【麻省理工】公開課《經典力學》 P23 - 23. 懸浮固體的簡諧振盪

好的 你確實在物理擺的問題上遇到一些困難 我想再多談談物理擺 我們先從整體概念來看一下這張圖片 我這裡有一個實體物體 :Register 這個物體正以 P 點為中心旋轉 Register 繞著垂直於黑板的軸線旋轉 Register 這裡的 C 點是質心 物體具有質量 m 因此 這裡存在一個力 mg 讓 Using 這裡的間隔為B 我將它以角度 θ 偏移 而且我會讓它震盪 明顯地 在銷釘處必須有個力 如果在銷釘處沒有力 這個物體就會以加速度g向下加速 而且那不會發生但我並不關心那股力量 因為我將以點P為支點來計算力矩 記得我們之前有個彈簧的時候 在這個一維的情況下 我們有 F等於ma 因此彈簧力變成了 -kx 負號表示這是一種回復 力所以我們現在得到類似的情況 在旋轉中 力轉變為力矩 質量轉變為轉動慣量 加速度轉變為角加速度 因此現在我們得到負的 r 與 F 的叉積 而且負號表示它正在恢復 所以如果我以點P為參考來計算力矩 那麼我得到的是這是位置向量 其大小為B 力是 mg 而我必須乘以 theta 的正弦值 所以我得到 B 乘以 mg 乘以 theta 的正弦值 現在等於負的 我可以把負號帶到這裡 負號是關於點P的轉 動慣量乘以角加速度 而角加速度是θ的二階導數 我把它們合併起來 而且我使用小角度近似 小角度時 電腦的正弦值約等於角度本身 如果角度是以弧度為單位的話 所以我把所有項目移到等號的一邊 所以我在得到 θ 雙 dot加上 Bmg 等於轉動慣 量關於那點 P 的倒數乘以θ這是我小角度近似 等於零 這是一個著名的方程式 這明顯是theta的簡諧振動 因為這是一個常數 因此我們會得到一個解 即theta等於theta最大值 你可以稱之為角度振幅 時間的餘弦值乘 以角頻率加上相位 這個角頻率是常數 Omega 在這裡 θ 點是角速度 這不是一個常數 兩者完全不同 那是角頻率 所以我們知道解 解這個微分方程式 讓我得到 ω 是 這個常數的平方根 但它是 Bmg 其週期 為 2π 除以角速度 ω 以及這等於 2π 乘以 I 相 對於點 P 的平方根除以 Bmg 並讓我們在這堂課的大部分時間裡保留這個ᆢ 因為我打算將其應用於各種幾何形狀 請確保我說得正確 是的 我確實這樣說 這與物體的質量無關 即使你說這裡有一個 m 你會發現不管什麼情況下 當我們計算繞點 P 的轉動 慣量時 這裡總是有質量存在 因此 這場運動將會消失 你很快就會看到 我這裡有四個物體 它們的轉動慣量都不同 它們都會繞著一個垂直 於黑板的軸旋轉 說起來 我們將逐一對它們進行 處理以預測它們的週期 我們先來看一下桿 我們首先製作棒子 我們這裡有釣竿 這是點 P 這裡是桿的中心 桿的質量為 m 長度為 l 因此我們這裡有 mg 我再也不用擔心這個了 我只要來到這個公式 我想知道這根桿的週期是多少* 這根擺動桿的轉動慣量 我現在只需要知道繞P點的轉動慣量是多少 而我已經知道那個公式中的b等於二分之一l 那麼繞點P的轉動慣量是多少呢 我現在必須應用平行軸定理 這也是你在考試時必須做的 這是指繞質心 旋轉的轉動慣量 在我們的情況下是c 軸必須平行 因此是這條垂直於黑板的軸 以及這條軸線垂直於黑板 加上桿的質量 乘以 P 與 c 之間的距離的平方 加上 m 乘以這個距離的平方 所以那是 b 的平方 和 b 平方是四 分之一 l 平方 繞此軸旋轉的棒的轉動慣量是多少 我查過表格 我現在正好記得 因為我正在講授8 01 兩個月後 我將會忘記 所以我現在記得那是1/12 m l平方 