【麻省理工】公開課《經典力學》 P19 - 19. 靜力平衡,穩定性,走繩者

我們在過去四次課中 已經討論了角動量、力矩與滾動物體 的旋轉 許多人在這之後會想 天啊 現在我們還要記住…… 一整座動物園的方程式 但這並不正確 如果你只是知道如何將線性符號轉換為旋轉 這就是 立即變得微不足道 當然 位置變為角度 速度變為角速度 加速度變為角加速度 依此類推 你就可以進行轉換 很容易 如果你記得動能是二分之一mv平方 那麼轉動的 動能就變成二分之一iomega平方 這是在網路上的內容 我在課堂上展示的每張視覺圖表都在網路上 你應 該到課堂補充資料中查看 然後可以自行列印一份 所以我認為這或許對你來說是個有用的提醒 今天我想詳細討論物體處於完全靜態平 衡所需的條件 要使物體處於靜態平衡 僅僅所有力的總和為零是不夠的 還必須確保相對於你 所選擇的任何一點 所有力矩的總和也為零 這樣才會 是今天的主題 如果這是一個在空間中自由移動的物體 我們假設質心在這裡 而我對這個物體施加了一個方向的力 另一個與此物體方向相反且大小相等的力 那麼所 有力量的總和為零 但你最好相信 並沒有平衡狀態 存在一個力矩 如果這個距離等於 B 那麼該物體相對 於你所選擇的任何一點的力矩……不管你選擇哪一點都沒有關係 那將是 B 乘以 F 如果有扭力 就會產生 角加速度 扭力是 I 乘以 α 因此它會旋轉 在這種情況下 它會繞著質心旋轉 因此不是靜力平衡 這種情況下的力矩會超出黑板 所以它會這樣旋轉 因此 我們必須密切注意力矩 就如同我們必須密切注意力本身一樣 所以今天我選擇梯子作為我探討靜力平衡的主題 我把梯子靠在牆上 這裡有一面牆 這就是梯子 在B點 牆的那裡幾乎沒有摩擦力 B點的摩擦係數為零 在這裡Q點 它靜止於 地板上有摩擦力 在點 Q 的靜摩擦力 我們簡稱為 μ 梯子的質量為 m 長度為 這裡是梯子的質心 正好 在中間 這個角度等於α 我們根據經驗知道 如果這個角度太小 梯子就會滑倒 所以我想今天探討的問題是 這個角度應該多大才不會滑倒 這裡有一個力 稱為重力 接下來這裡有一個正向力 我稱它為Nq 我們在這個方向上有摩擦力 因為明顯梯子想要這樣滑動 所以摩擦力會試圖阻止這件事 它會朝這個方向 在點 P 沒有摩擦力 所以只能有法向力 我稱之為 P 點的 N 因此 這些是作用在這個物體上的唯一力量 現在我們可以開始我們的練習了 我們可以說 所有力量的總和 在x方向上的合力必須為零 這意味著P的N值大小 必須與摩擦力相同 現在所有在y方向上的力的總和 必須為零 這表示 mg 必須是 Q 的 N Q 的 N 必須是 mg 但現在我們需要所有力矩的總和 必須為零 不管你選擇哪一點都沒關 係你可以選擇任何一點 你可以選擇這裡、那裡或那裡的一點 或者那裡 你可以選擇 C 也可以選擇 P 我選擇 Q 我選擇 Q 的原因是因為那樣 我同時失去這股力量和那股力量 只剩下這一個 和那一個需要應對 因此我將以這一個為相對轉矩 指出 Q 點 因此我們有 Np 我們有從該點的位置向量與力的叉積 由於長度是 l 且角度是 α 這就是 l 正弦 α 所以我會得到 Np乘以l乘以正弦α 我稱在黑板上的力矩為…… 我稱這個方向為正方向 而離開黑板的力矩 我則給它 負方向 所以這個在黑板上 所以我稱 之為正方向 下一個 鎂 將會是負方向 力矩 因此現在我需要位置向量與 Mg 的叉積 所以這 裡的長度是二分之一 l 乘以 cos α 再乘以 Mg Mg 一半的l乘以cosα 現在必須等於零 