Xem xong thích học toán - Bài toán khó nhất trong đề thi khó nhất

Tiếp tục là một bài toán được giải trên kênh 3blue1bro với tiêu đề Vấn đề khó nhất trong bài kiểm tra khó nhất Các bạn có biết đến đề thi Putnam hay không? Đó là một cuộc thi toán dành cho học sinh phổ thông Bài thi làm trong 6 tiếng và chỉ có 12 câu hỏi Chia làm 2 phần khác nhau và mỗi phần 3 tiếng Mỗi câu hỏi được chấm điểm từ 1 cho tới 10 Cho lên điểm cao nhất có thể sẽ là 120 Tuy vậy dù sự thật là những học sinh đủ khả năng để tham gia thi hàng năm Rõ ràng đều là những học sinh rất hưng thú với toán Nhưng điểm trung bình thường chỉ khoảng 1 hoặc 2 Vậy nên kỳ thi này rất khó Các bài toán có xu hướng trở lên khó dần từ câu 1 cho đến câu 6 Nhưng tất nhiên khó hay không là còn tùy thủ vào mỗi người nữa Ở đây tác giả sẽ chia sẻ với chúng ta một bài toán Được chọn làm câu 6 thuộc một trong các đề thi đã cho vào năm 1992 Tác giả sẽ giúp chúng ta hiểu được cách mà chúng ta có thể tình cờ phát hiện ra hướng giải quyết Và biết được những ý tưởng đó tới từ đâu Tức là làm một video thiên về quá trình giải quyết bài toán Đây là nội dung của bài toán Chọn 4 điểm bất kỳ trên một mặt cầu Và xét tứ diện có 4 điểm này làm 4 đỉnh Xác xuất để tâm hình cầu nằm trong tứ diện đó là bao nhiêu Các bạn hãy dành một lúc để thử suy ngẫm về câu hỏi này xem sao Và bạn sẽ nghĩ tới điều gì? Có khi nào đã bỏ qua và đi ngủ không? Bạn có thể sẽ bắt đầu nghĩ tới những tứ diện nào sẽ chứa tâm hình cầu Và những cái là không Và cách mà bạn có thể phân biệt được chúng một cách có hệ thống Và làm sao để tiếp cận được bài toán kiểu như này Nói nào như vậy, nhưng ta phải bắt đầu từ đâu? Vẫn là cách tốt nhất để giải quyết những bài toán dạng như thế này Là hãy nghĩ tới những trường hợp đơn giản nhất rồi tăng dần độ phức tạp Như bài toán IMO 2011 ở video vừa rồi Vậy nên hãy đơn giản vài thứ trong không gian 2 chiều Tức là ta sẽ chọn 3 điểm bất kỳ trên một đường tròn Và đặt 3 điểm này là P1, P2 và P3 Câu hỏi đặt ra, xác xuất tam giác có đỉnh là 3 điểm này chứa tâm đường tròn là bao nhiêu? Một câu hỏi khó đúng không nào? Và một lần nữa, bạn hỏi có cách nào để đơn giản hóa thêm câu hỏi này nữa hay không? Và đưa tới một cơ sở nào đó để giải quyết Đó là bạn có thể mừng tượng kiểu cho điểm P1 và P2 cố định Và để điểm P3 di chuyển Và khi bạn làm như vậy, bạn có thể nhận thấy rằng Có một vùng đặc biệt, một đoạn cung Nơi mà khi P3 ở trong đoạn cung này, tam giác sẽ chứa điểm tâm Còn khi không ở trong thì nó sẽ không chứa Cụ thể, bạn vẽ các đường thẳng từ P1 và P2 qua tâm hình tròn Hai đường thẳng này chia vòng tròn thành 4 vòng cung Và nếu P3 