【哈爾濱工業大學】《結構力學》（國家級精品課）（下） P23 - 123. 125-13-1極限荷載01

這節課我們開始講第十一章 結構的極限合載 也是本學期的最後一章 在這一章裏面我們要講這些內容 第一節概述裏面我們要提到什麼是極限合載 爲什麼要求這極限合載 接下來第二節是講的一些概念 包括蘇聯角 迫害機構的一些概念 接下來就是怎麼樣來求極限合載 那麼靜電結構怎麼求 靜電結構怎麼樣求極限合載 這個超音定的量當化的怎麼樣求極限合載 然後接着講的就是判定極限合載的一些定理 在此基礎上我們得到求臨界合載的這兩種方法 然後接下來用這兩種方法來求連續量的極限合載和剛下的極限合載 這是這一章的主要內容 估計是講三個學識到四個學識 我們就是這一章之前的 當然就是穩定問題 穩定這個角度先拋開 有前面的 包括上一期的 我們都是基於彈性的範圍內來求內力來求位移的 就是彈性分析 在我們在前面講求內力求位移的時候都是假設的 應力應變關係都是線性的 應力應變關係是線性的 內力和位移的關係也是線性的 如果我們把核載要卸載 核載拿開 這個結構不會有一點的彈性變形 又恢復到原來的形狀 這樣的分析叫彈性分析 前面我們講的都是彈性分析 這個結構在不很大的核載作用下都是處於彈性範圍內的 這個是滿足條件的 應力應變關係是線性條件的 當核載不是很大的時候 如果要是核載要很大了 應力應變關係就不再是線性的了 不再是線性的了 那麼就要採取非線性的分析 如果用彈性分析要搞設計的話 彈性設計的強度條件在材料理學已經講到了 結構當中所有構件 所有截面當中的最大的應力 最大應力應該小於取用應力 最大應力應該小於等於取用應力 這個取用應力如果是嚴性材料 鋼結構或者鋼筋混凝土結構 就是有一定變形能力的這樣的結構 那麼取用應力等於這個是屈服的應力 屈服應力 K是一個安全係數 取一個常數 安全係數 如果是脆硬材料的話 如果是脆硬材料 那麼這個就取強度極限 強度的極限應力 如果這個條件滿足 那我們前面講過的什麼立法 位移法 位移計算都是成立的 如果這個條件還是不滿足 我們前面講的那些方法就不成立了 理性力變關係就不再是線性的了 那麼根據這個條件我們確定出來的結構的承載力 結構的承載力實際上並不是最大的承載力 是彈性範圍裏邊的最大的承載力 由它可以確認出來 比如我們看這樣一個連續梁 在外力作用下 那麼如果屬於彈性的關係要成立的話 我們可以用立法或者位移法畫出來它的彎矩圖 那麼這邊的彎矩值是64分之3PL 如果等級面梁 那麼如果這個界面應力已經達到這個值了 我們就認爲這個結構可以說是破壞了 可以認爲發生了強度破壞 那麼既然發生強度破壞的話 那麼力要再增加當然就不行了 如果是混凝土梁的話 你要是達到這個值以後 這個地方下面的界面應該發生開裂 我們大多數的建築是應該保證在正常的工作範圍底下應該是滿足這個條件的 大多數的建築都應該滿足這個條件 應該在彈性範圍裏邊工作 我們現在的結構都是在彈性範圍裏邊工作的 但是有的時候它可能會受到一個比較大的核燃外部作用 比如像地震 你要在地震作用下也要保證這個結構滿足這個條件的話 就不太現實了 或者說就在經濟上來說不太合適了 那你的材料就用得很多 結構會很重 因爲材料也多 造價當然也高 那麼這個地震並不是總是發生的 你在建築的一生當中可能經歷過一次 也可能從來沒有經歷 它就報廢了 所以在抗震設計裏邊我們是允許結構進入 就是超過這個彈性了 可以進入彈縮性工作狀態 可以發生破壞 只要不倒塌就行 