因此 我發現 Np 也就是點P處的正向力 我失去了l 等於M除以 兩倍的α的餘切 這必須是摩擦力 因此 我根據這個結果知道摩擦力是多少 現在我不希望梯子滑動 因此我有這個摩擦力的條件 摩擦力必須小於或等於最大可能的摩擦力 在這一點 Q 的最大摩擦力是靜摩擦係數乘以正向力 因此 我現在的要求是 N 除以 2 倍的 α 的餘切 值必須小於或等於 μ 與 Mg 的乘積 μ 與 Mg 我是不是丟了一個g 是的 我確實丟了 我這裡有一個g 這裡也有一個g 對不對 如果我這裡有這個力和這個位置向量 那麼我就有 Mg 所以這裡有一個g 這裡也有一個g 所以我失去了我的Mg 所以你找到了 即 α 的餘切值小於或等於 μ 或 α 的正 切值大於或等於 1/(2μ) 這就是梯子的條件 要穩定 當你看到這個結果時 就會發 現μ越大 那個角度就越小 這非常令人滿意 那正是你所期待的 如果μ非常小 那麼情 況就會非常不穩定 幾乎在任何角度都會滑動 如果我們舉一些數值例子……例如 我取μ等於0 5 那麼 α 為 45 度 如果角度更小 就會滑動 如果 μ 為 0.25 那麼它開始滑動的臨 界角度大約是 63 度 但你可以自己驗證一下 因此 梯子要穩定 角度必須大於那個數字 這個結果非常直觀 也就是說如果角度太小 梯 子就會開始滑動 我這裡有一架梯子靠在這面牆上 我們盡可能讓這裡的內容順暢 它並不完美 所以只是我那裡所討論內容的一個粗糙版本 但無論如何 與地板的摩擦係數明顯大於這裡的摩擦係數 這一點你並不感到意外 如果這裡的摩擦係數是…… 如果角度α太小 就無法達到平衡 角度α必 須大於某個值 如你所見 這樣才會穩定 那正是我現在想讓你看到的 但現在我們要讓情況變 得更有趣 從某種意義上說 我想測試一下你的直覺 假設我將梯子的角度精確地設置在臨界點 換句話說 我將設置使得α的餘切值正好是2μ 它正用拇指撐著 幾乎即將開始滑動 現在我要請你們其中一人走上那架梯子 從這裡開始 慢慢往上 爬上那架梯子 你認為踩上那架梯子 一 開始就會非常危險 梯子馬上就會滑動嗎 難道你認為實際上你處於底部反而會更穩定嗎 誰認為它會立刻開始滑動 幾個人 認為當你踩在最低處時不會開 始滑動 好吧 我們看看後面會發生什麼 現在 這個人將要爬梯子 然後會到達經過點C並 到達點P的時刻 現在這樣做是否安全 還是你…… 認為現在會非常危險嗎 你怎麼看 誰認為你不應該爬得太高 誰認為這沒什麼差別 你可以一路走到盡頭 始終總有幾個非常勇敢的人 好吧 這就是我要分析的 與你在一起 而且你們大多數人都有正確的直覺 但我們將以量化的方式來觀察這一點 辦法是 我知道怎麼做 所以我們會在梯子上放一個質量為m 的人 然後在這裡放一個人 因此這裡的力是 mg 讓我們將這個距離設為d 現在我們將重新進行所有這些計算 我們從頭開始 所有在x方向上的力的總和為 為零 無變化 P的N必須是F的F 現在所有在y方向的力的總和 必須為零 現在有所改變 因此我們現在有N 等於大寫 M 加上小寫 m 乘以 g 因此 最大靜摩擦力 也就是μ乘以NQ 現在變成μ乘以M加上M乘以g 所以最大靜摩擦力增加了 現在我們需要那個力矩 我選擇我的 點Q相對於點Q 等於零 嗯 前兩個項目並沒有改變 因此我得到 N 等於 P 次 sin α 減去 mg 乘以二分之一 l 乘以 cos α 但現在我們有第三個項目 也就是這個位置向量和這個力 因此 我們將得到這個距離 即 d 乘以 cos α 再乘以這個力 因此這裡是負的 mg 乘以 d 乘以 