【麻省理工】公開課《微分方程》 P11 - 11. 二階非齊次方程

我們今天將以嚴肅的態度開 始探討非齊次的二階線性微 分方程 我將直接寫出方程式 而不是寫出所有的文字 這會與之相配 因此 這樣的 方程式看起來會像 二階方程式 會看起來像 y 双 prime 加上 p(x t x) 加上 x 乘以 y的 q 值 到目前為止 等號右邊一直是零 現在 我們要讓它不等於零 因此 這將是 f(x) 在最常見的應用中 x 是時間x 通常是時間 但有時不總是這樣 那麼 也許今天我會用x來談論這個一般理論 從現 在開始 我可能會讓x等於時間 因為這就是它的本質 在應用程式中的時間 所以這是我們到目前為止一直在 研究的部分 這被稱為 它 有許多不同的名稱 這是輸入 信號 這些之間的逗號 一個駕駛術語 有時它被稱為強制項 你會在文獻中看到所有這些名稱 這幾乎取決於你正在修讀哪門課程 以及教授通常如何稱呼它 我現在會偶爾使用所有這些術語 但可能大多數情況下 我還是 會使用「輸入」這個最通用的 術語它並沒有特別的含義 因此 同樣被所有人接受或不被接受 回應 解決方案 然後 解決方案 如你所知 然後被稱為回應 回應 有時也被稱為輸出 我想我會大致沿用這個回應 所以 我使用我們用來研究 一階方程的相同術語 現在 你會看到 我們之所以必須先研究齊次情況 是因為在不了解齊次解的 情況下 你無法解決這個問題 所以 那就是非齊次的情況 情況 但齊次方程的對應齊次方 程 y''+ p(x)y' +q(x)y = 0 是解決這個方程式的重要部分 這被稱為「名稱」 因此它有 名字現在 不幸的是 它沒有單一的 名稱 我不知道該怎麼稱呼它 但我想我可能會稱它為關聯的均勻性 微分方程式 或稱常微分方程式 其對應的齊次方程式 就是與左邊那個對應的方程式 也有人稱之為簡化方程式 有其他名稱 但我完全 想不起來了 不過管他呢現在 它的解有個名稱 當然 它的解 它不依賴任何特定的東西通解 因為右邊始終為零 所以 它的解 我們知道 可以寫成 y 等於 表達式為 c1 y1 加上 c2 y2 其中 y1 和 y2 是該方程的任意兩個獨立解 以及c1和c2為任意常數 現在 當你觀察這個方程式時 你也需要這個 因此 它有一個名字 它有許多不同的名字 有時 那裡會有一個下標 c 有時 那裡會有一個下標 h 有時候 根本就沒有字幕 這是最令人困惑的不過 不管怎樣 它被稱為什麼名字呢 好吧 這個沒有名字 許多 書籍稱它為對應齊次方程的解 這是最長的說法 你的書稱 它為補解 很多人也這麼稱呼 而且很多人會用茫然的眼神看著你 那些很了解微分方程的人 會完全聽不懂你在說什麼 如果你稱之為yh 那麼你是在把它當作解決方案 這裡的 h 代表均勻的 用來表示這是解決方案 所以 這是對那個問題的解決方案 你如果喜歡寫作 就可以把它放在你的書裡 請寫出對應齊次方程的解 yh 不過 這其實都是一樣的 現在 簡化方程的解 我在我的筆記中看到 好的 簡化方程的解也是這樣 好的 現在是例子 當然 有兩個經典的例子 其中你只知道一個 但 將它們作為 解決這些問題應有的樣子的範本 以及他們應該如何行動 所以 你已經知道的模型是那個 我不會把首項係數設為一 因為通常不是這樣 是那個 mx 的二階導數 所以 t 是自變數 加上 bx 的一階導數加上kx 等於 f(t) 這是彈簧質量系統 彈簧質量阻尼器系統 質量、阻尼係數和彈簧係數 除了到目前為止 這裡一直是零 這個f of t代表什麼 好吧 如果你想想我是如何推導這個方程的 牛頓定律中的質量乘以加速度 那就是加速度 所以 那是質 