【北京大學】《泛函分析》（精品課） P24 - 24. FA24

好,我們開始講啊,時間到了啊 其實講到這樣的話,其實還有另外一個事情要跟大家提一下啊 這還是幾何理財的一個事件 這其實也充分說明瞭TUD這個事情是非常好的一個東西 TUD,這是一個非常好的事情 好,那現在我們來看啊,我們來考慮這樣的一個事情 假設RM中簡字的TUD超曲面 它有一個所謂的支撐函數叫TUD方形 那這個函數其實是怎麼一回事 我們先來解釋一下,這是簡字的TUD超曲面 這什麼意思呢? 這其實就是說是一個嘛,它是RM中它一連為內點的這樣子 我們假設它有內點的一個TUD開集的它的邊界 這其實就是超曲面的這個定義 那當然你要求這個TUD它的邊界要性質比較好 比如說要有相當的觀光性這種事情 好了,那對這樣的一個SIGMA,SIGMA其實就是說一個TUD開集的一個邊界了 這個事情它的,那麼這個TUD呢,我們知道 其實有一個免控性的方法,這個PE 這個,對吧 那這個,因為現在我們沒有假定這個TUD是對稱的 所以這個PE,它是有內點的有界的 所以這其實跟函數是差不多的 所以我們知道這個PE的話 PE,它其實是從這個RM到 啊,然後PE,X等於0 那在通過B2條件時,其實這個X要等於0,對吧 然後PE,X,然後呢,X的話其實要等於,然後PE 這個藍的要大一點 然後這個PE,X加Y,小於等於P,X,E,加上了P,E,這個是這個Y 嗯,好吧 這跟剛才那個差別 這跟凡是差別,其實凡是由我們講實的,它就是對稱性 所以沒有人猜想橘子是對稱的,所以就假的 啊,那現在這個其實並不一定是對稱的 所以這個有質量性的,但它不一定是凡數了 因為你要求要變成絕對準 好吧 但是橘子這個東西跟凡數差不多了 凡數差不多,其實你可以定義一個事情,好吧 比如說XC,XC等於R,R等於N 啊,其實你可以定義一個什麼,你比如說你定義 你沒有關係,你就定義HXC XR,現在我小於等於1,好吧 X內集,好吧 XE,XE,加上XN,XN 這其實就是說,信息發行,這次這個信息發行呢 信息發行其實關於這個,這個你不能看它是凡數吧 其實關於這個凡數呢,它是對的 雖然它不是個凡數,因為它插一個對稱性在裡頭 啊,好吧 是這個啊 這個的話,這個我們就稱為呢 稱為這個,稱為這個 呃,這個SIGMA 當然一般的話,一般叫支撐行動 其實你其實是牽制在這方面 就是你可以把它牽制在單位球上 單位球上這個事情 那我這樣子定義 我是不牽制在單位球上 不牽制在單位球上,那麼其實你可以H的話 H,H當然是大於等於0 然後呢,H,C,如果說1等於0 那麼必要條件是C,1等於0,對吧 跟那個是一樣的,好吧 然後這個H,藍的C,藍的H,C 然後還有一個C1加上C2 小於這個H,C1 這個叫做這個,叫做錯曲面的這個支撐函數 錯曲面,或者叫1,1的這個支撐函數 這個事情為什麼重要,我跟大家說一下 你看,這是個超曲面,對吧 這是個超曲面 這個超曲面,超曲面要用幾個函數來確定 超曲面的話,要用n減一個函數才能確定,對不對 對一般超曲面來說 但是在這個錯的時候 錯的時候,其實我這麼一個函數 就H,H其實它就這個函數 它其實就可以唯一的把這個曲面給定出來 H你可以唯一把它定出來 這個關係是什麼樣子呢 這個關係其實是這樣的 你在E的嘛 E其實就是X的Rm 你現在是R 就是說Rx等於C 要小於這個H,C 你要等於E的這個C 要等於E 這個就是它 然後這個,其實你再喊一個E先號 E先號其實就是C在Rm裏頭 H,C E先號 