那麼我們就需要研究 這個結構因爲一面關係不再是線性的時候 我們這個承載力應該怎麼樣來確定 就是說你這個地方開裂了 這個結構還可以繼續從頭合載 你合載再增加還沒問題 它塌不了 那麼一直合載增加增加增加到一定的程度以後 這個結構就坍塌掉了 那麼這時的分析當然就是彈縮性分析了 也就是結構的順應分析 結構的順應分析就是基於考慮材料的順應性質的結構分析 考慮材料的順應性質結構分析要比較難一些 或者計算要複雜一點 因爲這時因力應變關係就不再是線性的了 你這個疊加原理也不能用了 你在彈性工作範圍的時候 我們在前面講什麼力法位移法等等 我們只需要考慮最終的 力都加載完了以後的狀態就可以了 你不用考慮加載過程 也不用考慮這些力哪個先加哪個後加都不用管 如果是進入了縮型工作狀態 那你就要追蹤整個過程 隨着力的增加 哪個地方開裂了 它的因力應變關係就變化了 你再增加核載 又有哪個地方開裂了破壞了 因力應變關係可能又發生了變化 如果是動力學 你核載是雙向的時候 這時分析起來就會更復雜 我們這章不講那麼複雜的事 我們就講結構作用分析當中的一個問題 就是怎麼樣來確定結構破壞時所能承受的核載 我們不討論進入縮型了以後怎麼樣求位移 我們不管 怎麼樣求內力我們也不討論 能不能求可以的 進入縮型了以後當然我們也能求位移 也能求內力 當然就不能用我們上一期講過的那些位移計算的公式來求了 當然也不能用上一期講的那個力法位移法來求了 還有別的分析方法我們這裏面就不介紹了 我們只講其中的一個問題 就是怎麼樣計算極限核載 所謂的極限核載就是結構在外力作用下 隨着核載的增加 結構的變形當然也要跟着增加 內力當然也跟着增加 當核載達到了某一個臨界值的時候 不再增加核載 結構的變形會繼續增加 會繼續位移 我們畫一個就是凱樂類學 我們都做過軟鋼的實驗 有這麼樣一個引力變光線曲線 引變 引力 一開始的時候 在力比較小的時候是彈性狀態 那麼引力引變光線是一個線性的 是線性光線 當你這個力達到了σs的時候 曲線引力 這時候它會出現一個曲弧 曲弧了以後它會發生一個硬化 那麼發生硬化以後 這時如果你卸載 它會有一個彈性位移 那麼你對應着同一個引力 會對應着不同的引變 引力引變就不再是單獨的了 不再是單獨的關係了 那麼你當你彈到這個地方以後 這個力不再增加 這一點的話位移是不是可以繼續增加 結構也是這樣的 當你這個結構上面的力達到一定大的時候 這時候你力不再增加 這個結構的變形會繼續增加 整個結構就曲弧了 我們就把這時候的和載叫極限和載 也就是結構所能承擔的最大和載 結構所能承擔的最大和載 極限和載 其實這個極限和載是有意義的 那麼在抗震的時候 如果我們在抗震的時候有這麼一句話 我們設計的結構要保證這麼三點 叫小震不壞 中震可修 大震不倒 那麼小震不壞也就是說要保證這個 在正常使用的時候 或者在小地震的時候 應該保證結構在彈性範圍裏面進行工作 那麼中震的時候是可以破壞的 可以破壞的話就進入了彈性工作狀態了 可以破壞 進入彈性工作狀態了 大震的時候它不能倒 不能倒 那麼結構上面那個力的話就是極限和載 這一章的精神假定 爲了簡化分析 我們把陰地面關係 我們做這樣的假設 材料是理想的彈作用材料 陰地應變關係是這樣的 一開始是線彈性的 陰地應變關係是線性的 當陰地達到去除極限以後 陰地不再增加 陰變會繼續增加 而且是常數 陰地的常數 陰變的話可以直接一個值 如果要出現泄載 那麼就恢復彈性 如果是泄載 就會恢復彈性 那麼會有彈域變形 