加上四分之一 m l 平方 這變為三分之一 m l 平方 這樣週期 T 就變為二 π 乘以這個轉動慣量的平方根 也就是三分之一 m l 平方 被 b、m、g 分 隔dedicated 而 b 是 l 的一半 就這個幾何結構而言 所以是 l 的一半乘以 m 乘以 g 請注意 正如我預期的那樣 你總是會失去你的 m 你還會少掉一個 l 所以你得到的是兩倍的圓周率乘 以根號下三分之二 l 除以 g 所以這就是我們預測的桿的週期 所以讓我們在這裡寫下來 因為我們很快就會進行比較 所以這是二倍的π乘以 根號下三分之二l除以g 我們這裡的桿子設計使得 這個週期非常接近一秒鐘 那是我們的目標 因此 T 就是我們能讓它最接近 1.00 秒的值 如果你在這個方程式中代入 T 等於 1 你會發現這根桿的長度 如果確實 gem 在最後端 轉動則長度應約為 37.2 公分 因此 我們在製造這根桿時已經盡了最大努力 當然 總是存在一些不確定性 例如你如何鑽孔以及在哪裡鑽孔 因此我認為我們實際 達到的值是37 2 可能有約三毫米的誤差 也就是0 3厘米 那就是我們所擁有的 那是三七零分之一的錯誤 我們來把它 四捨五入這是在長度上的一%的錯誤 由於長度在平方根內 1% 的誤差會變成 0.5% 的誤差 因此我預測的週期約為 1 000 加上 0.5% 這樣是0 005秒 所以這會有百分之零點五的誤差 這就是我預測的週期 因此我們將進行十次觀測到的震盪 我們將得到相通數字 我的反應時間並不太 比十分之一秒好多少 所以我們會在那裡得到一個數字 我們將這個數字除以十 這樣我們就可以計算出週期 然後我們會得到一個更準確的誤差 千分之一秒 因為我們會將這個數字除以十 所以這也會被除以十 讓我們看看我們能接近到什麼程度 到1 0秒 這就是那根釣竿 開啟計時器 我們會把桿子調平 等它停下來的時候我再 開始一、二、三 四、五、六、七 八、九、十 9.92 遠低於 預測值 因此這成為 0.992 加減 0.01 你會發現這完全在 我所預測的範圍之內 現在 這四個物體都是以這樣的 方式設計的 它們的週期正好都 是1秒鐘 現在出現了這個問題 它們的尺寸之間有什麼關係呢 為了讓它們有1秒的週期 那麼讓我們現在計算 其他三個物體的週期 對於環形物體、圓盤以及單擺 讓我們從鐘擺開始 鐘擺的質心在這裡 這裡是點P 我給鐘擺長度為小l 你看到右邊黑板上的內容 因此 B 等於 l 這是 P 與 C 之間的距離 現在以 P 點為軸的轉動慣量非常容易計算 這個沒有質量 質量都在這裡 質量的符號是大寫的 M 所以那一定是 M 乘以 l 的平方 所以我來到這個方程式 然後我問 擺的週期是多少 而且你不會對發現二倍的圓 周率乘以根號下l除以g感 到驚訝 我們之前見過這個 不過當然 它也同樣出現了 如果以這種更複 Nie 的方式來做 所以這裡我們得到的是 2π 乘以根號下 l 除以 g 讓我們現在來做戒指 這就是戒指 這裡以點 P 為支點旋轉 這裡是質心 正好在無人之處的中央 這裡就是質心 因此 距離 B 是環的半徑 所以我們必須計算關於點 P 的轉動慣量 再次 我們必須現在使用平行軸定理 這是繞通過點 C 的軸旋 轉的轉動慣量 也就是通過 質心的軸 這等於 MR平方因為 R 是環的半徑 所有的質量都位於週圍 距離質心的距離都是 R 然後我們還必須加上 根據平行軸定理 質量乘以這個距離的平方 而這個距離是 R 所以你得到 MR 平方 因此是 2MR 平方 那麼振盪的 Enter 是什麼呢 我的 P 也就是 2MR 平方 被BMG分開 B是R RMG 我失去一個R 我失去一個M 