量乘以加速度 根據牛頓定律 這等同於作用在小貨車上的施加力 好吧 你有那輛貨車 我不會再第n次畫那輛貨車 你必須自己想像 那麼 這是我們的卡車 好吧 有力量作用在它上面 還有 記住 這些力量是 -kx 這來自彈簧 有一股力量 減去bx的導數 這來自阻尼器 也就是阻尼力 所以 這個其他的是f(t) 這是什麼 這是一種作用在它上面的外力 換句話說 不是那個東西本身 而是那輛小卡車來回移動 做著它自己的事情 它獨自一人 這裡有個人帶著一個電磁鐵 它所 攜帶的是一大堆鐵礦石 電子正在把它打開和關閉 並從遠處將那東西拉走 讓沒有人看得見所以 這就是外力 現在 請這樣想 這就是你心中 應該具備的模型 用來理解這些方程式是如何被處理的 換句話說 當 f(t) 為零時 系統處於被動狀態 此時系統沒有受到任何外力 系統處於靜止狀態 它只是自己想怎麼做就怎麼做 你只要給它一個初始的推力 然後把它放在一個起始位置就可以了 但是 那之後你就要放手 系統隨後只是被動地回應其初始 條件 做它想做的事 另一種模型是不讓它 以它想要的方式回應 你必須從外部施加外力來強制它 現在 這些明顯是兩個完全不 同的問題 一個是它本身所做的 另一個是它在外部作用下所做的事情 當我向你解釋如何—— 事情是被解決的 你必 須記住那兩個模型 所 以這是強制系統 我將使用「強制系統」這個詞 那是 f(t) 不為零的狀況 與被動系統不同 那裡沒有外加的力 被動系統 強制系統 現在 你必須同時面對這兩者 即使你只想解決 強制系統 系統的運作方式會 如果它不受外界影響而自然運作 這將是解決方案的重要部分 而且 若不知道這個情況 我 也無法給你那個解決方案現在 我想快速地給你另外一個模型 因為它在你的書裡 我必須告訴你的問題就在這裡 你知道的 這是每個人文化的一部分 無論他們是否喜歡 所以 這是第一個例子 第二個範例 它與彈簧質量阻 尼器系統一樣完美地遵循微分 方程式 是具備電感的簡單電路 你目前還不知道什麼是電感 電感是正確的 但你會 電阻 對不起 那是電容 好的 把電容放上去 抵抗 然後 也許會有某樣東西 好的 這是一種阻力 我想你認識這些符號 到目前為止 你一定已經了解電容的系統 我說c是電容時的意思 你可能還不知道L代表什麼 這稱為電感 所以 這被稱為線圈 因為它的外觀就像一個線圈 它具有電感 L 被 稱為它的電感 而且 微分方程式 有兩個微分方程式可以用於 這一點 但它們本質上是相同的 其中一個只是另一個的導數 兩種微分方程都來自基爾霍夫電壓定律 當你沿著電路移動時 電壓降的總和必須為零 否 則的話 嗯 我沒必要這麼做 這是因為某人的原因 法律 基爾霍夫 兩個H 電壓降的總和為零 現在 你已經知道這個元件的電壓降 也知道那個元件的電壓降 因為我們已經學過了 在8 02 總有一天 你會學會這個電壓降 但我知道了 所以 這是李 I 是電流 我會先以原始形式寫下這個東西 所以 I 是電流 電流在 電路中流動 Q 是上的電荷 電容 因此 電感兩端的電 壓降是 L 乘以 I 電感 兩端的電壓降是 Li 電 阻兩端的電壓降 你應該知道 電容兩端的電壓降是Q 除以 C因此 這等於零 除非有電池存在 這裡或某種產生電壓降的東西所以 我們稱它為 E 作為一個通用的詞E 可以是一節電池 也可以是某種交流電源 但是 它上面有電壓降 我給E這個電壓降的名稱然後 還有符號的問題 我從來都不懂 但是 假設你已經選擇了符號規範 使得這一部分在右側看起來很整齊 因此 這可能會呈正弦波變化 在這種情況下 你會得到一個交流電源 或者 它可能保持不變 在這種情況下 這將是一種 