cosα 現在等於零 因此我要把P中的N帶走 我可以把g乘以cosα去掉 所以如果我把它們帶走的話 g 餘弦 α 我有 ML 除以二餘數加上小 md 然後我有 除以 l 正弦 θ 不是 θ 而是 α 因此現在我可以寫成餘弦α除以正弦α 也可以寫成餘切α 並把我把l帶進來 所以我有cotangent α乘以M除以二 加上小 md 除以 l 而現在這應該就是摩擦力 因為 N P 仍然是摩擦力 讓我確認一下我是否正確 是的 我這樣做 g 餘切線 α 乘以M 除以兩倍的 m 等於 l 這是摩擦力 請注意 摩擦力正在上升 因為這個項目被加入了 而我們 之前並沒有這個項目 之前 我們只有你現在看到的這個項目 這裡 因此 你第一個想法可能是情況變得更 危險了 因為如果摩擦力增加 梯子就會滑倒 正好在關鍵點上 它僅靠拇指掛著 所以如果摩 擦力增加 你可能會說 天啊 它可能會開始滑動 然而 你忽略的是最大摩擦力也增加了 因 此我們現在必須將其與最大摩擦力進行比較 最有效的方法是首先將d視為零 因此我們讓這個人從梯子的底部開始 並請這個 人逐步往上爬 現在 注意當d等於零時 摩擦力 力量與之前完全相同 沒有任何差異 當d等於零時 摩擦力並未改變 但改變的是最大摩擦力 最大摩擦力這裡有一 個小n 這與d無關 這裡任何地方都沒有d 因此 如果最大靜摩擦力增加而靜摩擦力本身不變 明顯的 梯子變得更穩定 因此你可以踩在最底層的橫檔上 什麼事都不會發生 相反 情況將變得更穩定 當這個人開始向上移動時 摩擦力會增加 當施加的力逐漸增加時 因為這個項目上升 但最大靜摩擦力保持不變 它與d無關 因此 當這股力量超過最大靜摩擦力時 梯子 就會開始滑動 這當然就是我們想要找出的結果 現在已經安全了 因此 目前的情況只有 在摩擦力小於或等於最大可能值時才會安全 而且當餘切線α時的情況也是這樣……但請記住 我們將其設定在臨界角上 因此正切α是2μ 所以我可以將其替換為2μ因 為這是我在實驗中設定的方式 我就是這樣開始的 我並不是隨機地開始 而是從剛好讓梯子懸掛在那裡的角度開 始 因此 cotangent α 等於 2μ m 除以 2 加上 m 乘以 d 除以 l 現在這個值必須小於或等於這個值 μ乘以m加上m乘以g 注意我失去了我的g 我失去了我的μ 我這裡有 2 倍的 m 除以 2 也就是 m 而這裡還有一個 m 所以我失去了我的本金 m 因此我發現 2md 對 l 的值必須小於或等於 m 我失去了m 發現d必須小於或等於l除以2 這與你大部分的直覺並無二致 換句話說 只 要踏上梯子的人留在這邊 情況就會變得更穩定 當然 當這個人從這裡開始時 穩定性已經大幅增加 當你逐漸接近這裡的那個點時 質心的位置 其中d正好是l除以 2 那麼 當然 這裡的情況又變得極其危急 但 當你來到這個點時 就不再危險了 梯子將開始滑動 因此 總而言之 我們在關鍵時刻將梯子架起 準 備滑動 我們在這裡安排了個人 這讓它更加穩定 那人慢慢走過去 由於這個因素 摩擦力會增加 最大摩擦力不會改變 它已經上升了 因為那人正站在梯子上 而當 那人接近這個點時 情況一直變得越來越不穩定 就在這個時候 我們又回到了原來的地方 情況和那人踩上去之前一樣危急 當那人 如果繼續下去 梯子就會滑倒 我可以向你展示這一點 至少我可以試試看 我這裡有同樣的梯子 現在怎麼樣 我會把角度α設定在臨界點稍低的位置 這 樣當我鬆開它時 我們都會看到它會滑下來 所以它已經超過臨界角度了 角度變小了 但現在我這裡有四公斤 