我們以前見過這種情況 這是我在第21堂課中推導出來的 我記得每堂課的內容 信不信由你 因此 目前的週期與長度為 2R 的擺相同 這是這個環 因此我們得到 2π 乘以根號下 2R 除以 G 我很快就會做個比較 我只是想把它們全部完成 我現在想來做最後一張磁碟 對於這個圓盤 我們現在要 duel 的是計 算轉動慣量 這與你考 試時遇到的問題非常接近 這裡是你所需的磁碟 實體磁碟 這是最終的質心但現在它變成了實體 因此 B 等於 R 這是 C 與 B 之間的分隔 繞點 P 的轉動慣量現在則是繞 質心的轉動慣量 您可從表格中查閱 你的考試題目在封面有說明 一半的 MR 平方 這就是繞質心旋轉的轉動慣量 因此我們必須加上 MB 平方 而 B 等於 R 所以我們必須加上 MR 平方 所以我們得到三倍的 MR 平方 那麼振盪週期是多少 2π乘以三倍的MR平方 除以BMG B等於R RMG 這等於 2π 乘以平方根…… 我又失去了我的 M 我又失去了一個 R 我得到這裡是三倍的 R 除以 G 那麼讓我們在這裡記下來 因此我們得到 2π ducted 的平方根為三倍的 R 除以G 因此我們在那裡都找到了這四個 現在我們可以進行有意義的比較 我們希望週期相同 這樣我們就能 保留這些數字 就不再需要這個了 我們希望週期相同 我們已經確立 棒的週期接近一秒 所以我們不再測量它們了 我們只是想比較它們 看看它們的振動週期是否確實相同 透過同時讓它們振動 但我們想知道它們的相對比例是多少 我們設計它的方式有這些尺寸 那我們先來看看桿 然後 將桿和擺進行比較 如果你看看這根桿 我們以擺作為標準 其長度 為小寫 l 那麼你會發現 週期會相同 如果一又二分 之一的 R 等於小寫 l 哦 對不起 是桿如果兩-thirds 的大寫 L 是小寫 l 所以對於桿來說 兩-thirds 的 l 等於小寫 l 所以大寫 L 是一又二分之一 l 它的長度必須是擺 長的1 5倍 因此 這個長 nhị必 須是到質心長度的1 這就是台球的中心享用 我們盡了最大的努力去做到這一點 現在讓我們來到拳擊場 為了使週期相同 為一秒鐘 兩個 R 必須與擺長相同 所以兩個 R 等於 l 因此我們可以在此處放入 l 這必須是 l 的一倍半 而這裡 這現在是 2R 必須等於 l 這裡的長度與環的直徑相同 這一點非常不直觀 一點也看不出來 所 以現在我們來考慮圓盤 因此 我們要求三又二分之一 R 一個半 R 我們希望這等於 l 所以我們希望 R 等於兩倍的 l 除以三 因此我們希望 option的直徑為四除以三 當你觀察這個圓盤時 很難看出它的直徑正好是四分之三 但你可以看出它比鐘擺更長 應該要長三分之一 但並沒有那麼長 因為桿子的長度是擺長的1 5倍 所以我們現在可以完成那幅圖畫 這裡的直徑是2R 現在是四分之三倍的 l 那麼現在我們可以和他們玩了 我們可以同時使它們震盪 看看它們跟蹤彼此的效果如何 給你尺寸毫無意義 棒的長度是37 2公分 我得記下來 因為我們算過這個數字 因此這是37 2公分 我認為這對擺來說相當於24 8公分 至於其他部分 我交給你來計算尺寸 對 25 24.8 是正確的 時間已經不再重要了 我們就看看這兩者如何搭配 我們抵消了它們並讓它們離 開 它們幾乎同時離開 當然如果你等足夠長的時間 你會發現它們之間存在差異 你永遠無法讓他們完全相同 但他們能很好 地跟隨彼此 現在我們 也可以使用桿和圓盤了 它們彼此跟蹤得非常完美 它們都非常接近1 00秒 我們可以將光盤與擺錘進行比較 而且你們會發現它們跟蹤得非常好 但等久一點 你會看到當 然 這些時期會有所不同 