【電子科技大學】《電路分析基礎》—國家級精品課程 P10 - 13. 4-3.結點分析法

同學你好,和上一課我們討論的網絡分析法類似, 我們也可以選取一組獨立的完備的定壓作爲變量, 然後建立方程進行求解。 那麼我們又怎麼樣來選取一組獨立的完備的定壓變量呢? 又通過什麼來建立方程呢? 是我們接下來要討論的問題,節點分析法。 下面我們首先來看節點定壓是怎麼定義的。 對於平面連通電路,我們任選一個節點作爲參考點, 那麼其餘的每個節點到參考點之間的定壓降, 我們稱爲節點定壓。 比如這個電路圖,我們一目瞭然的能夠看出來, 它有六條之路,四個節點。 假設現在我選取最下面這個節點作爲參考節點, 那麼其餘的這三個節點到這個節點之間的定壓降, 我們稱爲節點定壓。 我們在標註節點定壓的參考方向的時候, 習慣上選取參考節點作爲負極, 其餘節點作爲正極。 這樣有個好處,是我們在後面列寫節點方程的時候呢, 係數會更有規律可循,這一點我們一會兒會體會到。 那麼我們說節點定壓是一組獨立的完備的定壓變量, 對於獨立性和完備性的證明, 同學們下去可以自己去想一下怎麼證, 或者是說不清楚的可以去查閱我們的參考教材。 下面我們來看節點方程是怎麼樣建立的。 我們說列寫節點方程的依據不是KVL, 因爲我們的定壓變量是一組獨立的定壓變量, 它的依據是KCL,但是我們要以定壓作爲變量來列寫, 那麼現在對於我們的第一個節點I1是流出這個節點, 流出爲正,我們用歐姆定律代入節點定壓表示出來, 那麼I1就應該等於誰呢,U1-U2乘以G1, 按照這種規律我們來列寫,那這個I5等於什麼呢, I5就應該等於U1-U3乘以G5,流出的電流等於流入的電流, 就等於IS,這是第一個節點。 那麼對於第二個節點和第三個節點的列寫, 我們可以根據我們剛纔所說的這種規律來寫。 現在我們對這組方程做數學整理, 我們將每個節點電壓變量前面的係數提出來, 整理成現在這種形式,我們來觀察這組方程的特點。 那麼形成第一個節點有三條之路, 我們看到第一個方程U1前面的係數是形成這個節點的兩個電導之路的電導之和, 而形成第二個節點是三條電導之路, 所以說第二個方程U2前面這個係數是這三個電導之和, 第三個也是形成這個節點的三個電導之和, 所以說我們把這個係數稱爲自電導, 我們把它稱爲形成這個節點的自電導。 我們再來看其餘的係數規律,比如說第一個方程當中的負的G1, 那我們能夠看出來說的是, 這條之路是跨接在1和2這個節點之間, 也就是說這個電導是1和2的公共的電導, G5是1和3之間的公共電導, 所以說我們看到的這些係數它也有規律可循, 它是跨接在兩個節點之間的互電導的負值。 我們再來看等號右邊,等號右邊這個是電流源的電流, 所以說我們不難看出等號右邊這一項, 它是流入這個節點電流源的代數和電壓聲取證。 我們再來看每一項整體的物理意義,那麼係數乘以電壓以後, 我們說這一項整體的物理意義是這個節點電壓對流出這個節點電流的貢獻, 其餘這些項的物理意義是另外一個節點電壓對這個節點流出的電流的貢獻。 如果節點電壓的參考極性是一致的, 那麼我們說這一項全都是負值,我們可以把這個式子寫成一般形式, 寫成一般形式以後,我們說它和網孔分析法是類似的, 以後我們在列寫網孔方程的時候,我們可以依據係數規律, 根據觀察法建立節點方程,具體的我們通過例題來體會一下。 我們來看這道例題,這道例題當中它已經標註出了參考節點, 以及所求節點,以及這些節點電壓的參考方向, 那我們現在根據它所標註出來的這些,我們來列寫方程, 我們看第一個節點,形成第一個節點的有三條之路, 其中有兩條是電阻之路,所以說我們說它的自電導有兩項, 那我們建立的方程是這個樣子,這有一條之路是跨接在第一個節點和第二個節點之間的, 所以說我們要列寫這個互電導,另外一個電壓對它的電流的貢獻, 我們依據係數規律,照樣來列寫第二個節點, 這是互電導上面的電流,節點1對它的貢獻, 這個是我們這個節點電壓對流出這個節點的所有電流的貢獻, 這個是油3對這條之路電流的貢獻,那我們對第三個也可以採用同樣的係數規律把它列寫出來, 你要注意的是這個地方,我們看這條之路,這條之路是兩個電阻的串聯, 那它總的電導的量值就應該是這兩個電阻相加以後的導數, 而不是這個的導數加這個的導數,這一點大家在列寫方程的時候一定要注意, 那麼現在我們對這一組方程連列求解,我們就可以求解出這三個節點電壓, 假設我們現在求的是這個2Ω的電阻的話, 那我們就可以根據油1和油2筋的關係把它兩端的電壓這樣求出來, 節點分析法和網孔分析法是對偶的關係, 大家在學習的時候要加以體會, 那麼對於含有電壓源的電路在用節點分析法分析的時候, 我們也是分三種情況來處理,第一種情況是兩個節點之間含有純的電壓源之路, 