我本來不打算讓你們任何一個人走 爬上這架梯子 相信我 我自己也不打算這麼做 所以你看 這是不穩定的 現在我把四公斤放這裡 我可以讓它…… 去吧 梯子已經穩定了 我要把它拿下來嗎 它走了 那個人蹲得非常低 使它更加穩定 完全符合 我們剛才看到了 現在我把角度α稍微調大一點 超過臨界值 所以梯子很穩定 但現在那人 他即將做一件危險的事 他將會站在此處 並走動 這是你看到的 這正是你所看到的 因此 摩擦力在我們達到靜態平衡時扮演著關鍵角色 這在 日常生活中經常出現 我們的日常生活中有許多這樣的例子 其中摩擦力可以為我們所用 而一個非常特殊的例子 我現在將與 你們討論 經常被水手們使用 透過掌握和控制一個非常巨大的物體 一個非常大的力量 用一個非常小的力量來控制它 你就是透過摩 擦力來做到這一點 你把繩子纏繞在桿子或柱子上 並利用摩擦力 利用繩子和那根桿子來達到你的目的 其原理如下 這就是這根桿子 它不一定要水平 就像這根一樣 我懸掛在這根桿子的一側 我用一根繩子懸掛一個非常沉重的物體 M 的張力 這裡是 T2 會是 mg 假設它沒 有加速 處於靜止狀態 我把這條繩子在這裡繞幾圈 次數 而這裡我懸掛一個質量明顯較小的物體 即m 而張力等於 mg 如果此桿完全沒有摩擦力 那麼…當繩子的質量可以忽略不計時 T1 將與 T2 相同 因此情況將開始加速 然而 如果我們利用摩擦力 那麼 我們可以有穩定的情況 我們可以有靜態平衡 這樣這個就不會 移動的這個不會移動 這樣我們就能利用摩擦力讓 T2比T1大很多 我們來炸掉中心部分 半徑為 讓我們把這條繩子放這裡 我會給這條繩子上色 當然 它不需要垂直地垂下來 它可能以任何角度出現 在那裡 這是我的T1 這裡是我的T2 我們考慮拉力的情況 這邊比那邊大很多 所以這條繩子想要往這邊滑 它就是想這麼做 如果你看看這條繩子上的這些 小段落 馬上就能看出繩子是否想往這個方向滑動 它想要開始滑動 這些小塊在此處的摩擦力都是朝這個方向 環繞一圈 因此 這在某種程度上對T1有幫助 因此 由於抵禦T2的摩擦力 T2現在可以比T1大很多 你必須對這些非常小的切片分別計算其摩擦力 這樣就會變成一個積分 然後你必須 將其對角度進行積分 我將這個角度稱為θ零 而且我記得上次我講授θ一的時候是1993年 我在課堂上推導出那個結果 T2 與 T1 之間的關係作為此角度 θ 的函數 那花了我大約五分鐘的時間 五分鐘後 一半的學生都睡著了 現在 我不確定你是否想睡五分鐘 但坦白說 我認為 你值得擁有它 所以我決定不進行推導 而是推薦你閱讀這本書 即第361頁 你會發現 當繩子想要時 如果這裡的摩擦係數是 μ 那靜摩擦係數就會是T2 除以 T1 等於 e 的 μ 乘以 θ0 次方 因此結果如此 請注意這個結果與此棒的半徑無關 這 一點看起來有點奇怪 不管這根棒子是這麼小還是這麼小 這沒有差別 這只取決於這個角度 這個角度可能非常大 你可以把它繞十圈 我們將會這麼做 很快 因此對θ沒有任何限制 如果完全沒有摩擦力的話 請注意 然後 當它開始滑動的那一刻 e 的零次方等於一 那就是 T2 等於 T1 這很明顯 所以如果 μ 為零你就不能玩這個遊戲 你需要摩擦力 這就是這個問題的核心 因此 現在讓我們加入一些數字 以便了解我們能獲得什麼 讓我們來看看我們所處的情況 讓我們說是繞三圈 我們把繩子繞三圈 所以是三圈 這意味著θ₀等於6π 而摩擦係數μ為1/5 即0 2 因此e的μ乘以θ₀次方現在為 約為40 這意味著這邊的力道比 那邊小40倍 我便處於平衡狀態 