因此 這是我對實體擺的最後發 言但你可能在最後再看到它 不只是可能 我告訴你 這幾乎是可以預計的 好的 我想現在討論一些其他有趣的振盪現象 再來是簡單的諧波振盪Apex是那種你看到的U型管中的液體 如果我這裡有一根管子 這處處開放兩側且 各處截面相同的區域 而且我在此處放入一種處於 平衡狀態的液體 就像這樣 這液體的質量 為 m 密度為ρ 管子的截面積為 a 而且液體的長度是 l 這是 l 我要抵消它 這液體 我希望它能產生震盪 我想看看我是否能計算出震盪的週期 我所擁有的液體總質量 總質量是體積 也就是 面積乘以長 度再乘以密度 我將對其進行調整 使這部分在距離 y 的範圍內更高因此 這部分在距離 y 的範圍內會更低 因此這個距離也是 y 和那個一樣 所以液體現在在這裡 然後我釋放它 它就會開始震動 好吧 當它開始震盪時 有那麼一個時刻 液體…… 整個液體將會來回晃動 因此在管子的任何地方 在任何時刻的流速都是一樣的 因為截面沒有改變 到處都是一樣的 如果這裡有某個速度 v 那麼這裡的速度也是一樣的 那裡的速度 這當然是 y 的導數 這是這裡位置的第一次導數 我將記下總能量守恆與 機械能守恆的觀念 我 假設沒有能量損失 儘 管實際上可能有些許損失 液體內部的摩擦可能會產生一些熱能 這會導致 一些阻尼效果 你會看到 當我們進行實驗時的情況 目前 我將假設情況並非如此 那麼 系統的總能量cripcion是什麼呢 這就是動能的總和 加上勢能 而且如果我們假設這是 一個常數 就可以很快地找出振動週期 如你所見 液體的動能很容易 那是二分之一 m 乘以速度的平方 而速度 我們同意 是 y 對時間的導數的平方 現在的位能 我稱這裡的位能為 我稱其為u等於零 當液體靜止在這裡時 當液體靜止在這裡時我稱其位能為零 目前在此水平以上的質量 我稱之為Δm而 Δm 是面積乘以 y 乘以 ρ 這裡的質量就是這麼多它是從這裡被拿走後又放這裡的 你必須做多少工作才能把這液體搬到那裡 其實當你把這液體搬到 這裡時 情況也是一樣的 當你將這液體從那裡帶來到這裡時 那麼你就把它移動了距離 y 因此重力位能 增加了 Δm 這是在這裡的質量乘以重力 加速度乘以高度 而高度是y mgh 記OrFail 這是重力位能的增加量 因此我移動了一個質量 稱為Δm 我把它移動了距離 y 我把它帶到這裡 當然這沒有什麼差別 所以這是總能量 現在這是一個常數 因此我將在那裡代入 a、l 和 ρ 得到 1/2 a l ρ 速 度平方加上 a ρ iterative 結果得到 y 平方等於常數 因為我這裡有一個 y 那裡也有一個 y 我們以前做過類似的事 這就是能量守恆 為了找出簡 諧振動的週期 我們計算時間的導數 順便一提 在做這之前 這是Δm 而這是a 對吧 嗯 一個rho 對 就是這樣 所以我們失去a 我們也失去rho 我們繼續進行目前的內容 所以我們將計算這 個方程對時間的導數 那讓我得到二分之一 二被拿出來 二變成了一 所以我得到2y點 接著我使用鏈式法則 因此得到 y 的二階導數 這裡我得到加 g 2 跳出來 變成了 2y 然後我得到鏈式法則 y 點 而這等於零 我失去了 y 點 因為兩個項中都有 y 點 這2吃掉這2 所以我就發現y雙點 加上 2g 除以 l 等於零 這就是我的目標 因為這明顯是 一種簡諧振動 因為這是一個常數 它將以以下方式震盪 y 等於 y 最大值乘以 cos(ωt + φ) 這就是角頻率 它與週期直接相關 Omega 是角頻率 等 於根號下 2g 除以 l 因此週期將是 2π 乘 以根號下 l 除以 2g 因此 