Bất đẳng thức cơ bản và hệ thống- Bài 1: Bất đẳng thức Cô si (2 số) và các hình thức biểu hiện

Bất ẩn thức oxy là một cái bất ẩn thức mà cực kỳ hay dùng và trong chương trình thi cử của chúng ta thì là bất ẩn thức oxy là cái kiến thức chính về bất ẩn thức. Thế thì hôm nay thầy sẽ xây dựng cái chuỗi bất ẩn thức oxy 2 số và những cái hình thức biểu hiện khác nhau của nó. Tức là cùng một đạo lý nhưng mà nó có thể có những cái hình thức biểu hiện khác nhau. Thế thì bây giờ chúng ta xuất phát từ một cái tình huống như này. Nếu AB là những số lửa mặc 0 thì canh A canh B tất nhiên là tồn tại đúng không? Và do đó chúng ta xét một cái hiệu bình phương canh A canh B bình phương lớn mặc 0 như thế này. Chúng ta luôn có cái này. Thế thì khi mà dùng hàng thức đưa ra thì nó phải là A cộng B trừ 2 canh AB lớn mặc 0. Thế thì khi đó mình chuyển 2 canh AB sang bên này thì chúng ta sẽ thu được là A cộng B lớn hơn hoặc bằng 2 canh AB. Đây là một cái hình thức thứ nhất nhé. Đây là một cái hình thức thứ nhất. Đồng thời bây giờ nếu chúng ta chia cái số 2 xuống dưới này thì chúng ta sẽ thu được là A cộng B trên 2 lớn hơn hoặc bằng canh AB. Chúng ta được một hình thức thứ 2. Thế hình thức thứ 2 này nó có một đặc điểm như này. A cộng B chi 2 người ta gọi là trung bình cộng của 2 số đúng không? Còn canh của AB người ta gọi là trung bình nhân của 2 số này. Cho nên cái này được hiểu là trung bình cộng thì lớn hơn hoặc bằng trung bình nhân. Cho nên cái vân thức này còn được gọi là vân thức AMGM. Vân thức AMGM là viết tắt của trung bình cộng và trung bình nhân. Trung bình nhân thì không lớn hơn trung bình cộng. Đấy thì chúng ta có 2 cái hình thức biểu hiện như này nhé. Sau này chúng ta có thể dùng 1 trong 2 cái hình thức như thế này đều ok cả. Bây giờ chúng ta xếp 1 cái tình huống khác là như thế này. AB bây giờ là những số thực. Không phải là số lớn bằng 0 mà là số thực. Thì chúng ta cũng sẽ có A-B bình phương lớn hơn bằng 0. Đúng không? A-B lớn bằng 0. Thế thì chúng ta dùng hàng thức tháo ra. A bình phương cộng B bình phương trừ 2AB sẽ lớn hơn bằng 0. Và mình cũng chuyển sang như vậy thành A bình cộng B bình sẽ lớn hơn hoặc bằng 2AB. Và như vậy chúng ta thu được là sau này khi mà gặp A bình cộng B bình chúng ta sẽ biết được A bình cộng B bình sẽ lớn bằng 2AB. Và đây là biểu hiện thứ 3. Đồng thời chúng ta sẽ có được 1 điều như thế này tức là Nếu bây giờ chúng ta gặp AB thì chúng ta nghĩ gì? Nếu gặp AB thì chúng ta nghĩ gì? Ở đây có phải là nếu mình chia số 2 xuống Nếu mình chia số 2 xuống đây Thì A bình cộng B bình trừ 2 sẽ lớn bằng AB đúng không? Cũng có nghĩa là AB nhỏ hơn A bình cộng B bình trên 2. Đây là hình thức biểu hiện thứ 4. Người ta quan tâm đến 1 vấn đề là Sau này nếu chúng ta gặp A nhân B thì chúng ta có quyền đánh giá gì? Thì chúng ta có thể đánh giá lại. Nó nhỏ bằng A bình cộng B bình trên 2. Đồng thời AB còn nhỏ bằng cái gì nữa? Thì chúng ta xuất phát từ số 2 này. Thế thì cut AB sẽ nhỏ bằng A cộng B