我可以將它拿在手中 如果這樣想的話 來抵禦一股力量 在這邊 這是要大40倍 但如果我轉六次 那麼e的次方是 μθ0 大約會是 2000 2000 現在我真的可以控制一頭象了 現在假設我這裡有一個物體 大寫的 M 重量為 5 000 公斤 讓它達到10 000公斤 這就是我這裡要掛的 我现在可以掛一個質量小2000倍的物體 那表示我可以在那裡懸掛五公斤 而這裡的張 力會比那裡小2000倍 系統將即將開始打滑 但不會滑動 完全保持平衡 所以請想像我手中拿著這部分 這裡有這個10 000公斤的重量 而我手中拿著它 握著這東西 我只需要大約50牛頓的力 我站在那裡 對面有一個重達一萬公斤的重物 現在我只讓力量稍微小於50牛頓 接下來會發生什麼 它會開始滑動 記得嗎 因為我們這裡計算過這個需求 只是不再翻轉 所以現在我放手了 而那10 000公斤 另一側將慢慢下降 我能夠控制它 而且能夠停止它 我可以用非常小的力氣來控制它 現在有一個問題要問你 假設我想提起那10 000公斤的物體 我可以再施加多一點超過50牛頓的力嗎 就只多一點點而已 那10 000公斤會出現嗎 我看人們搖頭 誰認為會出現 誰認為不會 誰會完全不思考呢 大多數的人 好的 對不起 我並不是想態度粗魯 你根本不可能把它調出來 因為如果你想要拉起這個 情況會完全相反 繩索朝這個方向移動的摩擦力會翻轉過來 換句話說 我們計算中現在的T1將會變成T2 所以如果你希望這邊下降 如果你希望它朝這個方向滑動 你就是 將T1除以T2現在等於e的μθ零次方 因此 如果你這裡有10 000公斤 而且你有六次機會 那麼所產生的力量就會是…… 這裡需要的量是10 000公斤的2 000倍 因此你需要2 000萬公斤 公斤 所以把它抬起來是個極其愚蠢的行為 你不會 想把它抬起來的 這個裝置 只用來平衡非常強大的力量 那是水手們使用的辦法 即使要控制它 因為你 可以慢慢放開它 然後另一側的力道就會開始移動 但是你不能用它來抬起東西 我這裡有一個塑膠箱 這個塑膠箱裡有著一個金屬盒 這四塊是這些15磅重的鉛塊 你能幫我一個忙 來這裡確認一下裡面已經有三塊了嗎 我不打算把他們四個都放進去 所以我決定只 放最後一個進去 你看到那三個了嗎 非常感謝 我準備放最後一個 它非 常重順便說一句 你想檢查一下嗎 這是……小心 它非常重 好的 每人15英磅 總共有60英磅在那裡 現在我要把它繞在這個橫桿上 這就是你的橫桿 半徑並不重要 我們從六圈開 始怎麼樣一、二、三……天啊 四、五、六 好的 現在我要把這個支撐它的平台降下來 我可以把它降下來 很快它就會懸掛在我的繩子上了 就在這裡 我可以現在把它拿掉了 我們已經不需要這個了 輕鬆 30公斤 幾乎不用力 非常輕柔 現在讓我稍微放低一點 就這樣 我們放低它 如果我能做的事情更少一點會很好 我們再加幾圈吧 一、二、三 你知道我們可以做什麼嗎 我們可以織很多圈 使得繩子本身的重量就足以平衡它 我們試試看 再織幾圈 一、二、三、四 我們現在有十二圈 繩子…… 繩子的重量現在足以平衡三十公斤 所以現在你看到它實際運作了 這真是一項奇蹟 我要再放幾個上去 因為我不希望它在中途掉下來 這場演講 我想確保它會留在那裡 我會在這裡把它固定好 所以你看到了 你如何利用摩擦力來為自己所用 透過這種方式獲得優勢 並能以數千倍甚至更多的因素獲得巨大收益 而這被廣泛使用 因此你看到一個明顯的例子 說明摩擦力的影響 幫助我們達到平衡 現在我想討論一個 懸掛著的物體 它會因重力而自由擺動 