【電子科技大學】《電路分析基礎》—國家級精品課程 P35 - 44. 14-4.RLC諧振電路

這一講我們介紹RLC協診電容 這就是一個RLC協診電容 我們先從一個單口往往來看它 我們先看它的一個阻抗特性 這個阻抗特性呢 這樣來表達 還是向量模型 就電阻加上電容的阻抗 我們加起來看一下它阻抗呢 它的默可以這樣表達 此部的平方加虛部的平方再開方 那麼協診的時候呢 實際上就是當這兩個等於0的時候 也就是它的虛部等於0 那麼我們馬上就可以得到一個這樣的結果 就頻率等於這個的時候 那麼這個呢我們馬上就推出來 這是它的一個協診頻率 這個是一個很有名的公式 大家應該清楚 然後我們看一下 把它的圖形畫出來 這是它的默 圖形畫出來的時候 當頻率等於它的時候 這個是它最低點 就等於R 這部分爲0 就等於R 那麼低於它或者高於它 它的阻抗都會增加 只有在這一點它是最低的 那麼這一點呢 我們就把它列爲是一個協診頻率 當然我們也可以從微分方程來考慮這個問題 這個微分方程呢 就是一個二階的微分方程 我們看一下 這個微分方程 我們可以用這樣一個特徵函數來表達 這個是數學上的一個表達方式 這樣一個數學表達方式呢 我們可以對照一個二階系統來對照 這二階系統呢 我們習慣性這樣來表達 這是它的一個協診頻率的平方 就Q分之ω0 這個二階系統不只是對於電路 其他二階系統也是這樣的 那我們就可以看到ω跟它的一個關係 而這個地方Q分之ω0 跟R分之的一個關係 我們看一下 我們得到這樣一個協診頻率 我們看一下品質因素 就這個等於它 實際上我們就可以推出它的一個品質因素 下面我們來看一下 當我們這個協診頻率 就是這個RLC電路 剛好在協診頻率的時候 或者說這樣說 就我們外加一個信號 正弦信號 它的頻率正好是ω0的時候 這個時候呢 我們來分析一下這個電路 有些什麼特點 我們首先看一下 向量模型 這是它的一個向量模型 注意到這個ω0 就不是一個函散 就是一個固定的 就是協診這一點的ω0 我們再看一下 這個時候我們來分析一下 帶進去 它的電流應該等於這個 由於我們協診的時候 滿足這樣的特點 所以這兩項正好抵消 這兩項正好抵消 因此電流就等於什麼 輸入的電壓 輸上一個R 我們看一下 這個時候呢 電阻上的電壓 就正好等於輸入電壓 那麼我們這兩個呢 實際上 兩個加起來相當於短路了 我們看一下 但是每一個電阻上 就是電感上的電壓 它並不短路 我們看一下這個Q 電容上的電壓 它是負的階Q 所以這兩個呢 實際上加起來 正好等於0 而我們向量來表達 可以說得清楚 這電阻上的電壓 電感上的電壓 電容上的電壓 這兩個相加 正好爲0 但是它是Q倍的輸入電壓 我們再看一下 我們如果把它對應到 食慾空間器 剛纔是向量模型 我們回到食慾空間器來看 輸入一個正弦信號 它的頻率ω0 電阻上的電壓 跟它相等 還是它一樣的 電感上的信號呢 就Q倍的這個幅度 那麼cos ωt 加上一個90度 注意了 這個G正好是90度 電容上的電壓呢 負的90度 幅度是一樣的 這兩個正好呢 相差是180度 好了我們看一下 當斜振的時候 實際上呢 這個斜振電路 它有一些很特殊的現象 以什麼樣的特殊現象呢 我們來看一下 就這兩個電壓相加 等於0 它不是說這兩個 在整個正弦信號 相加爲0 而是在任何時間段 任何時間點 都爲0 第二個呢 就是它的功率相加 是爲0的 注意了 這個電感上的功率 它不爲0 電容上的功率也不爲0 但這兩個相加 在任何時候都爲0 下面我們通過 簡單的數學推導 來證明這樣一個現象 我們看一下 這電感上的電壓 我們把它表達出來 可以這樣表達出來 這個是 因爲它加上一個90度 我們用簡單的一個 數學上的一個 三角函數的變化 可以得到這樣一個結果 這個是負的90度 我們得到這樣的結果 我們把這兩個相加 我們來看一下 相加 它正好爲0 正好抵消 都是正弦信號 正弧抵消 我們用圖形來表達一下 看一下 這電感上的電壓 一個正弦信號 電容上的信號 正好是180度 所以說我們再看 在任何時候相加 整個都爲0 因爲這兩個幅度相等 相爲180度 在任何一個時間點相加 它都是爲0的 我們再看功率 功率等於電壓乘電流 不管電感還是電容 都是電壓乘電流 我們再看一下 我們把剛纔得到的結果 帶進去 它的電壓 電流是一樣的 因爲它是串聯的 也就是電感上的電流 也是電阻上的電流 也是電容上的電流 是同一個 帶進去 我們簡單做一個推導 注意到 這是sinΩt cosΩt 這是一個 高中時候就學到的 一個三角變換 2倍的Ωt 同樣 電容上的功率 等於電壓乘電流 我們也可以通過 一個簡單的數學推導 得到這樣一個結果 我們看這兩個相加 也就是在任何時候 它都爲0 任何時候都爲0 所以它的功率是爲0的 好了 我們可以看一下它的能量 我們知道電容和電感 都是儲能元件 它是要儲能量的 只要有電壓 或者電流流過的時候 那麼這個能量 跟什麼相關呢 電容上的能量 只跟它的電壓相關 這個電壓 我們把剛纔的電壓 帶進去它的平方 電感上的儲能量 和電流 只跟它的電流相關 我們把它的電流帶進去 就得到這樣兩個結果 這兩個結果 我們看一下 把這兩個相加 我們看一下 會得到一個什麼現象 電容上的能量 加上電感上的能量 時間 就任意一個時間 在斜振這個時候 我們得到 把剛纔的這個帶進去 1 C U平方 取一個平方 這個是 1 L I平方 取一個平方 我們簡單地 做一個數學推導 就得到這樣一個結果 大家看這兩個 這個L跟這個L 三角 這個L提上來 實際上這兩個模式相等的 注意看 把這個提出來過後 就得到這樣一個結果 就sin的平方 加上一個cos的平方 這個我們從初中就知道 這兩個相加 正好等於1 所以我們得到一個式子 這個式子 跟時間沒有一點關係 也就是說 在任何時候 它的能量 都是一個恆定的值 注意一點 我們要解釋一下 解釋的時候 電感和電容上的能量 相加是一個定值 但是不是說 電容上能量爲0 電感上電量爲0 它們能量是不斷地交換 但是跟外界是沒有交換的 只是說它們內部 不斷地交換 這個交換 是一個恆定的值 同樣我們可以 來證明另外一個問題 什麼問題呢 我們看這個能量 加起來等於它 就我們剛纔看 取一個最大值 就當電感上的能量 全部送到電容上的時候 會得到一個值 然後電容上的能量 全部送到電感上的時候 我們來看一下 就取最大電量的頻率 我們會得到這樣一個值 實際上它把能量 全部送到電感上 那麼電容上的能量就爲0了 實際上它也等於它 同樣我們也可以證明 那也等於電容上的能量 就電容能量 取到最大值的時候 電感上的能量正好爲0 也就是它的電流正好爲0 而LCHA陣電路 是一種非常有用的電路 這種電路呢 在以後的電路當中 會廣泛地應用到 謝謝大家 今天課到此爲止