Bất đẳng thức cơ bản và hệ thống- Bài 2: Bất đẳng thức Cô si (2 số) và áp dụng

Bất hẳn thức cô si 2 số là bất thức cực kỳ quan trọng và chúng ta cần phải vô cùng thành thùng nó. Hầu hết tất cả các bài toán ở trong phạm vi thi cử học hình giỏi hoặc là thi chuyên là tỷ đệ mà dư của bất thức cô si là cực kỳ nhiều. Nên là chúng ta nhất định phải giỏi cái phần này. Ở bài học này chúng ta sẽ vận dụng bất thức cô si 2 số để giải toán. Bây giờ chúng ta sẽ phát từ bài thứ nhất đi. Chúng ta nhớ là bất thức cô si là như này. Tức là nếu x và y là những số lớn hơn hoặc bằng 0, thì theo bất thức cô si 2 số chúng ta có là x cộng y lớn hơn hoặc bằng 2 can xy. Đây là một trong những dạng biểu hiện phổ biến nhất và chúng ta thường dùng nhất. Thế thì bây giờ chúng ta áp dụng bất thức cô si này. Chúng ta có là A cộng B chi 2 thì có phải lớn hơn hoặc bằng gì? A cộng B trên 2 lớn hơn bằng gì? Lớn hơn bằng can AB đúng không? Thế còn B cộng C trên 2 thì lớn hơn bằng gì? Can BC và C cộng A trên 2 thì lớn hơn bằng can CA. Thế thì từ 3 bạn này mình cộng 3 cái này lại và cộng 3 cái này lại thì chúng ta suy ra điều gì? Nếu bây giờ chúng ta cộng 3 bạn này lại thì nó sẽ biến thành gì? A cộng B cộng C đúng không? Còn 3 bạn này cộng lại thì biến thành gì? Thì chính là can AB cộng can BC cộng can CA và chúng ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra của cái chỗ này là khi 3 bạn này đều đồng thời xảy ra dấu bằng mà bạn này là A cộng B, bạn này là B cộng C và bạn này là C cộng A cho nên dấu bằng xảy ra của các bạn này là của cả các bạn này này là A cộng B cộng C. Đấy, như vậy chúng ta đã giải quyết xong bài thứ nhất. Rất lơn giản đúng không? Một bài toán trông có vẻ không được phận mắt lắm, trông có vẻ ngại lắm đúng không? Nhưng mà chúng ta dùng ớt hơi cô si 2 số thì 1 cái ra luôn. Tương tự nhé. AB trên C mà chúng ta mang cộng với BC trên A thì cái này lớn hơn bằng gì? Nếu chúng ta coi bạn này là x, bạn này là y, đây là tổng của 2 số đúng không? Thì lớn bằng 2, căn bậc 2 của gì nào? AB trên C nhân với BC trên A đúng không? Và cái này là gì? Có một điều vui vẻ là A và A khử mất, C và C khử mất cho nên trong căn còn B bình. Thế thì căn bậc 2 của B bình là gì? Là B đúng không? Vậy chỗ này chính là 2B. Tương tự như vậy, mình lại lấy BC trên A. Bây giờ lấy 2 bạn đầu, bây giờ lấy bạn giữa đi với bạn cuối. BC trên A cộng với CA trên B. Chúng ta lại tiếp tục cô si. Thì lớn hơn bằng căn bậc 2 của gì? Là gì? Là BC trên A nhân với CA trên B. Và cái này chính là B khử B, A khử A còn C bình. Căn C bình là C, tức là chỗ này còn 2C. Tương tự như vậy, chúng ta lại lấy bạn cuối đi bạn đầu. Người ta gọi cái kỹ thuật cô si này là kỹ thuật ghép đôi nhé. Ghép đôi là ghép từng cặp một lần với nhau. CA trên B cộng với AB trên C. Lớn hơn bằng 2 căn của CA trên B nhân với AB trên C. Cái này chính là 2A. Thì sau đó bây giờ chúng ta làm một động tác là chúng ta cộng các bẫn thức cùng chiều lại. Chúng ta mang 3 bạn này cộng lại với nhau nhé. Thế thì có 1 đặc điểm là có AB trên C và có 2 bạn AB trên C. BC trên A có 2 bạn, CA trên B có 2 bạn. Cho nên chúng ta thu được