這兩個相當於相當於對 然後是什麼呢 然後你再看這個事情 你這個E先號 因為這還是個錯極 所以它還有一個自差函數 還有一個自差函數 自差函數其實在這個事情 算了我們 這個是什麼呢 這是 這還是Rm中0為這個內點的錯極 這個東西呢 這個E先號的話 E先號的話 一般在波及格裏頭 E先號 E先號我們稱為 稱為這個E的 這個叫波爾 這個叫極的 這個極的 這個叫E的這個波爾極 然後 這個東西 這個東西波爾極差 然後這個東西波爾極其實又回來了 好吧 所以這其實都跟錯極格裏頭有關 你如果說錯極格的話 錯極格裏頭 那麼這個自差函數其實是逃不掉的 這個自差函數其實是非常重要的 因為我剛才已經說了 在一個錯的這個號取名 其實我一個函數 一個函數 就把這個取名給定出來 所以很多幾何樣 其實都可以用這個函數的一些導數 一些什麼東西來表示 好吧 好這是我們講的 因為這個講到這個地方剛好 因為我們剛好講到函數 講到對額這些東西 你不要說有些問題 它一些問題都簡單些 這裏頭有很多問題根本不簡單的事情 好吧 好這是這個 講這麼多 那下來我們來講這個 我們來講了 下來我們來講這個對額分別是什麼樣子 繼續來講 繼續從這個 對吧這是這個對額 那麼我們以這 X你怎麼X信號 X信號是什麼樣子 我們回答我們這個問題 那麼其實對一般的空間 其實這是一個非常非常麻煩的一個事情 非常麻煩的一個事情 我們會看到這個事情 這非常麻煩的事情 但是我們希望對我們一些常用的空間 比如LP空間 連續航空間 對吧這是最常用的航空空間 看這個對額是什麼樣子 好吧 好那下面今天我們要把下面這個定律給講完 XT大於等於1 小於無窮 T大於等於1小於無窮 然後這個方數這個方數 我們知道U的這個方數的話 LP方數其實就是什麼 就是這個0到1這個地方 這是它對不對 那麼我說X信號 在X信號中 其實我說你可以把它等同LQ好吧 然後在P分之1加上Q分之1 要等於1 那麼我等於這個V 要等於LQ對吧 那麼我說我也該會U對吧 其實 好吧 這就是我這個邊緣的話 我把這個V把它變成FV 就說你 這樣其實我就把這個空間 也就是這個東西的所有的 有些先方 對那麼一個有些先方 我一定承認這個V D在LP LQ裏頭 使得它這個東西其實就是它 好吧 好那下來下來我們分幾步 來證明這個事情 那首先你看這個U對吧 你固定V 固定這個V 在LQ裏頭對吧 那你打了這個 FV 這個U 打FVU對吧 UV這個DX 這管U當然行行了對吧 U當然行行了 當然行行了 但是是不是有界了對不對 所以我們說了FV U這個東西對吧 或者不得是 UVDX啊 所以它這個會小一點 V的LQ 然後這個U的LP方式 對吧 所以說這個什麼 也就是FV 它是關於U的一個有界信息法 所以FV 變解了 變解了我們知道這個FV的這個方式了嗎 其實是小於等於這個D的LQ方式對吧 那 但是其實這是可以取得的 為什麼 那我應該取 V U 我說用這個V的 Q-2 再乘上V 你可以看 D如果說D在LP裏頭 D在LQ裏頭 那麼U U的話 它其實是在LP 啊 你等著 等著 然後你把 你把 這玩意把它帶進去 好不好 我們現在就看實的好了 現在就看實的 如果符的話 你這裏加個公文解釋 好吧 我們就考實的 符的其實是一樣 你把它帶到這裏頭 那麼FV U 那這個其實是零到一對吧 U V的 Q是吧 啊 然後 這個會小於等於什麼 小於等於V的 LQ對不對 然後這個U的 LP 然後你 你 你把這個地方帶進去 啊 這個地方帶進去 然後你就 就 就能得到FV的話 