xuất hiện ở trong vòng cung đối diện với P1 và P2 Tam giác sẽ chứa tâm của vòng tròn Mấy vòng cung còn lại thì sẽ không Ở đây ta cho rằng tất cả các điểm có thể ở mọi lơi trên vòng tròn Vậy xác suất của P3 nằm trên vòng cung đó sẽ là bao nhiêu? Đó là chiều dài của vòng cung chứa cho tổng chu vi của vòng tròn Vậy tỷ lệ đó là gì? Rõ ràng nó phụ thuộc vào lơi ta đặt hai điểm P1 và P2 đầu tiên Nếu chúng cách nhau 90 độ Vòng cung liên quan là 1 phần 4 vòng tròn Nhưng nếu hai điểm này cách xa nhau hơn Tỷ lệ đó sẽ gần như là 1 phần 2 Và nếu chúng thật sự gần nhau Thì tỷ lệ đó sẽ tiến gần tới 0 P1 và P2 được đặt một cách ngẫu nhiên ở bất kỳ đâu trên vòng tròn Vậy thì kích thước trung bình của cái vòng cung được tạo ra là bao nhiêu? Có lẽ bạn sẽ nghĩ rằng đặt P1 cố định và cho P2 di chuyển Tất cả các góc khả thi giữa cặp đường này Từ 0 độ cho tới 180 độ có khả năng như nhau Vậy mỗi tỷ lệ giữa 0 và 0.5 là khả thi như nhau Và điều đó có nghĩa là tỷ lệ trung bình sẽ là 0.25 Vậy nếu tỷ lệ trung bình của vòng cung là 1 phần 4 vòng tròn Thì tỷ lệ trung bình mà điểm thứ 3 rơi vào vòng cung là 1 phần 4 Và điều đó có nghĩa là tỷ lệ trung mà tam giác chứa tâm cũng là 1 phần 4 Nhưng ta có thể mở rộng cái này ra theo khểu không gian 3 chiều hay không? Hãy tưởng tượng 3 trên 4 điểm được đặt cố định Vậy điểm thứ 4 sẽ ở đâu trên hình cầu để khi hình khối được tạo thành bởi 4 điểm Sẽ chứa tâm của hình cầu Cũng giống trước đó, hãy vẽ các đường thẳng từ mỗi điểm của 3 điểm cố định đi qua tâm hình cầu Tại đây ta thử vẽ vài mặt phẳng tạo ra từ mỗi cặp đường thẳng Giờ thì ta thấy rằng các mặt phẳng này chia hình cầu ra 8 phần khác nhau Mỗi phần là 1 thứ như tam giác 3D trong hình cầu Và hình tứ diện sẽ chứa tâm điểm hình cầu Khi điểm thứ 4 nằm trong hình tam giác 3D nằm đối diện với 3 điểm đầu tiên Cái này khác với trường hợp 2D trong không gian 2 chiều Và rất khó để xác định kích cỡ trung bình của phần ta để 3 điểm di chuyển Nên ta phải làm gì bây giờ? Hãy quay lại với bài toán ban đầu trong không gian 2 chiều Và nghĩ rằng nếu có cách nào để giải bài toán này hay không? Đáp án 1 phần 4 nhìn rất đẹp đẽ Và nó lại khiến ta tự hỏi rằng số 4 này đại diện cho cái gì? Xem lại các đường thẳng chúng ta vẽ từ P1 và P2 qua tâm điểm Chúng làm bài toán dễ nhìn và suy luận hơn Và nói chung thì khi nào bạn thêm cái gì đó Bạn sẽ làm bài toán trở lên dễ hình dung hơn Và nếu bạn di chuyển lại bài toán mà bạn vừa nghĩ ra vào vấn đề ban đầu Trong trường hợp này, thay vì nhìn nó theo kiểu chọn 3 điểm ngẫu nhiên Hãy bắt đầu bằng việc nói rằng Chọn 2 đường bất kỳ đi qua tâm của vòng tròn Mỗi đường có 2 giao