所以這一章的假定 材料是理想的彈色用材料 下面我們講第二節 幾個概念 極限彎矩 速成角和破壞結構 我們以一個純彎矩的梁爲例 一個梁 截面高度是h 截面寬度是b 兩端有利有作用 這個梁處於純彎矩狀態 我們把這個m從小到大 然後我們來追蹤這個梁整個的變形和裏邊的陰力的變化情況 一開始 當你這個彎矩比較小的時候 彎矩比較小的時候 那麼也就是 這截面裏邊的最大的陰力 如果小於σs σs是區分極限 就是區分陰力 小於它 那是這時候的截面上各個點的陰力 都是小於σs的 最大的小於當然都是小於了 前面假設 就各點的陰力 中間這個地方陰力爲0 所以越往邊緣的陰力越大 那麼這時 陰力和陰變關係應該是線性的 陰力和陰變關係 e是常數 彈性蒙量 這個陰變和曲率的關係 陰變和這個腦子的關係 y不是腦子 就是截面上任一點 某一點到中線軸的距離是y cup是曲率 是陰變和曲率的關係 這個陰力和曲率的關係 把這個字代進去 得到陰力和曲率的關係 陰力與曲率的關係 截面彎矩切開以後 截面上有彎矩 那麼由於陰力可以算出來 截面陰力那麼積分 這個y是截面上某一點到中線軸的距離 dA是距離中線軸爲y處的那塊面積 然後對整個面積作一下積分 得到彎矩 彎矩和曲率的關係 所以這些關係都是線性關係 都是線性的 陰力陰變關係線性的 如果這時那個陰力最大陰力 達到了曲阜陰力 陰力達到曲阜陰力了 這時我們可以算出來這個截面上的彎矩 可以由這個式子來算出來 算出來 怎麼算 這個截面彎矩 上面這個已經達到了σs 應該算這塊陰力的合力是吧 陰力的合力 然後這邊陰力的合力 這兩個合力構成一個6 一個6的話就是一個彎矩 我們算的結果是1 1⁶ 比埃及弗朗就是σs 我們把這個彎矩起個名字 叫彈性極限彎矩 也叫曲阜彎矩 彈性極限彎矩 也就是出於彈性範圍的時候 這個截面裏邊所能承受的最大的彎矩 也出於彈性工作狀態的時候 這個截面裏邊所能承受的最大的彎矩就是它 彈性極限彎矩 我們把這個值放在下點 後邊我們還要用這個值 如果我們現在再增加核載 如果再增加核載的話 從上面開始 各點的陰力都達到了σs 從上面開始往下 主點的都會達到了σs 就是你隨着彎矩增大 曲阜的點從上往下 對點從下往上 曲阜點會越來越多 中間這塊它沒有曲阜 中間這塊沒有曲阜 這塊也有個名字 叫彈性核 就是外力增加 裏邊的陰力增加 從上面開始 從上面從上往下 這邊從下往上 進入塑形流動的點會越來越多 在這種狀態下我們也能算出來 曲阜 曲阜就是變形 和外力的關係 這時的彎矩 就在這個時候的 就是已經是彈塑性工作狀態的時候 這個截面彎矩 我們算出來和曲阜的關係 這個σs是表示 如果這個彎矩是 曲阜彎矩 彈性極限彎矩 是最大的彈性彎矩 那個時候的截面的曲率 這個軸線的曲率 σs 那麼當前那個曲率是σ 這個是當前這個截面裏邊的彎矩 這個是彈性的極限彎矩 我們可以得到這樣的關係 這個關係我就不推導了 你們感興趣的話可以自己推 在當前狀態下 下面這一部分和下面這一部分 都是σs 中間這塊是線影分佈的陰曆 中間點當然陰曆是零了 而且滿足平級面假設 變異前的是一個平面 變異以後還是一個平面 平面假設成立 在這個條件下 我們可以推出這樣一個式子 在當前狀態下 截面彎矩和當前狀態下曲率的關係 這是物理方程想到的 彎矩和曲率的關係 這個μ μs和κs這兩個是個常數 它倆是不是一個常數 彈性狀態我們算出來的 這個μs就是這個 你只要給出來曲部陰曆了 這個尺寸給出來 這個當然是個常數了 根據彈性的工作狀態 