其實 其實是要等於V LQ 好吧 其實 這算 這個 這個應該小於等於F對不對 F的 U的 LP 啊 U的LP 然後你 你把U的LP給它算出來 現在你馬 馬上就 就能得到這個 所以說呢 我們現在 現在得到是什麼 就是說有一個V V到 V到FV 這個是從什麼 這是從L LQ 到X信號的一個 信息範圍 對吧 這個是從LQ到X信號的一個信息範圍 並且它保持這個範圍 這個範圍跟這個範圍是一樣的 所以這是保持範圍的 那下一個點 我們 你要來證明這個定理 所以那下一個點 其實你需要證明 所以下面我們需要證明 需要證明的是什麼 我給的F在L信號裏頭 我要成了這個V 要在LQ 是在 FU 要等於UV 這 這是我們要做的 好 那現在我們分析一下這個事情 假設這個事情對 我們假設 這事情對的話 你的V V應該是什麼樣子 你先把V的形式給找出來 然後再來驗證它是去滿足這個事情 那假設這個事情對 那我就取一條輸入U好了 我得X 比如說我在01裏頭 我就取U U取了就是開 0到X UX 這是一個遠近可乘數 這個當然在LP裏頭了 對吧 這個當然在LP裏頭 那你把它代進去 你把它代進去 所以說你馬上就能知道一個什麼樣的事情 馬上就能知道 這是我的FX FX我是1等於F開0到X 對吧 這是我的定義 我把它代進去 因爲它1等於X 所以我就把這個行字記在這 這個要等什麼 0到1 開0到X 然後這個VX DX DY 我的記號要把它變掉 因爲X是這樣的 那麼所以這個東西對吧 所以取了就是0到X DY 你一旦有這個事情 我現在現在什麼 現在我說V是 要在LQ裏頭對不對 所以那當然V V當然在L1裏頭了 V當然要在L1裏頭 你來看這個事情對 我現在已經知道 這是我們已經知道 已經知道F 我要找個V 我已經知道在L1裏頭 這個事情對 這玩意什麼 這不就是牛頓萊姆尼茲公式成立對不對 這個事情對的話 其實也相當於牛頓萊姆尼茲公式成立對不對 那麼這個 那麼這個其實相當於 這個東西的這個導數了 但是我們知道 我講過一個定理 這個牛頓萊姆尼茲公式要成立 充分必要條件是什麼 充分必要條件是F 這是要絕對連續的 對吧 所以這個事情成立的話 這充分必要條件是 我說F 它是絕對連續的 如果說這是一個絕對連續函數 那麼這個V在L1裏頭就存在 並且這個V其實就是F的導數 這是蛇變函數裏頭 基本的一個定理 對吧 好那下來我們來證明這是絕對連續 什麼叫絕對連續 因為你講函數絕對連續 比較簡單 絕對連續 這其實是一般關於測度的 絕對連續的一個特殊的情況 特殊情況 怎麼叫絕對連續 絕對連續是這樣的 就說你這個 是什麼是這個XI YI對吧 它是互不相交 是這樣的 那你的input input大一點 我都要存在這個delta 對吧 這個嘛 XI減去YI 這個要小input對吧 小一點 I從1到這個N 好吧 互不相交區間 如果這個小一點 你真的說 XI減去F YI 要小一點 這是這個絕對連續 隨便行都叫絕對連續 一個行都絕對連續 你這樣存在的 這是要絕對連續 那下來我們來驗證這個事情 好吧 因為有些那個互不相交 對吧 有些那個互不相交 互不相交 不就是這樣子嗎 那你來算一下 我們來算一下 這個絕對值是什麼 這絕對值對吧 絕對值不就前面加個符號嗎 你如果把這個東西給去掉 對吧 XI減去FYI對吧 嗯 但是這個符號裏面 反正就在1或者-1 對吧 那這個事情是什麼 這個事情 其實就是什麼 F開0XI F對不對 開 在這上頭 0XI 我們講這個XI XI大於YI好了 開XI 