為Bt是我未償付的 未支付的 這是上一期未支付的 所以這兩個一插 就是我這一期應該支付的這個本金 再加上我應該支付的利息 這就是我的total payment at t時刻的總的本息的支付 總的本息的支付 這是我們的這麼一個notation 好 這麼notation給出來之後 我們現在就要計算這個按揭貸款的利息 對按揭貸款價值 所以我們就要類似我們之前的那個 我們定義值函數 define 我們就要用動態規劃 value function 我把它叫做Vs 就是這個s這個節點 在s這個節點上的這個value function 就是這個 它是完成了這個 怎麼說 這個 value of mortgage 我們這麼寫 value of mortgage after 就是我在這一期 我在這一期的這個total payment 我這一期的本息支付完了之後 at node節點 node s 為什麼我們不用t呢 因為這個t比如在這裏可能有兩個節點 它有u和d兩個節點 所以我們這兩個節點對應的這個貸款的價值是不一樣的 所以這個Vs就是在s這個節點 s比如在u這個節點或者d這個節點 在這個節點 完成了這個節點的本息支付 就這託東西之後 這個貸款還剩多少價值 這是我的value function 這是我的這個值函數 value function 然後在這個節點往後就可以引出兩個節點了 每一個節點往後就可以引出兩個了 我就把這後面這兩個節點 我們分別記為Vsu與Vsd 就分別表示這個是未來一期這個利率上漲和利率下降 這兩種情況下進到的下一個節點 它的這個值函數的值 有問題嗎 這幾個地方其實主要是我們的notation相對繁雜一些 ok 所以現在我們來看 如果沒有 我們現在從簡單的情況來算 no advance payment 就不能夠提前還款 payment 我先算一個不能夠提前還款 這個簡單 那麼我就不能夠提前還款的時候 值函數把它寫為Vsep Vsep 這表明不能提前還款 當然我們再來算可以提前還款 Vsep是等於多少呢 就是用我們的風險中性概率下的資產定價的方程 大家一直不要忘 首先無風險利率要提前還款 這個Rs是什麼 就是這個 所以我們這 我剛纔可能沒講 這個利率的變化 這是什麼利率 這是無風險利率的變化 所以無風險利率 我們再重復一遍 以前講過的 無風險利率是可以變的 但無風險利率 它的無風險體現在 它說是這麼多 就一定會實現這麼多 就我說4%的利率 那我到這個承諾 到我這個合同 貸款和到這個利率結束的時候 我就是這麼多 我給你的利息就這麼多 所以這是 但是它本身是可以變化 比如會因為宏觀經濟或者貨幣政策變化而變化 所以這個是無風險利率本身的變化 無風險利率本身的變化 好 所以我們就用無風險利率貼現 無風險利率貼現 貼現啥呢 貼現它未來pay off的期望 在風險中心概率下面 所以它這個Q的概率 它走到了利率上升的這個節點 所以Q的概率 它需要給的支付就是 R R bar B S 就是我在B這個節點 我這個B這個節點 B這個節點加上 我看看 B S 然後是 就是我現在算這個東西 我首先在S這個節點 V S我們再同步一下 這是在S這個節點已經把 S這個節點的本息已經支付過之後 它的貸款的價值 所以下一期 你就還要支付下一期的本息 所以下一期的利息多少呢 下一期利息就是這期還沒支付的剩餘的 本金是B S 這是這期還沒支付的本金 還剩下的本金 乘上利息 我按揭貸款利率 再加上我下一期需要償還的本金 就B S減去B S U 就我U這個節點 下一個節點 所以這是我要償還的本金 在下一期我要償還的本金 下一個節點我要償還本金 再加上下一期完成了 下一期的本息支付之後 按揭貸款剩餘的價值 就V S U撇 這是走到U這個節點 還有類似的 還有以E減Q的概率 風險中心概率下走到D這個節點 所以支付一樣的 先是利息R bar B S 再加上B S減去B S D B S D再加上V S D撇 這就是我們的貝爾曼方程 然後因為這個B S U和B S D 就無論你下一期是利率上升還是下降 你下一期的剩餘未支付的本金是不變的 都是相同的 我們這方假設是用的等額本金還款法 用的even principal payment 因為這比較好算 用這個這就太難算了 我們用這個等額本金還款 所以這兩東西是一樣的 B S U就等於B S D 所以我可以把這個式子稍微再寫一步 變成E加上R S Q 我再把它寫一下 就R bar B T 就T這個時刻 再加上B T減去B T加E 就把這B S U這些都變成T V S U撇 這也不變 再加上E減Q 其實也可以不寫這東西 寫吧 B T加上B T減去B T減E 不不不B T加E B T加E 再加上V S D減 這是我的這個 我只把這個S換成了T而已 換成T而已 這是不存在還款 不存在提前還款 可能下的 不存在提前還款選項 選下這個我的這個bearment function 那現在我們來寫 如果是 可以提前還款 advance payment payments allowed 就可以提前還款 允許提前還款 如果允許提前還款 那我們的這個值函數怎麼寫呢 就我們現在就用這個V S這東西 V S就不帶撇來表示這是我的值函數 所以現在我其實就是要比較 如果我可以提前還款 那麼就比較 提前還款是嗎 我在現在提前還款 我就把我剩餘本金給還了 所以我一種可能性 我就把剩餘本金還了 這是我的支付 就是我的支付 就是我的剩餘的本金 B B T B S D 但我都不要B B B B B B B B B B B B T B T 我把這個notation稍微改一下 免得混淆 我就把這個R S D變成T T T這個十點的這個利率 所以這個我就把它叫T U 就是T往下一個十點上 T這個時刻往下 利率上漲的這個值函數 這個我把它寫為T D 這樣都對T了 都把S都換成T 所以這邊一樣的 所以這個V T 這地方就應該變成V T 所以這個值函數 我這邊就寫成V T一撇 V T一撇 這樣就notation能對得起來 更清晰一些 這邊我也寫成這樣 我就是V T不帶撇 V T T這個時刻 我這個值函數的值 就可以提前還款了 一種可能性呢 我就直接把本金剩餘本金還了 所以我最後選擇 我是提前還款 我給的少的 還是 我不提前還款 把這個貸款繼續留下去 這個貸款的價值少 貸款價值也就是我需要給出的這個支付 我需要給出支付 那應該是 1加上R T分之1 把這邊抄下來 把這邊類似的 這個就是Q 那如果我這個貸款不去減 不去支付 貸款不去支付 貸款不提前還款 我以Q的概率 我就利率是上升的 利率上升的 R bar 就把這地方抄過來 把這地方抄過來 R bar V T 再加上V T減去V T減一 再加上 下一期這個 利率上V T U 這是下一期的值函數 沒有撇了 這沒撇 再加上 1減Q R bar V T 加上 V T減去V T加一 這加一 這不曉得這是加一 這是加一 這是下一期 再加上 V T D 然後去選 這裡面誰更低 誰更小 如果他更小 如果償還剩餘本金更少 我就償還了 我就把剩餘本金給還了 如果這個更小 我就把剩餘本金留著 我以後再去還 所以在這我們就看到了 像我是在做一個選擇 我就要不要把貸款在這結束 所以這個東西寫出來之後 就可以用我們剛纔看到逆向逆推 來把這個事情就給它解決了 就把這個算出來