我希望你能夠理解靜力平衡的情況 也就是所有力的總和 以及所有力矩的總和必須為零 所以這裡有這個物體 我將要 掛在牆上 這裡有一個點 P 這裡有一個…… 說 一種摩擦力 我施加在牆上的旋轉 讓物體可以自由擺動 讓質心在這裡 這樣就會產生一個力 如果這個物體的質量是m 那麼就會有重力mg 這裡是點 P 的位置向量 r 因此很明顯相對於點P 存在一個力矩 如果相對於點存在一個力矩 那麼 P、rP 之間的叉積……我在這裡加上一個向量符號 因為 你必須對這兩個進行叉積運算 所以你會……這個角度的符號 必須考慮這個物體將會旋轉 它明顯會以那點 P 為中心旋轉 力矩等於該點 P 的轉動慣量 I 乘以角加速度 而角加速度為 α 我們怎麼才能得到一個穩定的情況呢 大自然現在將認真思考並說 天啊 我只能在所有力量的總和等於零的情況下才能有穩定的平衡 而且 所有相對於任一點的力矩總和等於零 而自然知道該如何做到這一點 只要 P 和中心點 質量沿垂直線分布 因為如果是這樣 那麼這裡 將有重力mg 而這裡將有向上的重力mg的力 這個物體懸掛在釘子上 因此釘子的作用力等於反作用力 會將其向上推 所以所有力的總和為零 沒有扭矩 任意一點 這一點或那一點 或那一點 都沒有扭力了 現在達到完全的平衡 所以如果你有一個物件 例如像這樣的一根細桿 一個非常沉 重的物體在這裡 使得質心幾乎在那裡 那麼這種情況就會是 穩定的 或者你也可以說這種情況 因為現在質心的重力垂 直線位於此處 所以這裡也一樣 現在重力向下 因此我們有 在鉛直向上時 所有力量的總和為零 所有力矩的總和為零 但這情況與另一種情況有著巨大差異 你馬上就會發現 你會感到胃部不適 當然 這表示它極不穩定 如果你稍微吹一下 它就會晃動過來 它會開始旋轉 而這個則是穩定的 如果我把它移 到一邊 它會回到那個位置 但基本概念是 中心處 在穩定的配置下 重心總會位於懸掛點的下方 我這裡有一個三角形 但我完全不知道它的質心在哪裡 它可能在這裡的某處 甚至可能在開放的空間中 我不清楚 現在我能做的就是像這樣懸掛起來 而且我知道質心必須在我手指的下方 如果你注意的話 它實際上是旋轉的 這樣它的質心就會精 確地對齊在我手指的下方 所以我現在可以用鉛筆畫一條線 這裡 或者我可以拿一根小繩子 現在我可以把手指移到這裡 然後我就可以再次畫出這條線 兩者交叉的地方就是中心 質心總會位於懸掛點的下方 如 果我現在拿一塊橡皮泥並把它放在 一塊橡皮泥在這裡 然後我明顯地改變了重心的位置 它一定在這個方向上移動了很多 重心在哪裡 我一點頭緒也沒有 但是看 我把它平衡在這裡 重心現在應該在這裡某處 我在此處平衡它 質心必須在這裡某處 兩條線交叉的地方可能在這個開口處 那裡就是質心的位置 因此在實驗上很容易找 到質心 課程一開始我們就計算過哪裡是質心 質心所在 也許你還記得 當我們遇到一些非常特殊 的幾何結構時 我當時就已經告訴過你 那裡有質心 這是你可以透過實驗來確定的方法 而且這很容易按照我剛 才展示給你的方法來進行 現在我要給你看一些靜態的例子 一些平衡狀態並非那麼直覺 你可能已經見過其中一些 你可能真的曾經玩過其中一些 如果我拿一支鉛筆 再拿出我的錢包 刀 這裡有一支鉛筆 我馬上給你看 只是一支普通的鉛筆 然後我拿出我的折刀 把刀 子……插進這裡 所以這把是刀子 現在這就是…… 這種安排可以輕鬆實現 使質心位於此點之下 所以如果現在我把手指放這裡 我可以平衡這個相當奇怪的物體 而且它會 將完全穩定 它會自行調整 使質 心落在我手指下方 