然後減去F 開 0這是YI 對吧 然後這是符號 然後你 這其實就是什麼 這其實就是XI 然後 F開 然後這應該 是這個 YIXI 這一定要 一併是開的 然後你把這個符號給它挪進去 F 這符號 然後這開 這YIXI 嗯 然後你把它帶進去好吧 哎呦 我怎麼把這電力給插了 你現在 用什麼 要小一點 這是LP模好吧 我 我把這個寫成U對吧 U在LP模 LP模然後你 這玩意說一下這個絕對值 絕對值的P字方 但是現在 這個絕對值要麼是0要麼是 要麼是1 因為這是符號這是1 所以這玩意說起來 其實這個東西 其實就是F 要麼是0要麼是1 然後你說一下 這個結合 這個結合起來不就趨近常路嗎 因為這個絕對值是等於1 等於1等於零的時候 就不等於零的趨近常路 把它加起來 所以這個其實是什麼 所以那肯定就絕對零去了 你看 等這個要小一點 我這個要小 那這個不關你一看就看出來 這樣就完了 要這個所以你就 這是絕對零去的 絕對零去的 所以V 好了 我們已經把V就找出來了 已經找出 找出這個V 所以說 我把這個重新寫一下 也就是說 我是要乘掉這個V 也就是什麼呢 F 這是F 開0到X 這個其實就是什麼 就是0到E 這個其實就是0到X V 1 這個是乘掉的 現在 我們只知道V是在LE 在LE裏他不一定定在LQ裏 這就下了我們一步一步來證明 這個是在LQ裏的 好吧 有這個事件 我們剛才這個事件 你可以來看這個事件 就是說 那你的F 開 AB 那這個其實就是F 這是什麼 開0到V -F 開0到A Y要等什麼 這其實就是F 開 這個其實就是什麼 這其實就是0到E 開 AB 然後再乘D 1 有這個事件 有了這個事件 你就注意一下有線核 所以 這個事件 因為AB是A的 所以F U 其實就是它 0到E U DY 然後這個U 其實就是有線核 TI AI DI 是這樣的嗎 這在line的這個事件 這也就是什麼 我給它寫一下 我在line的分化 字的分化 0 1等於X0 1小於X1 1等於B 然後我說這個U的話 U X 其實是12等於C 所以你把XI -1的XI 這Y 對吧 這個事件對 然後什麼 對 這樣的還是對 這什麼意思 0到E 相當於接地場 這樣的接地場 對吧 對這個接地場 這個基本對 所以其實你得聯想 你不是U 如果是連續的話 如果是連續 所以你可以找一下這個UK UK是這樣的接地場 上述的 接地場 知道了嗎 UK 它其實是 這是一次策略 對吧 要是連續的話 這樣的接地場 它其實是一次策略 所以你可以來看出來 所以 一次策略 UK 它其實 要策略到U嗎 因為它是一次策略 所以這個UK UK 對吧 所以這個要策略到 但是這個東西 這個東西要等於UK BDX 嗯 然後你再開區域無窮 開區域無窮 現在UK是什麼 現在我們這個V是Lint 但是我在UK UK它的L無窮 L無窮是有界的 因為U連續 它本身是有界的 有界的時候這個L無窮是有界的 所以這個也會 0到1 UVDX 這個什麼 這個東西 它是小於C當V 啊 這個 所以也就是說 這個 那也就是什麼 FU 要等於0到1 UVDX 對U是連續策略 這是策略 啊 U是連續是策略的 連續策略 然後 這零下是策略 那我下的符合嗎 這零下是對的吧 我再說 我說U在L無窮的時間 L無窮啊 那你當然 因為現在我們這個 這個階段有限 那我說 這個東西啊 不單在零下 在L無窮的這玩意也對 啊 那你怎麼樣呢 現在U在L無窮 U在L無窮啊 所以你其實你可以存在 一個UK 這是連續的 啊 並且UK 它的L無窮模式 