trên 2. Đây là hình thức biểu hiện thứ 5. Cùng là cos thôi nhưng mà chúng ta sẽ có 5 hình thức biểu hiện như thế này. Ngoài ra chúng ta còn có 1 tình huống như thế này nữa. Chúng ta có làm A cộng B tất cả bình phương mà trừ đi 4 AB thì bằng cái gì? Cái này bằng gì? Chúng ta dùng hàng thức tháo ra nhé. Thế thì có phải là biến thành A bình cộng B bình cộng với 2 AB trừ 4 AB và thế thì bằng gì? Thế thì sẽ bằng gì? A trừ B tất cả bình phương và chúng ta sẽ có là lớn bằng 0 với mọi AB. Khi bạn A cộng B bình phương trừ 4 AB lớn hơn bằng 0 thì chúng ta thu được điều gì? Thì chúng ta thu được điều gì? A trừ B mà lớn bằng 0 thì chúng ta sẽ thu được 1 điều tương đương đó là A lớn bằng B đúng không? Đây là nguyên lý. Thế thì bây giờ chúng ta thu được điều gì? Chúng ta sẽ thu được là A cộng B bình phương sẽ lớn hơn bằng gì? 4 AB và đây là biểu hiện thứ 6. Thế tương tự như vậy nhé. Nếu bây giờ chúng ta gặp AB mà bây giờ cần phải xem xem AB này nhỏ bằng gì? Thế thì ngoài cái số 5 ra tức là cái số 5 này phải bình phương như này nhé tại vì đây là căn AB thì mình đặt ở đây nhưng mà mình bình phương 2 vế lên thì bên này phải bình phương ra cái này thì AB này sẽ nhỏ bằng là đây mình chia 4 xuống đúng không? 1 phần 4 của 1 phần 4 của A cộng B tất cả bình phương đây là hình thức biểu hiện thứ 7 Bây giờ chúng ta lại xuất phát từ việc này chúng ta có làm chúng ta xét 2 của AB cộng B bình trừ đi A cộng B tất cả bình thì cái này bằng gì? Bây giờ chúng ta dùng hàng thức tháo ra nhé thế thì có phải là bằng 2 của AB cộng 2 B bình trừ đi A bình trừ đi 2 AB trừ B bình và sẽ là A bình phương cộng B bình phương trừ 2 AB thế thì sẽ là gì? sẽ là A trừ B tất cả bình phương và chúng ta biết rằng mỗi 1 bạn bình phương đều lớn bằng 0 cả đúng không? cái này lớn bằng 0 với mọi AB nhé với mọi AB điều này xuyên ra được gì? cái này trừ cái này lớn bằng 0 thì chính tỏ cái này lớn bằng cái này đúng không? cho nên xuyên ra là 2 của A bình cộng B bình sẽ lớn hơn bằng A cộng B tất cả bình đấy, thế thì chúng ta thu được bân thức này bân thức này còn có 1 dạng biểu hiện khác là A bình cộng B bình lớn bằng, tức là sau này khi mà trong quá trình giải toán chúng ta sẽ động trạng đến 1 vấn đề là nếu gặp A bình cộng B bình mà chúng ta cần để xem nó lớn bằng gì A bình cộng B bình xem nó lớn bằng gì thì ở đây chúng ta có cái số 3 này A bình cộng B bình lớn bằng 2 AB đúng không? nhưng mà đấy không phải lựa chọn duy nhất còn 1 lựa chọn nữa đó là bây giờ A bình cộng B bình này mình chia 2 xuống thì có phải lớn bằng 1 phần 2 của A cộng B tất cả bình không? và đây chính là biểu hiện số 8 thế thì bây giờ chúng ta lại tiếp tục 1 vấn đề như thế này nếu chúng ta gặp A cộng B tất cả bình nếu chúng ta gặp A cộng B tất cả bình và đặt câu hỏi là cái này nhỏ hơn bằng cái gì A cộng B tất cả bình phương nhỏ bằng gì thì chúng ta từ đây chúng ta suy ra điều gì đây có phải là nhỏ bằng 2 của A bình cộng B bình đúng không? đây là cái thứ 9 như vậy chúng ta có 9 cái