là 2 lần về trái. 2 lần về trái sẽ lớn hơn bằng 3 bạn này cộng với nhau đặt 2 ra ngoài. Là A cộng B cộng C. Mình sẽ thu được 2 về trái lớn bằng 2 lần A cộng B cộng C. Và bây giờ chúng ta khử 2 đi thì có phải là suy ra về trái lớn bằng về phải không? Tức là A cộng B cộng C không? Đây chính là điều phải chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi A bằng B bằng C. Tại vì như này, 2 bạn này sẽ bằng nhau. Muốn 2 bạn này bằng nhau thì... Muốn 2 bạn này bằng nhau đây nhé. Thì AB trên C bằng BC trên A. Thế thì khử B đi thì A trên C bằng C trên A. A trên C bằng C trên A nhân tráo lên thì A bình bằng C bình. A bình bằng C bình thì tức là A bằng C. Và vòng tròn như vậy tức là chúng ta sẽ thu được dấu bằng xảy ra khi A bằng B bằng C. Dấu bằng xảy ra khi A bằng B bằng C. Đấy là bài thứ 2. Thế thì bây giờ đối với bài thứ 3 đi. Bài thứ 3 Bài thứ 3 có 1 kỹ thuật rất hay như thế này. Đó là lấy cái bạn A bình trên B này. Người giải tón phát hiện ra là nếu bây giờ mình cộng bạn B vào đây. Sau đó mình áp dụng cosi. Lấy cái A bình trên B đấy. Mình cộng thêm B sau đó mình cosi nhé. Thì sẽ lớn hơn hoặc bằng là 2. Căn bằng 2 của A bình trên B nhân với B. Nhân với B này là 1 điều chúng ta rất là thích. Bởi vì sao? Bởi vì B trên B dưới nó khử đi. Khi nó khử đi thì nó chỉ còn căn của A bình thôi. Căn của A bình thôi thì tức là nó chính là 2A. Thế này chúng ta thu được 1 điều rất tươi sáng nhé. Một bạn A bình trên B cộng B thì cosi lớn bằng 2A. Tương tự như vậy đối với B bình trên C thì mình cộng gì? Chúng ta sẽ cộng gì khi mà gặp B bình trên C? Cộng C. Thế thì theo cosi lớn bằng 2 canh của B bình trên C nhân C đúng không? Thì cái C khử đi. Còn canh B bình là B tức là chỗ này là chính là 2B. Và chúng ta có hoàn toàn tương tự như vậy. Bây giờ đến bạn C bình trên A. Mình cộng A thì lớn bằng gì? 2 canh của C bình trên A nhân với A và chỗ này chính là 2C. Thì bây giờ chúng ta lại cộng lại nhé. Chúng ta cộng 3 bạn này lại với nhau thì 3 bạn này cộng lại nó chính là cái về trái. Còn 3 bạn này cộng lại nhé. 3 bạn này cộng lại nó chính là A cộng B cộng C. Lớn hơn bằng 3 bạn này cộng lại thì lớn bằng 2. Nó chính là 2 của A cộng B cộng C. Thế thì có phải là thu được về trái sẽ lớn hơn bằng... Đây là cộng A cộng B cộng C. Mà bên này là 2. Chúng ta khử 2 bên đi. Thì còn là A cộng B cộng C. Và đây là điều phải chứng minh. Tất nhiên dấu bằng thể ra khi... Bất ẩn thức cô si xảy ra bằng nếu mà 2 số x y bằng nhau. Cho nên trong trường hợp này là A bình trên B phải bằng B. Tức là A bình bằng B bình. A bình bằng B bình thì tức là A bằng B. Và vòng tròn như vậy cho nên dấu bằng thể ra khi là A bằng B bằng C. Thấy lợi hại của vấn thức cô si 2 số chưa? Rất lợi hại nhé. Câu số 4. Tức là đây là bắt đầu buổi học đầu tiên và chúng ta làm quen với cô si 2 số và vận dụng nó cho nên là chúng ta theo dõi các cách xử lý đối với các tình huống nhé. Được áp dụng. Vấn thức cô si 2 số được áp dụng. Chúng ta lại tiếp tục với câu 4 nhé. A cộng B cộng C cộng 1 trên A và 4 trên B, 9 trên C. Thì bây giờ mình sẽ ghép như thế nào? Thì cái A kia mình sẽ ghép với 1 trên A. Sau