電池是一種小型電池 能提供穩 定電壓的直流電 像這樣的东西 因此 如果你想要這樣做 所有符號都會錯誤 所以不要這麼做 這看起 來不像是它應該有的樣子 因為它有 Q 和 I 所以 你必須知 道的最後一件事是 Q 的質數等於 I 電容器中的電荷以一定的速率沿電路流動 尋 找另一側的電荷伴侶 這就是電路中流動的電流 這就是為什麼電流流動 但什麼事也沒發生 電子只是互相推擠 它們仍然停留在原處 我完全不理解這一點 因此 如果我區分這個 你可以做兩件事 一種是將I整合並完全以Q的觀點來表達 另一種是進行區分並以 的方式來表達 你書中的一切都很好 它不偏袒 任何一方 所以 讓我們區分它 然後看起來就像 Li 雙撇號加上 Ri 擦號加上 我用C除以 現在注意 你現在沒有電動勢 而是它的導數 所以 如果你那麼不幸 在那裡放一節乾電池 現在你什麼都沒有 這就是均勻的情況 這沒關係 橡皮擦在哪裡 一個橡皮擦 我無法相信這件事 所以 這是方程式 有兩個方程式 第一個 我們用彩色粉筆寫在黑板上 這是春天的方程式 這是另一個方程式 這決定了電流在電路中的流動方式 這時 你又可以看到 這代表什麼意思呢 例如 如果這是零 假設我那裡有一節乾電池 或者如果電路中什麼都沒有 那就代表被動電路 它只是靜靜地待在那裡 它什麼都不會做 除了你對電容器充電之外 當然當你 對它充電時 它會放電 並通過它放電 電路在過阻尼的情況下會慢慢 回到穩定狀態 而在欠阻尼的 情況下則會來回震盪一段時間 直到最後電流逐漸減弱至零 但是 通常發生的情況是 你通過在其中加入有效的電動 勢來驅動這個被動電路 然後你想知道電流是如何表現的 因此 這就是兩個問題 一個 是沒有施加電動勢的被動電路 或者說是插到電源插座卻想要它做事情 這就是正常狀態 事務 人們不想要被動的電路 他 們想要能執行動作的電路 因為好吧這就是他們想要解非齊次方 程式而不是齊次方程式的原因 方程式 但是 如我所說 你必須先處理齊次情況 好的 你現在正式對這件事負責了 而我不在乎你還沒有學過物理 在下次考試前你會學的 所以我甚至一點都不覺得內疚 但是 你將會馬上在作業問題上 使用它 所以學習它永遠不嫌太早 好的 現在 主要的定理 我現在想繼續說明 這些只是例子 讓你對我們將要討 論的微分方程類型有更直觀的感覺 關於解齊次方程的關鍵定理 我現在想簡要地 告訴你 因此 關於解 齊次方程的主要定理是 非齊次方程式 因此 我將把非齊次方程式寫成 我將把左邊寫成一個線性 運算子 然後我將寫出右邊 方程式為 L y 等於 f(x) 這是非齊次方程式 所以 L 是線性運算子 二階的 因為我只討論二階方程式 L 是一個線性運算子 這就是微分方程式 這裡 就是我們的微分方程式 它不是齊次的 因為它…… 函數 f(x) 出現在等號的右邊 定理所說的是解具有 以下形式 解的形式為 y 乘以 p 我馬上就會解釋那是什麼 加上 y 乘以 c 所以 假設是 我們有線性方程式 結論是 那就是它的解的樣子 現在 你已經知道y sub c的樣子了 換句話說 如果我把它寫得更詳細一點 細節是 也就是完全的部門解釋 一般解看起來像 y 等於y 小 p 然後這個東西會這樣進行 看起來像一個任意常數乘以y1 加上另一個任意常數乘以y2 其中這些是齊次方程的解 因此 yc 看起來就像這部分 而且 yp 是什麼P 代表特定的 這個科目中最令 人困惑的詞 但是 你至少有四個 學習它所代表的意義需要幾個星期 好的 yp 是一個特定的解 使得 y 等於 f(x) 現在 我不會解釋「特別」這個詞的具體含 義首先 我會假設你已經知道它的意思 