hình thức biểu hiện như thế này và chúng ta có thể vận dụng trong quá trình giải toán đúng không? bây giờ chúng ta thử vận dụng để làm bài này như thế này nhé AB là những số lớn không? chứng minh rằng thì A A cộng với B cộng với 1 trên A cộng với 4 trên B lớn hơn hoặc bằng 6 chúng ta thử chứng minh bức thức này thế thì bây giờ với tinh thần của áp dụng bức thức COSI nhé bức thức COSI có người gọi là COSI có người gọi là AMGM nhưng mà những người lâu năm ở Việt Nam thì hay thường gọi là COSI nó quen rồi nhé chúng ta cứ gọi COSI thì chúng ta có COSI như sau tức là A cộng với 1 trên A đây là 2 số dương đúng không? đủ điều kiện để áp dụng COSI thì lớn hơn hoặc bằng đây mình áp dụng bức thức 1 này bức thức COSI là bức thức 1 kia thì lớn bằng 2 nhân với căn bằng 2 của gì? 2 nhân căn bằng 2 của gì? A nhân với 1 trên A đúng không? và thế thì cái này bằng gì? bằng 2 đúng không? đấy cái dấu bằng xảy ra của cái này dấu bằng xảy ra chúng ta biết là bức thức COSI xảy ra dấu bằng chỗ này dấu bằng xảy ra khi nào? là khi A căn A chuyển căn B bằng 0 tức là A bằng B đúng không? dấu bằng xảy ra là khi A bằng B thì bây giờ dấu bằng ở chỗ này xảy ra là khi A bằng với 1 trên A A bằng 1 trên A thì tức là A dương tức là A bình A bình sẽ bằng 1 tức là A sẽ bằng 1 bởi vì A dương rồi bây giờ mình lại áp dụng tiếp bức thức COSI cho B và 4 trên B đúng không? B cộng với 4 trên B áp dụng COSI thì lớn bằng 2 căn bằng 2 của gì nào? A cộng B lớn hơn hoặc bằng 2 A B 2 căn A B thì bây giờ B cộng 4 trên B lớn bằng 2 căn của B nhân với 4 trên B và bạn này bằng gì? B khử B, đây là 4 căn 4 là 2, 2 nhân 2 là 4 vậy cái này chính là 4 dấu bằng xảy ra khi 2 số này bằng nhau tức là B bằng 4 trên B B bằng 4 trên B nghĩa là mình nhân tráo lên thì B bình bằng 4 B bình bằng 4 mà B dương tức là B bằng 2 chúng ta có thể cho nên là từ 1 và 2 chúng ta suy ra là mình cộng lại nhé, mình cộng cái này này A cộng với 1 trên A cộng với B cộng 4 trên B lớn hơn hoặc bằng bạn này lớn hơn 2, bạn này lớn hơn 4 thì cộng lại đúng không? thì lớn bằng 2 cộng 4 và nó chính là 6 chúng ta có điều phải chứng minh điều phải chứng minh đây chúng ta có điều phải chứng minh và dấu bằng xảy ra dấu bằng xảy ra khi nào A bằng bao nhiêu và B bằng bao nhiêu A bằng 1 và B bằng 2 chúng ta sang 1 ví dụ thứ 6 1 ví dụ tiếp theo đó là câu B đi A trên B cộng với B trên A chứng minh cái này lớn bằng 2 nhé AB dương chứng minh rằng A trên B cộng B trên A lớn bằng 2 theo cách làm thông thường cách làm thông thường cách 1 mà chúng ta vẫn làm từ trước giờ là chúng ta xét hiệu chúng ta xét hiệu muốn chứng minh cái gì lớn hơn cái gì chúng ta xét hiệu xét hiệu là H bằng A trên B cộng với B trên A trừ 2 thì bạn này là gì? mình quy đồng lên trừ đi 2B đúng không? thành A bình cộng B bình trừ 2AB và chia cho tích AB như này nhưng cái này thì là chính là hẳn thức A trừ B bình phương trên AB và lớn bằng 0 đúng không? thì H lớn bằng 0 điều này suy ra hay cũng tương đương với A trên B cộng