這就是振盪液體的週期 請注意 這就是 當擺長為 l除以2 時 從擺所得到的週期 這一點都不明顯 一點都不直覺 你看到我們這裡的裝置了 我必須知道l的值 這並不容易 因為這個半徑的關係 如果我在外側測量l 它在外部比內部大很多 你可能認為這不是很大的差異 但其實非常大 這是九釐米的差異 在外部和內部之間 如果我取兩者的平均值 就會得 到72公分 可 能有1公分的誤差 如果我用這個數字代替l 並將其代入這個方程式 那麼我就能算出預測週期 這結果是 1.204 而且由於這個錯誤 我會有 大約0 01秒的不確定性 然而 在我們開始測量之前 我和你將進行十次震動 以得到一個合理且準確 的結果 我想要提醒你 我預測我們所測量的週 期可能會比 這個更大 我 想到兩個原因 第一是 這種液體的阻尼會非常大 你會看到它如何迅速減震 過去我們從來沒有考慮過阻尼問題 在8 01中我們也不會那樣做 但阻尼會使週期變長 我們一直忽略這一點 在我們所做的大多數示範中 像剛才那樣是可接受的 液體可能不被接受 但現在有一個第二點我想請你考慮 我是否正確地取了平均長度 也就是平均值 外徑與內徑之間的差異是什麼 我不這麼認為 我希望你思考一下為什麼這並不正確 請仔細看一下這個 l 是如何出現在我的微分方程式中的 而且你很可能會得到正確的答案 我認為我們應該採取的實際值 l 會稍微大一點 我不知道它會大多少 但確實稍微大一點 這樣也會讓觀測到的週期 比預測的還要長 所以我不是很樂觀 我們將按照我們想要的方式去擊打它 但這很好 因為物理定律就在這裡 你會發現還有其他因素 必須考慮的因素 我會打開這個 現在開了嗎 調準了嗎 我們會把教室完全弄黑 因為你將會看到……否則 你無法看到液體 所以你現在看到這液體了 哦 你也看到這些方程式了 好的 這是零 那麼讓我試著給它一個大一點的擺動 它彎曲得如此巨大我真的想要一個非常大的擺動 那真 不錯一、二、 三、四、五、六、七、八、九、十 啊 不錯 12月18日 不錯 有點光線 12月18日 觀察 到 10T已觀察到 12 18嗎 好的 我的反應時間是0 1 所 penetrate 的時間是1 2 讓我們把它設定 為兩秒……加減零點 零一秒……哦 這還不 錯 ……其實 有重疊的部分 如果在這裡加上這個數字 會得到 121 而在這裡減去它 也會得到 121 所以這還不錯 我原本預期會高一點 但 這已經足夠讓我感到滿意了 考慮一下為什麼 L 應該稍微大一點 現在 再來一個非常有趣的震盪 扭轉擺 那裡有一條2 5米長的鋼絲 底部懸掛著某樣東西 我們將會抵消它 然後它會來回擺動 這被稱為扭轉擺 我們將計算扭 轉擺的振盪週期 它們具有奇妙的特性 它們在某種意義上就像一 個彈簧 一個一維的彈簧 記得那個與 振幅無關的 一維彈簧振動嗎 當然 這是在合理範圍內 如果你使振幅太大 那麼你就會得到彈簧的永久變形 但我們從來不需要對彈簧做小角 度近似 就像我們對擺所做的那樣 這裡是單擺 扭轉擺 這是一家酒吧 這裡有一個重物 這裡也有一個重物我稍後再告訴你更多細節 它懸掛在天花板上 它具有一定的長度 l 這是點 P 接下來我們要扭轉它 然後讓它在水平面上振動 這根棒子 當你從上方看去 你 會看到這裡有個吧台 請看這裡的點 P 然後我們可以將其偏移一個角度 θ 然後它會來回震盪 相對於點 P 的力矩現在與 我們之前使用彈簧時非常相似 我們有一個負號 這再次說明它正在恢復 以前是k 現在是κ 我們稱之為扭轉彈簧常數 以及現在我們有一個稱為θ的角度 因此我們產生一個力矩 這個力矩與角度成正比 非常類似於線性彈簧 也就是說我們產生一個力 