線性關係 我們也能求出來這裏邊的曲率 也可以算出來 也是常數 這個是一個常數 這是一個常數 彎矩和曲率的關係 就不再是線性關係了 彎矩和曲率 這是彎矩 這是曲率 這個關係就不再是線性的了 是一個非線性關係 如果是彈性範圍 那麼彎矩和曲率肯定是線性關係 這個我們在前面講穩定的時候也常用 這個不理關係 彎矩應該等於Ei 什麼Ei的二階導數 Ei的二階導數不就是曲率嗎 Ei是常數 關係是線性的 而現在的關係就不是線性的了 或者我們改寫成這樣一個特大式 把它改寫一下 因爲後邊我們還要給出一個概念 叫松永角的概念 我要用到這個式子來說松永角 把它改寫成這種形式 當前狀態下的彎矩M 和當前狀態下的曲率的關係 是一個非線性關係 然後你這個和彈再繼續增加 兩邊的彎矩再繼續增加 那麼慢慢彈性格就會越來越小 一直到所有截面各個點都屈服了 每個地方的陰曆都是Σf 那麼這邊是壓陰曆 這邊是拉陰曆 壓陰曆 拉陰曆 這邊都是拉陰曆 都達到了Σf各點 這邊都是壓陰曆 各點也都達到了Σf 那麼這時截面所能承擔的彎矩 就是由這個來決定 可以算出來吧 可以算出來 在這種狀態下的 這截面裏邊的彎矩 是1 1⁄2×σs 這個很好算的 它的合力 σs乘上2分之h 這邊的合力也是σs乘上2分之h 合力的作用點 距離上面應該是1 1⁄4h 那麼這兩個合力的間距應該是1 1⁄2h 那麼一乘就得到了彎矩了 彎矩就指的就是這個 這個就是截面所能承擔的最大彎矩 也叫塑性極限彎矩 MU 塑性極限彎矩 簡稱爲極限彎矩 現在極限彎矩有倆 一個彈性的極限彎矩 一個塑性的極限彎矩 塑性的極限彎矩是截面所能承擔的最大彎矩 所能承受的最大彎矩 那麼它倆的比值是1.5 這個是1⁄6 這是1⁄4 就是塑性的極限彎矩 比上彈性的極限彎矩 它的比值對於我們給的這個矩形截面這個量來說是1.5 記住了 這個1.5我一會兒還要用這個值 從前面分析所看出 這個極限彎矩是和外力是沒有關係的 極限彎矩是和外力沒有關係的 只與材料的物理性質和截面的幾何形狀和尺寸有關係 從我算這個結果來看也是 這是截面的尺寸 θ和s是材料的物理性質 區分盈利 材料有關的 由它來定的 和外界因素沒關 或者說你這個極限彎矩只是這個截面 它是承受彎矩的一個能力的表達 它最大能承擔多大的彎矩 極限彎矩 截面所能承擔彎矩的一種能力 和外界因素當然沒有關係 如果我們設豎拉矩和豎壓矩的面積 分別用A1和A2表示 對我這個問題來說 上面這個是豎壓 下面是受拉的 上面受壓的我這裏用的是A1 下面受拉的應該是A2 對我這個問題來說是沒有軸力的 要平衡 豎拉矩的硬力的合力 和豎壓矩的硬力的合力應該怎麼樣 應該相等 應該相等吧 應該相等 相等的話A1 A2是不是應該相等 A1 A2都是等於面積的一半 那麼這時中性軸也是等分截面軸 中性軸也是等分截面的軸 中性軸兩邊的面積是一樣的 那麼根據這個 兩邊面積一樣 我們就可以得到極限彎矩的計算方法 極限彎矩的方法 從我剛纔講的實驗也能看出來應該怎麼算是吧 怎麼算呢 你把這塊的面積乘上區分硬力 這塊面積乘上區分硬力 有軸的硬力的合力了是吧 再把下面豎拉矩的面積乘上硬力 得到豎拉矩的硬力的合力是吧 那麼這兩個合力的巨 它就是極限彎矩了 或者說Mu就可以這樣來算 豎拉矩的面積 豎壓矩的面積乘上σs 這裏邊2分1 2分2 2分1 2分2爲a1 a2的新型到等分截面軸的距離 其中的s1 s2是a1 a2對該軸的等分截面軸的淨矩 你可以用這個式子來算這個極限彎矩 