其實它是要 要小於這個常數 然後 UK 它是要升到U 這是LP 一個L無窮 你總可以 找一串 連續常數 啊 這個總是可以的啊 這個最簡單的做法 其實你就用所謂的軟化 其實不讓C無窮 不讓是連續 其實C無窮都可以做到 不讓是連續 C無窮這個也可以做到 我這是 L無窮才小一點 好吧 這樣子的話 那我們已經知道了 FUK 這個是對 因為現在UK連續的 連續已經是對了 然後我說 這是為什麼對 你來看這個 FUK它是要LP 要升到U 所以這個它會升到FU 因為我們的F是一個有間連續的新方案 連續的新方案 我說 這個會升到 好吧 你看看這個會升到什麼 我說其實F 這個UK 它會升到它 為什麼 這個道理 跟剛才一樣 為什麼 這個UK 這個會小一點 UK的L無窮模 DX 這是第一個 也就是說 空中設定 然後 UK 它是要升到U 它在LP裏 所以這個UK UK它是要升到U 這是 一層路 LP設定 它隱含了一層路設定 一層路 到這個還是在LP 這還是LP 空中設定 好吧 也就是說 那也就是說 我們證明瞭什麼樣的事情 這時候我們證明瞭 FU FU要等於0到1 UDX 這對U 要在L無窮這裏纔是 有在L無窮這裏纔是 好 我們可以證明 B其實是要在 B其實是要在LQ裏 好吧 所以在下面我們也列明 假設 B在L1裏 L1 0到1 U D 是要小於某個C U P 這個是要對 要對U 要在L無窮 LP U 要在L無窮 這個產地 這其實我們剛才已經做了很多事 B 要在 LQ P分之一加它Q分之一 要等於 FU 這是對的 UB 對U U要在LP裏面 就是L無窮 其實它要在LP裏面 好吧 這事情怎麼做 這事情很好做 這事情非常非常好做 好吧 那我們已經知道 B是在 L1裏面 所以我就取 其實我就取 U的話 你就把它取成 VN 然後這個Q-R VN其實是所謂的恰特王數 VNX這個叫恰特王數 這個VX VX 要小於等於N 這個要等於 VX 大於N 這個叫恰特王數 這個當然在L無窮裏面 你把它加進去 加到這裏旁 這其實就是說 0到1 VN的Q-R 這會小於等於C 然後這個U 這個V U U的 LP 然後你 你把這個算出來 U的P 對吧 你要算這個 算這個其實是0到1 然後 VN VN的 Q-E 然後你 你把這玩意給它算出來 好不好 這個東西其實就是Q 所以 這個其實是什麼 0到1 VN的Q-DX 然後你 你把它約掉 這個約掉 VN的Q-DX 小於等於C 所以要等於N 等於N 所以你要拿N去無窮 所以你就拿這個V的話 其實要 V在LQ裏 好了 那你現在 也就是說我現在這個已經在 V在N 在 這地方已經對了 好吧 為什麼 因為我一旦V 一旦V在 那麼現在我們來做這個事 一旦V 這個事 現在我們已經知道V在LQ裏 然後U是L無窮 對吧 或者連下 這個時間對的吧 0到1 UV-DX 其實你就要等於FU 對吧 比如你取一個UK 連起來吧 那個UK 再升到ULP裏頭就是了 那麼你看看 FUK 你這個是這個 0到1這個UK V-DX 然後你 在那裏吧 在這個 K去無窮 所以0到1這個 UK-UV 其實你是要 這個要去連就是了 這個要去連 現在用或者不能是 因為現在已經知道 V在LQ裏 V已經在LQ裏 V在LQ裏你可以用或者不能是 UK-U FUK-DQ 所以這個時間對 ULP 我們這個定律就做完了 好吧 這是 但是你這裏吧 你想想你這個證明的話 上面的證明的話 其實你要用這個條件 其實上面的證明的話 你是要 FU 好,我們今天就講這麼多