đó mình cô si nhé. Thì lớn bằng gì? Cô si 2 số lớn bằng gì? A nhân với 1 trên A và là 2 đúng không? Còn bạn B kia thì mình ghép với 4 trên B thì lớn bằng gì? Cái này mình có nhẩm được luôn không? Bằng 4. Còn bạn C kia thì mình ghép với 9 trên C. Ngoài kỹ năng cô si da chúng ta cần có sự nhạy cảm. Chúng ta ghép một cách phù hợp. Ghép một cách phù hợp thì mới thành công. Thì cái này lớn bằng 2. Căn bằng 2 của C nhân với 9 trên C. Cái này là gì? Cái này là 6 đúng không? Sau đó bây giờ mình cộng lại nhé. Cộng 3 bạn này lại nó chính là về trái đúng không? Còn cộng 3 bạn này lại nó chính là 12 đúng không? Và thế là chúng ta có điều phải chứng minh. Dấu bằng sẽ ra khi nào? A phải bằng 1 trên A tức là A bằng 1. B phải bằng 4 trên B tức là B bình bằng 4 tức là B bằng 2. C bằng 9 trên C tức là C bình bằng 9 tức là C bằng 3. Đấy nhé. Chúng ta sang bài số 5. Bài số 5 kia thì trông có vẻ là 3 phân thức đấy đúng không? Nhưng mà chúng ta có một cái cách là chúng ta tách mỗi một cái phân thức kia ra, một cái phân số kia ra thành 2 bạn. Thế thì bất hẳn thức tương đương với A trên C cộng B trên C cộng với B trên A cộng với C trên A cộng với C trên B cộng A trên B C trên B cộng với A trên B lớn bằng 6 đúng không? Thì bây giờ chúng ta sẽ ghép với nhau như thế này. Tương đương với Bây giờ mình ghép A trên B này mình ghép với B trên A này A trên B cộng với B trên A cộng với A trên C cộng với C trên A A trên C cộng với C trên A cộng với cộng với B trên C cộng với C trên B lớn bằng 6 Thì bây giờ chúng ta bắt giờ áp dụng cosi nhé. A trên B cộng B trên A lớn hơn bằng 2 căn bằng 2 của A trên B nhân với B trên A và chỗ này bằng 2 đúng không? Tức là cái ngọn này lớn bằng 2 đúng không? Hoàn toàn tương tự mình cũng sẽ có cái ngọn này lớn bằng 2 B trên C cộng C trên B lớn bằng 2 và A trên C cộng C trên A cũng lớn bằng 2 Như vậy mình cộng 3 cái này lại thì chúng ta suy ra suy ra bây giờ mình cộng 3 cái này lại thì suy ra là suy ra cái sao này để chứng minh sao đúng Thế mình chứng minh được sao đúng là coi như thành công rồi đúng không? Đó là câu 5 Tức là chúng ta không phải là chúng ta sẽ áp dụng ngay được cosi mà chúng ta phải sắp xếp một cách hợp lý sau đó mình mới có thể cosi được Chứ không phải là lúc nào chúng ta cũng gặm vào một cái chúng ta cosi luôn là thành công đâu nhé Câu 6 Câu 6 chúng ta gặp một cái tình huống là đây là một cái tích chúng ta có một cách xử lý vấn đề như sau chúng ta lấy A cộng B cosi thì lớn bằng 2 can A B sau đó chúng ta lại lấy tiếp 1 trên A cộng 1 trên B thì lớn hơn bằng gì? Nếu mình cosi thì cái này lớn bằng gì? 1 trên A cộng 1 trên B mình coi như đây là x cộng y thì lớn bằng gì? 2 gì? 2 nhân can rồi gì? 1 trên A nhên 1 trên B đúng không? nhưng có điều là can của 1 trên A nhên 1 trên B thì biến thành gì? trên tử là 1 dưới mẫu A B thì can của 1 trên A B thì biến thành là 2 trên can A B như này cho nên chúng ta suy ra bây giờ mình nhân lại nhé lấy A cộng B mình nhân với cái 1 trên A cộng 1 trên B này này A cộng B nhân với 1 trên A cộng 1 trên B thì lúc này sẽ lớn hơn bằng gì? lấy 2 bạn này nhân với nhau là 2 can A B