那麼對於這種情況,我們可以直接令這兩個節點之間的其中的某一個節點作爲參考節點, 那麼這樣的話,另外一個節點電壓就確定了,或者說就已知了就是電壓源的電壓, 比如說這大類題,我們可以直接令這個節點是參考節點, 那麼我們說這個時候我們將我們所求的節點的節點電壓以及它的參考方向標註出來, 很顯然這個節點電壓油2就等於電壓源的電壓, 所以說我們說這個量就已知了,那麼對於剩餘兩個節點電壓的列寫, 我們跟剛纔一樣依據我們的係數規律直接列寫就可以了, 所以說我們現在建立的方程對第一個節點是這個樣子, 第二個節點電壓是已知的,第三個節點根據我們的係數規律直接列寫就可以了, 現在我們相當於是兩個變量,因爲這個變量是已知的, 我們連內求解就可以求解出節點電壓油1和油3, 那現在我把這個電路做一個變換,我在這條之路當中再串一個電阻, 我想讓大家想一下,如果我串聯了這個電阻, 那麼我們這個方程會不會發生變化呢? 第二種情況是含油和電壓源串聯的純電阻之路, 比如說這道立體當中這條之路,大家可以看到有一個4伏的電壓源和2歐姆的電阻發生串聯, 那麼我們說我們這個時候可以應用等效變換,將它變換成電流源和電阻的並聯, 那麼這樣我們就可以在電路當中除去電壓源, 然後我們對這個電路再來列寫方程,列寫方程的依據就和我們剛纔的吸水規律是同樣的, 照着吸水規律建立方程就可以了,要注意的是這個電路當中, 油3這個節點和參考節點之間有一個純的電壓源之路, 所以說這個節點電壓是已知的等於8伏, 那麼我們對這個方程連列求解,我們就可以求解出節點電壓油1和油2, 下面我們來看一般情況,比如說這道立體當中這個8伏的電壓源, 它既不在索求節點和參考節點之間,也沒有電阻和它發生串聯, 那麼我們說這種情況怎麼辦呢?我們就需要增設一個流過它的電流變量, 現在我把節點電壓和它的參考方向標註出來, 然後我再把這個變量標出來,我用i來表示, 我們對於這些節點的列寫,第一個節點,由於第一個節點和參考節點之間有一個電壓源之路, 所以說我們說第一個節點的電壓已知就等於14伏, 那麼形成第二個節點,有一條兩條三條四條之路, 其中有兩條是電導之路,而有一個電導之路是跨界在1和2之間的, 所以我們對第二個節點建立出來的方程式負的1倍的油1加1.5倍的油2, 然後要注意的是這兩條之路,這兩條之路我們說這個電壓源之路的電流, 我把它當成已知量,就和這個3一樣是已知的, 我把它寫在等號右邊,所以說就應該等於3減i, 對第三個節點的處理和剛纔是類似的,形成第三個節點有三條之路, 有一個是公共之路,跨界在1和3之間, 所以說我們的係數規律是負的0.5倍的油1加1.5倍的油3, 然後這個電流我們把它當成已知量,寫在等號右邊,流入爲正,所以說是正的i, 現在我們來看,有一個變量,兩個變量,三個變量,四個變量, 由於如果看成已知的話,那我們有三個變量,兩個方程, 這樣的話我們就求解不出來,所以說我們需要增設一個方程, 因爲我們增加了一個變量,那麼我們增加一個什麼樣的方程呢? 我們增加一個8伏電壓源已知的方程,那我們現在需要列寫的是, 這個電壓源電壓8伏和我的節點電壓之間的關係, 那很顯然8伏是等於油2減油3的,所以說我們對這四個方程連列求解, 我們就可以取決出我們所有的變量,下面我們要討論的問題是, 含有受控源的電路能不能用節點分析法或者網孔分析法來求解呢? 我們說可以,我們在分析的時候可以先將受控源當作獨立源來處理, 然後我們再去補充受控源的控制變量與節點電壓或者是網孔電流之間的關係方程, 比如說我們這道例題,請大家用節點分析法去求節點電壓油1和油2, 那我們來看一下這道例題當中還有一個受控電壓源, 這個受控電壓源它既不在我們所求節點和參考節點之間, 也沒有電阻和它發生串聯,所以說我們需要增設一個新的變量, 就是流過電壓源的電流變量,我們根據我們之前所總結出的係數規律, 對這兩個節點建立方程,那這是我們建立出來的方程, 第二個節點的節點方程,現在我們按照之前的對一般情況的求解方法, 我們應該是補充這個電壓源電壓和節點電壓之間的關係方程, 也是這個方程,那我們補充了以後,我們現在來看我們列寫出來的方程, 我們這個方程有四個變量,但是隻有三個方程顯然是求解不出來的, 所以說我們應該再怎麼辦呢?這是一個受控電壓源, 所以說我們應該再補充控制變量I和我們的節點電壓之間的關係方程, 就是I是等於0.5倍的有二的,對這四個方程連力求解, 我們就可以求解出我們所關心的變量了。 現在我們已經討論了很多種求解電路的方法, 對於每一個具體的電路到底採用什麼樣的方法呢? 我們說這個沒有理論,我們可以觀察電路的特點, 去比對電路的節點數目與網孔數目,電壓源與電流源的數目, 我們選取變量數目少的來建立方程, 但是我們說觀察法永遠是求解電路最有效最簡潔的方法。 這次課我們就到這裏,謝謝。