這與線性位移成正比 現在你產生一個力矩這與角度成正比 而這就是質心P的轉動慣量 乘以角加速度α 且 α 等於 θ 的二階導數 所以我們會得到這個 θ 的二階導數 加上 κ 乘以 θ 除以 I(P) 等於零 扭矩常數 順帶一提 我們得到一個微分方程式 你會看到 一種簡諧振動 這是一個常數 所以你會得到θ等 於θ最大值乘 以餘弦 Ωt 加φ已經很無趣了 這是角頻率 角頻率和角 頻率是kappa的平方根 其週期等於 2π 乘 以以點 P 為軸的轉動 慣量的平方根 再除以以點P 為軸的轉動慣量 以 kappa 分隔 那 關於Kappa呢 Kappa 是這裡截面積A 和長度 l 的函數 同時也是你所使用材料種類的函數 不論你使用的是鋼製還是尼龍製的 差異非常大 當然 這非常直觀 記得在之前的課程中 當我 們將一根金屬線拉伸到即將 斷裂的程度時 我們討論了 楊氏模數 我 們有一根金屬線 而且我們在電 ör 的末端進行了大量懸吊 我們討論了垂直振動 我們可以施加壓力然後釋放它 然後我們會得到像彈簧一樣的震 盪我們找到的這個彈簧常數 就是楊氏模數 乘以這裡的橫截面積 再除以長度 那 בחוּ有些冰 冷棒越粗 它就越僵硬 線越長 它就越不僵硬 嗯 這裡有某種類似的情況 但我不想深入說明你如 何得出這個kappa 值的細節 這有點複雜 但確實如此 如果將導線加粗 kappa 會上升 如果將導線加長 kappa 會下降 sing 這一點顯而易見如果你有一根非常ᆢ的桿 而且你試著扭轉那根桿子 它在頂部被夾住了你扭轉它卻很短 你需 要很大的扭力才能轉十度 如果你把導線拉長到100 公尺長 並想要扭轉十度 這一點都不困難 所以你馬上就能看出來 當然 κ值 即扭轉常數 是長度的函數 當長度增加時 其值會下降 我們這裡有一條長度為2又1/2公尺的導 線而導線的直徑 根據製造商的說明 這是一條鋼琴弦線 這厚度為千分之二十五英寸 如果我盡力計算kappa值 那麼我發現kappa應該非常接近 每弧度四次十的負四次方牛頓米 因此 我們現在要做的就是計算這個系統的轉 動慣量 然後我們就能 預測這個擺的週期是多少 這不是我的目標 你會看到我的目標會是另一個 請觀察這根棒和這根導線 這根導線非常細 因此 導線相對於點 P 的轉動慣量 幾乎接近零 請記住 它與半徑的平方成正比 你可以忘記那個幾乎所有的轉動慣量都在這個系統中 我會為你引爆那個系統 就是這個 你會在那裡看到 它兩邊都有 各重200克 它重0 2公斤 這裡也有0 2公斤 這個質量幾乎可以忽略不計 這裡的距離是30厘米 而且這個距離是30公分 因此 近似來說 繞該點P的轉動慣量 這個旋轉 這會是質量乘以半徑平方加 上這質量乘以半徑平方 所 以會是兩倍 因為我有兩個質量 乘以質量乘以半徑平方 以及約為0 036公斤·平方米 所以當我將其代入我們的方程式時…… 我知道kappa是多少 至少我知道kappa是什麼 我也清楚自己是什麼它幾乎完全由那個橫桿決定 那麼我將用這個方程式來找出它 那週期非常接近60秒 我的目標不是要證明它接近60秒 我的目標是向你展示 在這個維度中 這是一個非常細長的維度* 我們可以讓這個角度θ達 到最大 這個角度驚人地大 我們不是在談論10度或 30度 我們可以走更遠 我想測試的是我們能走多遠 這是我生命中最重要的事情之一 對你和我來說都是一項挑戰 你能夠走多遠才不會被發現 有時候如果我們把角度調整得太大 就會永久變形導線 它將無法回復到原來的位置 同樣的情況也適用於彈簧 如果你拿一個彈簧 它的振盪週期 確實與振幅無關 但僅限於一定範圍內 如果你拉得太遠 胡克定律就不再適用 