B trên A lớn bằng 2 và chúng ta có điều phải chứng minh dấu bằng xảy ra dấu bằng xảy ra khi khi cái chỗ này xảy ra dấu bằng 0 tức là chữ B bằng 0 là A bằng B nhưng đó là cách 1 và đấy là cái cách chúng ta vẫn hay dùng để biến đổi tương đương nhưng bây giờ khi chúng ta có công cụ công cụ là bân thức OC rồi thì chúng ta sẽ làm theo kiểu áp dụng bân thức OC nhé chúng ta có làm A trên B cộng với B trên A nếu áp dụng bân thức OC thì sẽ như thế nào? nếu áp dụng OC thì sẽ như thế nào? lớn bằng 2 đây là 1 số, đây là 1 số đúng không? đây là x, đây là y nhé x cộng y lớn bằng gì? 2 nhân canh của gì? A trên B nhân với B trên A đúng không? và bằng gì luôn đấy? bằng 2 luôn ra luôn, 1 vòng ra luôn không cần phải đi qua nhiều vòng này nữa cho nên OC trong 1 số tình huống là nó giúp cho mình làm rất nhanh bây giờ chúng ta xét câu câu C nhé ABC là tùy ý chứng minh rằng A bình cộng B bình cộng C bình lớn hơn bằng AB cộng BC cộng CA đây là 1 bông hoa đẹp là 1 cái kết quả rất là đẹp và chúng ta sau này sẽ nhớ nó để dùng nhưng bây giờ chúng ta chứng minh thế nào? chứng minh ý chứng minh thì chúng ta có cách 1 như thế này cách 1 là cái cách mà chúng ta vẫn hay nghĩ đến khi đầu làm hẳng thức đó là chúng ta biến đổi tương đương thì bất hẳng thức sẽ tương đương với đầu tiên mình nhân 2 lên vì chúng ta muốn tạo hẳng thức thì chúng ta phải có 2 AB 2 AB, 2 BC, 2 CA để chúng ta thiết kế ra hẳng thức cho nên chúng ta sẽ nhân 2 lên nó thành là 2 của A bình cộng B bình cộng với C bình lớn hơn hoặc bằng 2 của AB, BC, CA thế thì sẽ tương đương với gì nào? mình sẽ làm như này, lấy A bình đi với B bình và đi với 2 AB tức là mình sẽ được là A bình cộng B bình trừ 2 AB và mình sẽ có 3 cái ngọc như vậy lớn bằng 0, mình chuyển này sang thì nó sẽ tương đương với nó sẽ tương đương với là lớn bằng A B bình phương cộng B C bình phương cộng C A bình phương lớn bằng 0 thì điều này luôn đúng, và thế là chúng ta có điều phải chứng minh thế còn bây giờ nếu mà chúng ta dùng cosy thì sao? chúng ta dùng cách cosy nhé đây, thấy chữ cách 2 là cách cosy vào đây chỉ cần 1 khoảnh đất nhỏ này thôi cách 2 nhé A bình cộng B bình trên 2 thì theo bất đồng thức cosy chúng ta lớn bằng gì? đây này, dùng cái 3 này A bình cộng B bình trên 2 thì phải lớn bằng A B không? lớn A B đúng không? B bình cộng C bình trên 2 thì lớn bằng gì? B bình cộng C bình trên 2 lớn bằng gì? thì theo phong cách đó đúng không? lớn bằng B C và C bình cộng A bình trên 2 lớn hơn bằng C A sau đó bây giờ mình cộng lại cộng 3 vế lại, cái này cộng cái này thì có phải nói ra là đúng là A bình cộng B bình cộng C bình luôn không? còn 3 cái này cộng lại thì nó đúng là vế trái này không? chính là cái vế trái này luôn A B cộng B C cộng C A và chúng ta có điều phải chứng minh đấy, như vậy dùng cosy nhanh hơn bất thức cosy 2 số là một bất thức mà chúng ta cần phải vô cùng vô cùng thành thục và cái này từ giờ cho đến lúc chúng ta lên học trình độ rất cao chúng ta cũng sẽ dùng nó rất nhiều nhé