並隨便聊聊 然後我們再看看你是否已經掌握了 換句話說 解這個 方程的程序由兩個步 驟組成 首先 定義 這一部分 定義補解 換句話說 就是去做我們這週一 直在做的事 不要解你被給出的 方程式 而是解這個簡化過的方程式 所以 第一步就是找出這個 第二步是找到 yp 那麼 yp 是什麼呢 yp 是整個方程的一個特解 對 但哪一個呢 任何一個都可以 好吧 如果是任何人 那就不 算是特定的解決方案 不幸的 是這裡的「特定」一詞並不是以完全相同的意思來使用的 在大多數人使用普通英語的情況下 這是一種完全正確的使用方式 只是會讓人感到困惑 而且從來沒有人因此而提出過 用一個更好的詞 所以 特別指的是任何人 任何一個解決方案都可以 任何人都可以 好的 即使這些詞語也有稍微 不同的含義 對這個還有問題嗎 我拒絕回答他們的問題 現在 當然 舉些例子 會讓一切變得清晰 但 我想先證明這個定理 讓你們看看它有多簡單 只要您利用 L 是線性運算子這個事實 這就非常簡單了 我們需要證明兩件事 我們需要證明什麼 好吧 我需要證明兩個命題 首先 證明所有yp加上c1y1加上c2y2都是解 我們要怎麼證明呢 嗯 你怎麼知道某樣東西是解呢 你把它代入方程式 然後看看它是否符合方程式 好的 我們來做吧 證明 我會把它代入方程式 這意味著我計算 yp 的 L 加上 c1y1 加上 c2y2 現在 答案是什麼 這是因為這是一個 一次方程式 它立即可以推廣到任何階的線性方程式 無論是47階 好的 這是 L of yp 加上 L of c1y1 再加上 c2y2 但是 那是什麼 L of the 是什麼 什麼是補充解 當你 對它應用運算子 L時 會得到零 因為這 個解滿足齊次方程式 所以 這是零 yp的L是什麼 好吧 這是方程式的一個特解 因此 當我將其代入方程式時 我應該是從右側出來的 f(x) 所以 這是因為yp是整個 方程的解 那麼結論是 如果我取其中任何一個 不管c1和c2為 何對它應用線性運算子L 結果都是f(x) 因此 這證明這些都是解 因為 這就是它的意思 它們符合 y的L等於 f 的 x 它們 符合非齊次微分方程的整體 方程式 就這樣 好吧 這只說了一半的 故事 故事的另一半是 證明沒有其他解 好的 我們又看到那個x的u再 次出現 他認為自己是解決方案 為了證明沒有其他解決方案 這幾乎聽起來像聖經中的話 你不可在我之外有其他解決方案 好吧 除了這些人之外沒有其他解決方案 c1 和 c2 的不同值 好的 所以 u(x) 是一個解 我必須證明x的u是這些人之一 我該怎麼做呢 簡單 如果這是解 那麼L of u 我要放棄x 就像我那邊 放棄x一樣 如果這是對的 微分方程為非齊次方程時 這必須等於 f(x) 現在 y 的 p 是什麼 那也是 x 的 f 我口袋裡的秘密小特解 好的 我把它拿出來 啊 這是y對x的L 這也是f對x的 現在 我要不加 他們 我要把他們減掉 u 的 L 減去 p 的 y 是什麼 嗯 那是零 因為這是線性運算子 這就是 L(u) 減去 L(y_ p) 我得到右邊的答案是零 因此 結論是什麼 如果為零 那它一定是齊 次方程的解 因此 u 減去 y 的 p 等於 必須存在 c1 和 c2 我不會給他們通用的名稱 讓我們給他們一個特定的名稱 我會在上面加一個波浪號來表示這是特定的名稱 c1 加上 c2 y2 之類的 換句話說 對於這些常數的某些選擇 我會稱之為 特別的選擇 c1 與 c2 必須是這些 相等 那麼 這意味著什麼呢 它表示 u 等於 yp 加上 c1 ～ blah blah 加上 c2 ～ blah 