下面舉個例子 跟外界因素無關 只和截面形狀 截面尺寸和材料的物理性質有關係 這是一個T型的截面的一個梁 我們現在要求這個截面的極限彎矩 要求這個截面的極限彎矩 或者說你這個截面最大能承受多大的彎矩 現在已經知道材料的曲幅極限σs是240兆帕 首先我們算出來這個截面的整個面積 算出來整個面積是0.0036平方米 然後算出來豎拉曲和豎壓曲的面積 一邊一半除以2 0.0018平方米 然後我們找出來那個等分截面軸或者中性軸 兩邊的面積一樣那個軸在什麼地方找出來 我們找的結果這個中性軸距離下端是90毫米 這個面積和這塊的面積是一樣的 然後下一步求什麼呢 我們求這塊面積的行心位置 求一下這塊面積的行心位置 然後你把這塊面積乘上了陰力 得到這個陰力的合力 豎拉曲或者豎壓曲的陰力合力 再乘以這兩個行心的距離 是不是就有極限彎距了 就有極限彎距 假如下面是A1 上面是A2 我們可以找出來 這是個矩形 行心應該在中間 距離下邊應該是45毫米 那麼上面這塊的行心你們可以算 材料裏就都講了怎麼算 我們就不說了 算出來行心距離上端的距離 行心距離上面的位移距離是0.01167米 那麼就可以得到兩個行心之間的距離是0.0633米 就算出來極限彎距了 27.36千多米 這個截面它所能承受的最大的彎距就是這麼大 不可能比這個再大了 最大就是這麼大 下面我們再給出來這個送用角的概念 在材料力學裏面已經應該給出了 材料力學應該講這個底線分析 達到極限彎距時的曲率我們用u來表示 就是截面上的彎距已經達到了極限彎距了 或者說你的截面上各個點的陰曆都達到了s 截面上各個點的陰曆都達到了s 都屈服了 全都屈服了 那麼這時這個曲率我們要u表示 這個式子我們剛纔已經給出來了 進入彈縮性工作狀態時的彎距和曲率的關係 彎距就是曲率 這個是出於彈性極限彎距的狀態 或者是出於彈性裏面最大時的彎距的時候的曲率 這是彈性極限彎距 那麼如果現在彎距已經達到了極限彎距了 這時取這個u我們代進去 這個值應該是mu 這個應該是u對不對 代進去 對於我們剛纔給的這個例子 這個矩形截面 前面給的矩形截面的話 彈性極限彎距和素形極限彎距的狀態的比值是125 我們代進去 u代替這個 mu代替它 得到這樣一個式子 那麼它的比值是125代進去 正好這個應該等於0的 比值等於0 那就說明這個u 這個值是無窮大對不對 是無窮大 那麼什麼叫曲率無窮大表示什麼含義呢 曲率是無窮大 那麼實際上就是一個殲點了對不對 殲點是曲率是無窮大的 殲點 曲率無窮大 那就是說這個截面 這個截面兩邊的面是可以轉動的 就跟腳一樣 腳一樣 兩杆用腳相連 那麼腳那個地方的曲率就是無窮大 當然這個曲率曲率無窮大就意味着該截面的兩側可以發生相對轉角 可以發生相對轉角 就像這兩個面之間有一個腳相連一樣 我們把這個面可以叫塑形腳 也就是這個面上的陰曆都達到了σs 都屈服了 各點都屈服了 那麼這個面我們就可以看成是一個腳 把兩邊兩個杆連在一起的一個腳叫塑形腳 那麼這個塑形腳和真實的腳是不一樣的 真實的腳是不一樣的 我再解釋一下 假如是個梁 簡直梁 如果你加一個粒 加了以後你隨着粒子增加 那麼它變形也會越來越大 變形會越來越大 腦子也會越來越大 隨着你的和載增加里邊的彎距是不是越來越大 當然你這個和載作用點這個截面的彎距是最大的在這個梁裏邊 如果你這個截面裏邊的彎距達到了μ 隨着你的和載增加 使得這個截面裏邊的彎距已經達到了μ 那麼這時的話這個地方的變形就會變成發生這樣一個變形 