điểm khá thi Tùng đồng su để chọn ra vị trí của điểm P1 cho đường 1 Và đường kia sẽ là điểm P2 Việc chọn 1 đường ngẫu nhiên và chọn như vậy Cũng giống như việc chọn 1 điểm ngẫu nhiên trên vòng tròn Nhìn qua thì mới đầu tưởng phức tạp lắm Nhưng lý do cho việc nghĩ về công đoạn ngẫu nhiên này là mọi việc dần trở lên dễ dàng hơn Ta vẫn nghĩ rằng điểm P3 vẫn là 1 điểm ngẫu nhiên trên vòng tròn Nhưng nó đã xác định trước khi có 2 điểm P1 và P2 Bởi vì như bạn thấy Một khi 2 đường và điểm thứ 3 được xác định Chỉ có 4 khả năng cho vị trí P1 và P2 Dựa trên việc tung đồng su vừa rồi Mỗi khả năng đều là như nhau Nhưng chỉ có 1 trong 4 khả năng mà làm cho P3 ở cùng đối diện của P1 và P2 Và tạo ra tam giác luôn chứa tâm điểm Vậy nên không cần biết 2 đường đó và P3 nằm ở đâu Lúc nào cũng sẽ chỉ có 1 phần tư xác xuất là đồng tiền sẽ tạo ra 1 tam giác chứa tâm điểm Nghe có vẻ mơ hồ Chỉ bằng việc nhìn theo 1 cách khác về công đoạn ngẫu nhiên cho việc chọn điểm Câu trả lời 1 phần tư xuất hiện theo 1 cách khác với những gì chúng ta đã làm trước đó Và cũng khá là quan trọng cách diễn đạt này tượng trưng khá ổn ngay cả trong không gian 3 chiều Thay vì chọn 4 điểm ngẫu nhiên Hãy tưởng tượng chọn 3 đường thẳng ngẫu nhiên đi qua tâm của hình cầu Và điểm ngẫu nhiên nào đó là P4 Đường thẳng đầu tiên cắt hình cầu ở 2 điểm Tung đồng su lên và chọn 1 trong 2 điểm là P1 Tương tự trên mỗi đường thẳng khác Tung đồng su và chọn được điểm P2 và P3 Giờ thì có 8 khả năng tung đồng su Nhưng chỉ có 1 trong số đó sẽ cho vị trí đối diện của P1, P2 và P3 trên hình cầu chứa điểm P4 Vậy chỉ có 1 trong 8 khả năng sẽ tạo lên hình tứ diện chứa tâm điểm Đây là đáp án hợp lệ cho bài toán Rất thú vị phải không các bạn? Từ vấn đề ban đầu mà tác giả đã dẫn dắt chúng ta đến 1 cách giải toán hoàn toàn độc đáo và dễ hiểu Cố gắng đơn giản hóa bài toán cho đến khi bạn có manh mối nào đó Và rồi khi bạn bắt đầu giải sẽ có những cái gì đó cấu thành lên những thứ hữu ích Và bạn sẽ tự thấy liệu bạn có thể tái cơ cấu bài toán này theo cấu trúc của bạn nghĩ ra hay không Một cách tiếp cận các phương pháp giải toán rất tuyệt vời Nghe đơn giản nhưng đó là 1 hệ thống logic tốt để giải quyết các vấn đề Hy vọng các bạn hãy ghi nhớ phương pháp này Để khi gặp các vấn đề tương tự ta có thể tìm ra cách thực hiện dựa trên các bước mà tác giả đã chia sẻ ở trên Điều quan trọng hơn nữa là nó tạo cho chúng ta sự hấp dẫn trong toán học Giải toán mà không đơn thuần là giải toán Nó như 1 môn nghệ thuật và các bạn sẽ là những nghệ sĩ Cảm ơn các bạn đã theo dõi Hãy để lại những chia sẻ phía dưới và đăng ký kênh để cập nhật các video hấp dẫn