因此 它顯示你並不是一個新的解決方案 那是其中一個 所以 你並不是新的 我應該把它記下來 不然你們中的 一些人可能會錯過笑點 好的 因此 u 等於 yp 加上 c1 乘以 ~y1 加上 c2 乘以 ~y2 而且 這顯示這個自以為是新手 的人其實一點都不新 這只是其中一個其他的解決方案 好的 那麼 現在 由於係數是恆定的 顯然 我們已經完成了一半的工作 我們知道補充解是因為你知道如 何用指數和複數來進行這些運算 指數符號和餘弦函數等 那麼 還剩下什麼要做的呢 我們要做的只是找出 要解非齊次方程式 我 們只需要找到一個特解 找一個解即可 不管哪一個都可以 只要找到一個 現在 我們將用剩下的時間來做這件事 我會 給你各種方法 我會給你一個涉 及傅立葉級數的一般方法 因為 這是一個學習傅立葉級數的好藉 口但是 答案是 一般來說 對於一些標準函數 已經知道該怎麼做了 你將學會那些用運算符來尋找這些的方法 對於其他所有情況 則是透過一系列步驟 或是涉及近似的方法 或者 最壞的情況下 你把它放到電腦上 只要取圖表和數值結果 作為特定解 好的 現在 我們將會開始那項工作 但不是今天 我們將在下週一開始 並持續進行 正如我所說 接下來的兩週 我們就迎來了春假 但是 在那之前 我想將這與我們之前處理一階方 程式時所做的聯繫起來 因為從中可以學到一些東西 回想一下一階線性 方程式 從現在開始 在接下來的時間裡 我將考慮常係數的情況 換句話說 就是像彈簧、電路或 簡單系統這樣行為類似於這些系統 且係數恆定的情況 因此 對於一 階線性方程式來說 那裡的情況是 還有 我會考慮常數係數 我們討論過這個方程式不少 我怎麼稱呼右邊 我想我們通常稱之為t檢定 對吧 這是一段古代歷史 古代歷 史的定義是在第一次考試之前 好的 現在 這如何符合我給 你的這個定理呢 請記得解是什 麼樣子的 請記得 積分因子是 e 的 kt 次方 然後 在將兩邊整合後 乘開後的 最終答案看起來像 y等於e的負 kt 次方乘 以不定積分或定積分 根據你的喜好 q of t 所以x被轉化為t 我猜你已經明白了 e 的 kt 次方加上 還有另一個什麼項 一個常數乘以 e 的負 kt 次方 這如何符合我之前給你的模式 這用來解二次方程嗎 哪個是哪個 嗯 這個包含任意 常數 所以這一定是 齊次解 這是二次方程的解嗎 關聯的齊次方程式是什麼 什麼 是關聯的齊次方程式 在這裡填零好的 如果你在那裡填零 解是什麼現在 這個你應該已經知道了 y' = -ky 解是什麼 e的負kt次方 現在 你應該 已經知道這個 除了有一個任意的 恆定於前方 所以 這 正是對應齊次方程的解 這裡為零 那麼 這個東西是什麼 這是一個特解 這是我的yp 但是 這不是一個特定的解 因為這個不定積 分中包含了一個任意常數 事實上 就是這樣 任意常數 所以 這完全令人困惑但是 這個符號 你知道 當你實際 上這樣解方程式時 你只是找到了一個 這裡的功能 你沒有隨意加入一 個常數 對吧 這個功能只需要找到一個函數就可以了 即使你真 的對這一點感到煩惱 這一點…… 它如此不確定 因此怎麼可能呢 但若將 其變為特定的解 將 這個零變為明確的積分 這裡是零 那裡是t 然後把那些t改成虛擬的t、 t1或t波浪線 或者類似這樣 這樣就符合那個規則了 換句話說 當時我本可以做到 但我覺得沒有必要 因為這可以直接解決 而當然 一般的二次方程是 均勻性無法直接求解因此 你必須願意 事先討論其解的樣貌 現在 請記住我說過有兩種不同的情況 儘管它們的解看起來相同 但在現實世界中的意義卻如此不同 以致於它們 