nhân với 2 trên can A B nó chính là 4 và chúng ta có điều phải chứng minh đấy công cộng cosi cực kỳ mạnh mẽ và chúng ta sẽ làm rất nhiều việc liên quan đến cosi này nhé bài số 7 kia ấy cái chìa khóa nó ở chỗ này bây giờ bài số 7 A bình trên B cộng C thì chúng ta dùng 1 cái kỹ thuật là mình cộng thêm 1 cái lượng giống như easy bài 3 vừa rồi bài 3 vừa rồi là như thế này A bình trên B mình cộng B vào sau đó mình cosi 1 cái thì nó mất cái mẫu đi đúng không? cho nên lần này mình cũng vẫn học cái kỹ thuật đấy đó là B cộng C nhưng tuy nhiên ở chỗ này có 1 điều rất quan trọng các bạn cần chú ý nhé đó là khi mà áp dụng cosi phải tính đến 2 bạn đấy nó có thể bằng nhau được ví dụ bạn A bình trên B sau này nó phải bằng được B A bình trên B mà A B bằng nhau thì nó sẽ bằng được B thế nhưng A bình trên B cộng C sau này nó có bằng được B cộng C không? câu trả lời là không bởi vì A bình trên B thì nếu mà A bằng B cộng C thì bạn này nó sẽ biến thành là A bình trên 2A A bình trên 2A tức là A trên 2 bạn này sẽ là A trên 2 nhưng bạn này thì sẽ là gì? bạn này đang là B cộng C tức là sau này A bằng B cộng C thì nó sẽ là 2A nó là 2A mà muốn muốn bằng được A trên 2 thì 2A phải trên mấy? 2A trên mấy thì bằng được A trên 2? 2A trên mấy thì bằng được A trên 2? là trên mấy? trên 4 đấy thì sau đó mình mới cosi nhé mình cosi cho bạn này nếu bằng 2 can bậc 2 của A bình trên B cộng C nhân với B cộng C trên 4 và bạn này bằng bao nhiêu? B cộng C khử A bình trên 4 4 đưa ra ngoài biến thành 2, 2 khử 2 hết can A bình thành A cho nên chúng ta được cái này như vậy sau khi chúng ta cộng B cộng C trên 4, chúng ta cộng vào đây sau đó cosi ra một bạn rất đẹp chính là bạn A này người ta có cái 2 và cái 3 sau đó người ta cộng 1, 2, 3 lại nhé tương tự như vậy chúng ta sẽ có 2 và 3 mình sẽ viết ra, sau đó mình cộng 1, 2, 3 lại thì chúng ta sẽ có được điều phải chứng minh thầy không viết đầy đủ ra nhé, viết tắt như vậy thôi chúng ta sang bài số 8 bài số 8 như thế này thầy chỉ mời bài số 8 vào đây bài số 8 người ta yêu cầu đây mình có A cộng B này thì lớn hơn hoặc bằng 2 can A B đây đúng không còn B cộng C thì lớn bằng 2 can B C và C cộng A thì lớn hơn bằng 2 can C A bây giờ mình làm 1 động tác gì chúng ta sẽ làm gì bây giờ chúng ta sẽ nhân lại chúng ta sẽ nhân 3 bạn này theo vế này 3 bạn này nhân với nhau thành A cộng B nhân với B cộng C nhân với C cộng A lớn hơn bằng 3 bạn này nhân nhau thành 8 này, còn cái này là can của A B nhân B C nhân C A này nhưng cái này nhé, can của A B B C C A nó chính là can của A bình B bình C bình và nó chính là A B C nó chính là A B C chúng ta có điều phải chứng minh thế là xong thôi, cosi vào cái xong luôn giống bằng thể ra vẫn là A bằng B bằng C nhé nói chung những bài toán mà vận dụng bất cứ cosi để giải toán thì nhiều vô cùng vô tận đây chỉ chúng ta bắt đầu làm quen với 9 bài để chúng ta biết là cosi có rất nhiều tình huống để áp dụng người học bất ẩn thức thì khởi đầu bằng việc cách chúng ta sẽ vận dụng cosi để giải toán một cách tương đối ok một chút là ok nhé thì câu 9 nó khá là làng nhằng như thế này bây giờ mình phải xem cái A