並會完全快樂 我想要你看到這個 我這裡有我的折刀 我這裡有鉛筆 你可以看到它在那裡 或者那些……那些東西 你們這些親近的人可以在此看到 我會為 那個情況提供更好的光源 這樣就可以了 所以這是我的折刀 我現在打開它 這裡有支鉛筆 我 要把它插進來 你這樣做的時候 要比我當初更小心一點 今天早上 因為刀子割到我的手指 所以我這裡貼了創可貼 這很容易造成嚴重的割傷 所以這把刀現在在這支鉛筆裡 但現在我必須將其重心移至 鉛筆 現在我把手指放這裡 它很穩定 因此 質心會重新調整位置 使其位於懸掛點的下方 而且完全穩定 你可以隨意搖晃它 那並不那麼直觀 我這裡有一根非常細的棒子 一根導線 一根非常堅硬的導線 我可以把我的錘子放在這根導線的末端 看看這個 質心遠遠低於 我的懸掛點 它非常穩定 順便一提 這真的很痛 你甚至可以搖晃它 質心位於懸掛點下方這裡 所有力矩的總和為零 情況就是這樣 所有力的總和為零 質心位於懸掛點下方 它們必須完全垂直對齊 如果它們沒有垂直對齊 就像現在這樣 那麼相對於那個點就會有淨扭矩 如果存在淨力矩 就會產生角加速度 這就是 你看到的現象 如果它們完全對齊 則不會產生 扭矩已完全消失 現在讓我們來看看走繩者 我們有 一個走繩者 這裡就是走繩者 走繩者正站在繩子上 我會讓走索者稍微小一點 你馬上就會明白我為 什麼要讓它稍微小一點 這是走索者 這是繩子 讓走鋼索者的重心正好在這裡 就在這裡某處 而質心與繩子之間的距離為一公尺 而繩子行走者的質量為17公斤 我建造了一個輕便的結構 它可以由木頭製成 繩索走索者將會用手拿著 就像這樣 而且它往下延伸了相當長的距離 我這裡放了一個五公斤的物體 這裡也放了一個五公斤的物體 假設這個結構非常穩定 輕便 我們可以忽略這一點 讓這段距離為十公尺 這個系統的質心在哪裡 七十公斤位於繩子上方一公尺處 十公斤位於繩子下方十公尺處 因此 系統整體的 質心當然會在下方 所以那個人和任何東西一樣穩定 就像我的鎚子一樣穩定 但有一個問題 那就 是那人可能會滑到繩子的一側 這當然會很不幸 因此 你會要求 如果這是一條繩子 那麼繩子的橫截面 你會在你的鞋底上製造出一些類似於繩子橫截面的紋路 這會防止你向這個方向滑倒而跌落 但是重心位於繩子的下方 因此實際上並沒有危險 你可以平衡自己並在繩子上行走 什麼事都不會發生 你甚至可以這樣做 在繩子上來回走動 沒問題 你可以一直這樣回來 好吧 我們有一個非常特別的走鋼索的人 這是我們的走鋼索的人 而這個走鋼索的人確實有非常特別的鞋子 事實上 走索人的鞋子是一個小輪子 這就是這個輪子的外觀 像這樣 這裡就是繩子會被放置的地方 你看到這裡在講課 室裡的這條繩子 因此我們需要這個凹槽的唯一原因就是如此 在輪子上裝設止滑裝置 以防止其向側面滑動 這正是我們為此人所需要的 但質心在這裏 你看我在手指上平衡它時 位於懸掛點的下方 這是因為兩邊都有重量 質心在這裡某處 因此完全穩定 你可以這樣做 完全沒有問題 這就是走索人能夠做到的事 只要 它不會滑落 這就是我們需要這個的原因 好的 讓我們請這位走繩者為我們做個示範 讓她走吧 我們不再需要那台電視了 如果其中一位學生能來就好了……請你幫我歡迎那位 繩子行走者 當她到達這裡時 因為我們不希望她摔跤 那這樣可以嗎 所以當她下來的時候 要溫柔 地給她應得的尊榮 然後你只要確保她不會摔倒 因為那……她會受傷 對吧 我們不希望這樣 好的 你已經看到情況有多穩定了 她走啦 你準備好了嗎 看啊 我們都可以成為走索者 非常感謝 週五見