這絕對不應被視為解決了相同的方程式 其中一個情況 兩者之中 可能更重要的是當k為 正數 當然 另一種情況是 k 為負數 當 k 為正數時 這導 致該解被分為這一部分 這 是一種暫態 而另一部分則 是穩定狀態 穩定狀態的解 那是那個術語中的yp部分 而瞬態部分 之所以是瞬態 是 因為它趨近於零 如果k是正數 當指數項消失時 無論c為何值 因此 暫態部分就是yc 當t趨近無限大時 它會趨近於零 暫態取決於初始條件 並使用初始條件 不管那是什麼 因為這決定了 c的價值 另一方面 這個初始 條件當t趨向無限時並沒有影響 剩下的只有這個穩定的狀態 狀態解 所有解都會趨近於穩態解因此 如果 k 是正數 就會得到解的分析 即一 個基本解加上其他解的總和 這僅僅逐漸消失 對此沒有影響 沒有影響 隨著時間無限延長 影 響越來越小 對於k小於零的情況 這種分析不適用 因為這個項 如果 k 小於零 這個項 會趨向無限大 或負無限大 通常會佔據主導地位 因此 這就是起主導作用的項 重要的是 這取決於初始條件 而分析毫無意義因此 上述內容毫無意義 現在 我想做的是： 試著看看對於二階方程式和更 高階方程式來說 其類比是什麼 如果你了解二階方程式 那就足夠了 更高階的方程式也是同樣的處理方式 那麼 問題是 對於二階的 我們讓它具有常係數 我可以稱之為 B 和 K 就像我之前那樣 或 p 問題在於 這樣 無法解決電路問題 所以 我只想使用中性字母 它們不暗示任何東西 而且 你可以製造它 將其轉變為電路 或彈簧 或其它目前無法想像的應用 但是 這些都是常數 我會把它當作時間來思考 我想我會回到時間這個概念 設x為時間 因此 y 等於 f(t) 所以 這是我們的方程式 a 和 b 是常數 而問題是 我所提出的問題 你可以考 慮這兩個模型中的任意一個 或其他模型 我所提出的問題是 在什麼情況下我可以進行相同類型的分析 以達到穩定狀態 和過渡狀態 那麼 解是什麼 樣子的 解的樣子是 y 等於 一個特解 加上 c1 y1 加上 c2 y2 因此 要讓它看起來像這樣 c1 和 c2 包含初始條件 這部分並不是這樣 因此 如果我想說的是 這些解看起來像一個穩定狀態的解 再加上某個會逐漸消失的成分 這個 成分隨著時間的推移變得越來越不重要 我真正想問的是 在什麼情況下這 部分會保證等於零 因此 換句話說 問題是 在方程式中a和b的 什麼條件下 會導致這樣的情況 實際上 我們正在問的是 當 t 趨近於零時 c1y1 加上 c2 y2 什麼時候會等於零 當 t 趨近無限大時 無論 c1 和c2 是什麼 對於所有 c1 和 c2 現在 在這裡 沒有困難 我們非常明確地擁有這個 你可以看到 如果k是正數 這會趨近於零 而且 如果 k 是負數 它不會趨近於零 它會趨近於無限大 這裡 我想進行同樣的 分析 只是稍微複雜一點 困難 但當答案最終出來時 卻非常美麗那麼 這些人什麼時候才能歸零呢 首先 你不妨就直接採用這個定義 所有這將帶來的好處 也就是說 如果真是這樣 如果它們都歸零 那麼所有在這之中的東西都會這樣 當補充解趨近於零時 該 常微分方程被稱為穩定的 有些人稱它為漸近穩定的 我不知道該怎麼稱呼它 我可以進行分析 然後使用 相同的術語 c1 y1加上c2 y2 這稱為暫態 因為它會趨近於零 這被稱為特解 接 下來兩週我們努力所 得到的 就是關鍵部分 這是穩態部分 這就是其他事物都消失後 仍持續無限長時間的東西所以 這就是穩態解 對吧 而微分方程式 稱為穩定的 現在 最令人關心的是什麼時候微分方程 是穩定的 在這個意義上 線性微分方程是穩定的 因為 