trên A cộng với 2 can B C này đầu bài yêu cầu chúng mình lớn 1 đúng không, thì chúng ta có một suy nghĩ là cái này lớn bằng cái gì đúng chưa nó lớn bằng cái gì thế thì bây giờ muốn biết nó lớn bằng gì thì có phải là mình phải xem là cái 2 can B C này nhỏ bằng gì đúng không bởi vì như thế này tức là bây giờ chúng ta muốn đánh giá 1 phân số lớn bằng gì thì chúng ta có 2 lựa chọn 1 là chúng ta xem tử số lớn bằng gì 2 là chúng ta xem mẫu số nhỏ bằng gì 1 là cho tử lớn bằng gì hoặc là mẫu bén bằng gì thế nhưng mà tử số đẹp rồi thì bây giờ chúng ta xử lý cái mẫu ấy cái mẫu có 2 can B C, bây giờ câu hỏi là 2 can B C nhỏ bằng gì thì câu trả lời rất đơn giản thôi nó chính là B cộng C đúng không và do đó chúng ta sẽ có rất đơn giản như thế này chúng ta có 2 can B C thì nhỏ bằng B cộng C thế sẽ dẫn đến là bây giờ mình cộng A lại A cộng với 2 can B C thì sẽ nhỏ bằng A cộng B cộng C đúng không đấy A cộng với 2 can B C nhỏ bằng A cộng B cộng C thế thì bây giờ A trên A cộng với 2 can B C thì quay đầu lớn hơn hoặc bằng A trên A cộng B cộng C mình đánh số cái này là cái 1 nhé tại sao cái này đối bằng cái này nếu chúng ta so sánh đây là 2 phân số nhé thì tử làm sao đây tử bằng nhau đúng không 2 mẫu này, mẫu bên này là mẫu nhỏ hơn, mẫu nhỏ hơn còn mẫu này lớn hơn đúng không 2 phân số cùng tử số, mẫu nhỏ hơn thì phân số lớn hơn đúng chưa, đấy như vậy chúng ta sẽ thu được cái 1 này và tương tự như vậy mình sẽ có gì tương tự như vậy mình sẽ có gì tương tự như vậy chúng ta sẽ có là B trên B cộng với 2 can C A sẽ lớn hơn bằng B trên B cộng với đây này, 2 can C A nó nhỏ hơn C cộng A này nó nhỏ hơn ý, thì cho nên nhưng mà nó ở dưới mẫu cho nên phân số lớn hơn đây là cái thứ 2 và C trên C cộng với 2 can AB thì phân số này lớn hơn bằng C trên C cộng với A cộng B bởi vì 2 can AB nhỏ hơn A cộng B cho nên là cái mẫu này sẽ nhỏ hơn mẫu này, cho nên là phân số này lớn hơn phân số này, và đây là cái thứ 3 thế thì bây giờ chúng ta lấy 1, 2, 3 chúng ta cộng lại vế theo vế nhé cộng 1, 2, 3 vế theo vế thì chúng ta thu được gì có phải là 3 bạn này, bạn 1 bạn 2, bạn 3 này chính là cái vế trái không vế trái sẽ lớn hơn bằng tổng của 3 cái phân số này A trên A cộng B cộng C cộng B trên B cộng C cộng A cộng C trên C cộng A cộng B thì chúng ta có phát hiện ra chuyện gì ở đây không chuyện gì ở đây không nó chính là 1 luôn nó chính là 1 và thế thì chúng ta có điều phải chứng minh điều phải chứng minh dấu bằng xảy ra khi do chúng ta muốn có được dấu bằng ở đây thì cả 3 bân thức 1, 2, 3 đều phải xảy ra dấu bằng đúng không bân thức 1 này xảy ra dấu bằng khi nào là khi 2 can B C bằng B cộng C, tức là chính là dấu bằng của của cosy, nghĩa là B bằng C và do đó vòng quay như vậy chúng ta thu được A bằng B bằng C và chúng ta có điều phải chứng minh đấy thì trong tương lai chúng ta sẽ học về bân thức cosy và vận dụng bân thức cosy rất nhiều chúng ta khi 1 khi mà đã tham gia vào làm những bài tập nâng cao thì chúng ta sẽ bắt đầu đi từ những bước đi cơ bản và khi bân thức cosy 2 số là 1 trong những cái điều rất hay dùng và chúng ta cần phải thành thục và nó cũng rất thú vị nhé