就出了一個尖兒這邊 屬於無頭腦了 那麼這個地方就相當於出現了一個腳 這兩個面就可以發生轉動了 叫塑形腳 你真實腳是一種連接方式 那麼它只是在它所連接的兩個面上能不能發生轉動來說 它形似於一個我們的腳鏈 塑形腳 說一下差別 我們真實的腳或者我們連接方式的這種腳約束 它是不能承擔彎距也不能傳遞彎距的 不能承受彎距也不能傳遞彎距 而塑形腳是可以承受彎距的 那麼這個地方是有彎距的 最後的彎距就是μ 這個截面裏面的最大彎距 就是塑形腳裏面是有彎距的 可以承受彎距的 也可以傳遞彎距 彎距的值是μ 而腳的話是沒有的 你看你這個結構如果是一個梁 如果你這有一個腳 那麼如果你這有個力 你這個腳這個地方的話彎距應該是0的 彎距應該是0的 兩邊這截面彎距都是0的 既不能承擔彎距也不能傳遞彎距 而塑形腳的話可以承擔彎距也可以傳遞彎距 塑形腳是單向的 塑形腳是單向腳 那麼在我畫的這種情況下 這個兩個截面只能發生這樣的 下邊分開的這樣一個相對端角 往上不行只能往下開 單向腳 而你這個真實的這個腳的約束的話 這兩個截面既可以這樣的運動 也可以這樣的運動都可以 雙向的 是雙向腳 而塑形腳是一個單向腳 這是第二點不同的 第三 塑形腳的話在卸載的時候可能會消失 或者叫塑形腳會發生閉合 就是你加力了 這個地方呢這個截面達到了MU了 那麼這塊形似的一個角了 這兩個截面之間可以發生相對轉動了 那麼如果你要核載要是 減少 卸載核載要減少 核載減少的話呢 那麼這個腳的話就會閉合 又會進入彈性狀態 就像剛纔畫的這個 一開始屈服了 但是你卸載的話又恢復彈性了 這個腳就會閉合 而這個角約束呢不會的 它永遠是存在的 是不是 這是不同的地方 再一點 這個角呢是位置固定的 你在哪個地方加了角 設置了角這種約束 它永遠存在的 而雙向腳呢不會 它隨着上面的核載的作用的情況 它可能發生在這兒 如果你這個力要在這兒作用的話呢 它有可能發生在這兒對吧 它位置是不固定的 它可能發生在結構的任何位置 是隨着這個核載的變化的 這是關於雙向角的概念 第五個概念 破壞機構 結構之所以坍塌了 在外核載作用下這個機構坍塌了 我們可以看成是 結構呢有一些截面出現了雙向角 隨着你核載增加以後裏邊彎就變大 這個截面裏邊彎就達到了這個截面的那個最大彎距MU 這是呢如果雙向角多了 這個結構呢就變成了一個幾個可變體系的 幾個可變體系的話呢 它就可以發生鋼鐵運動了對吧 我們把這個由於出現雙向角而形成的這個機構 就叫破壞機構 這個破壞機構呢可以是局部的也可以是整體的 我畫兩個看一下 比如這樣一個鋼架 你隨着核載增加 那麼這個地方的彎距呢都比較大 彎距比較大 當這個截面的彎距達到MU了 那麼這個地方就會出現一個雙向角 那麼如果這地方出現了六個雙向角 這出現雙向角 這也出現雙向角 這也是這也是這也是 這杆的上端也是 或者說這幾個截面上的彎距都達到了MU 就可以發生運動了 就是你不再增加它可以繼續運動 那麼這個就是一個機構 不是結構 是個機構 我們把這樣的機構呢就叫破壞機構 這是整體的 整體形成一個破壞機構 還有局部的 你像這個聯繫梁 那麼在覈載增生下 核載增生點這個地方屈服了 達到MU了 假如這個製作的這個截面的話也達到MU了 就會出現兩個雙向角 這塊出現一個 那麼這兩個出現了以後的話呢 你這個變成幾個可變的呢 這就是一個機構 那就是局部出現了這個破壞機構 這都是破壞機構 這是整體的 這是局部的 那麼在處於這種狀態的時候 我們就可以認爲結構破壞了 對不對