你擁有控制權 你知道它的解決方案長什麼樣 你對它長期的行為有些概念 如果情況不是這樣 每一個方程式都有其自身的定律 而你並不知道 那麼 讓我們開始工作 在接下來的時間裡 我想了解使這成為現實 的條件 這些就是方程式 我們將有權稱之為穩定那麼 這何時會發生 又 會在哪裡發生呢 我不知道 我想這裡是這樣 現在 我想第一步應該是相當簡單的 這會讓你對我們到目前為止 所做的事情有一個很好的回顧 因此 我將逐一進行個案分析 不用擔心 不會花太多時間 我們正在研究哪些案例 那麼 特徵根看起來是什麼樣子的 特徵方程的根 換句話說 請記住 有幾種情況 第一種情況是它們是實數且互不相同r1 不等於 r2 實數且互不相同 其他情況是什麼呢 嗯 r1 等於 r2 接下來 還有情況比較複雜的時候 所以 我會寫成 r 等於 a 加減 b i 解決方案看起來是什麼樣子的呢 所以 我對這個問題的粗淺 做法是 在每種情況下 我會先看一下解決方案 並首先了解 的條件 根 換句話說 我現在不會馬上擔心 a和b 相反 我 會擔心如何表達這個 穩定性條件是根據特徵根來判斷的 實際上 那是許多人所知 道的條件 不過你會更聰明 好的 這些解看起來是什麼樣子呢 一般解看起來像 e 的 r1 t 次方加上c2 乘以 e 的 r2 t 次方 好的 所以 什麼是穩定性的條件 換句話說 如果這個方程式恰好有 實數且相異的特徵根 在什麼 情況下它會穩定 它會穩定嗎 所有解都趨近於零 所以 我 所指的是齊次方程式、簡化方 程式以及相關的齊次方程式 為什麼 因為這就是全部的內容 換句話說 當我寫下 那個式子時 我已經不 再關心整個方程式 我只關心簡化的方程式 將右邊的 f(t) 視為零時的方程式 那麼穩定性條件是什麼呢 讓我們寫出來 在什麼情況下這些人都會歸零 如果 r1 和 r2 為負數 它們可以為零嗎 不可以 因為那會變成一個常數 就不會趨近於 零了 這個呢 這個式子是 c1 加上c2 乘以 t 再乘以e的 r1 t 次方 當然 這兩個是相同的 我隨便選其中一個吧 當事情趨近於零時會發生什麼 嗯 這部分至少會上升 只要c2是正數 這部分可能有助於或會造成阻礙 但是 我希望你知道這些函數的外觀 以及你知道哪些函數會趨近於零 如果 r1 為負數 則會歸零 他們可能會一開始上升 但過 一陣子就會失去動力 當然如果r1 等於零 這些人會做什麼呢 線性 無限延伸 好吧 我們還算過得去 這裡呢 這裡稍微複雜一點 解看起來像 e 的 at 次方乘以 c1 乘以 cos bt 加上 c2 正弦波 現在這部分是純 粹的震盪 你很清楚 振 幅可能很大 但不管它怎麼做 它總是做同樣的事 因此 這是否會變成零完全取決 於那個指數的變化 而那個指數 會變成零 如果 a 是負數 所以 在這裡的條件是 a 是負數 否定 現在 唯一要做的事情就是好好 地說出來 我有三個案例 我想一次說完 穩定條件是 因此 微分方程是穩定的 因此 這就是f(t) 不管怎麼樣都無所 謂但是 從心理學上來說 你可以把零放在那裡 當什麼情況下它才穩定呢 在第一種情況下 這是真的 在第二種情況下 在第三種情況下這很醜陋 讓它變得美麗 說得美麗的方式是 則系統是穩定的 如果特徵根 也就是 r或者 a 加減 b i 的形式 其實部為負數 那就是這樣的形式 你知道 電氣工程師會點頭告訴你 是的 那是正確的 它有負的實部 難道不是嗎 就在這裡對嗎對 這些人的真正部分是什麼 就是他們自己 因為他們是真實的 這的真正部分是什麼 對啊 我唯一真正需要使用實數的部分是在討論複數 的情況時 因為a只是 複數的實部 而不是全部