這會導致它產生永久變形 那麼 當然週期就會成為伸長量的函數 這裡的情況也是一樣的 如果我們把它扭得太厲害 那麼當然會永久變形 然後這個週期將不會與θ最大值無關 說完這些 我想開始向你請教意見 我們該從哪個角度、 哪個方向開始 呢你認為什麼樣的方式比較合理 又不會讓線路承受過多的壓力 然後我們會記下時間 所以我們其實不太感興趣測試60秒 但我們更想比較 我們給予它的各種角度 我們第一個 要試的是什麼 有什麼想法嗎 30度 什麼 第一次嘗試 irting 你太殘忍了 天啊 第一次 你想要六塊錢 你瘋了 我願意再來一輪 好 嗎你覺得這不算什麼 =มวล= 對你來說只是小意思 對吧好吧 我想來個theta最大值 或 360 度 所以是 2π 並測量週期 實際上 測量週期需要一分鐘 這並不需要 我們可以測量半個週期 也就是說 我們等待擺停止 我們測量它再次停止所需的時間 這是一半週期 就像彈簧一樣 如果它在這裡停止 又在那裡停 止這就是一半週期 因此我們將測量半個時期 現在 我不知道我的反應時間會是怎樣 可能還不到十分之一秒 因為就在它停止的那一刻 這並不是很明確 你會看到 我只是在猜 應該比十分之一秒稍長一點 我們試試看 讓我們先嘗試360度 你看到 這是黑色 這是稍微紅一點的 所以我們把它轉動一次 這就是它原來的位置 對 你看到那個了嗎 360度 好 現在我先讓它轉動起來等它停止下來 我總是這樣做 然後開始計時 然後當它再次停止時 我會停止時間 然後我們還有半個學期 讓我們先做自己的事情 非常緩慢 非常輕柔 它大約需要30秒完成半圈旋轉 所以現在你會看到它又回到平衡狀態了 因為我們將一圈四捨五入了 所以又回到平衡狀態了 而且很快就會停止 當它停止時 我想重新開始計時 現在 好吧 現在它又回來了 我們等待它再次停止 這給了我們半個週期 好的 現在 28.75 28.8 我們現在該怎麼辦 三次旋轉 五次旋轉 三次 我們支持三次嗎 誰應該為電線的永久性損壞負責 我們在生命中是否應該承擔責任 三是一個很大的數字 三乘以六是十八 伙計 六……我可以啟動它 因為它要過一會兒才 會停止三圈首先我們必須確定它 大致回到平衡狀態 這始終是一件困難的事 因為它太慢了 嗯 差不多了 好的 三 我們順時針還是逆時針走 應該沒差 我先走這邊 我們回去吧 是嗎 你能夠睡得著嗎 好吧 一、二、三 六點五 電線的盡頭 好的 我們出發吧 當它停止時我會啟動計時器 我們還有時間 六點五 Grundy 位於英國東南部 是肯特郡的一個城鎮 我們轉動它六次……三次 當它停止前會反向轉動六次 希望你能明白這一點 我是不是來得太晚了 感謝您指出這一點 所以如果您旋轉三次後再鬆開 它會先反向旋轉三次 然後達到平衡狀態 然後它又向上盤旋三次才停止 注意現在速度加快了 但時間就是一切 應該又會非常接近這個數字 28.5 哦 不錯啊 我們現在就徹底進行吧 你現在想做什麼 剪斷電線還是進行十次旋轉 你一定很想看看吧 我們會瘋狂地轉十圈 這不是令人驚嘆嗎 它快多了 依舊是30秒 我必須確保自己保持平衡 這並非平衡狀態 我知道它就在這裡某處 不 那不是平衡我想就是這裡了 好吧 十個 對嗎 好嗎 一、二、 三、四、五、六、七、 八、 九、十處룻的線 我們就讓它繼續下去 看看會發生什麼事 當它停止時 我會開始計時 請問一下 謝謝 謝謝你指出這一點 看它跑得多快 我是說 它真的瘋了 它必須在30秒內完成所有動作 因此現在它必須回到停止的位置 它現在必須旋轉20圈 20圈需要30秒 回到平衡位置 然後十個停下來 這將是你的感恩節告別演示 不 29.2 好極了 祝你感恩節快樂 謝謝