名師精講【小學數學數論專題】 P10 - 【數論專題】04.1 餘數的性質（知識點）

各位同學 大家好 接下來老師給大家講一個新的知識點 叫餘數的性質 好 那麼餘數的性質還會有哪些呢 首先在這裏面老師介紹三大餘數的性質 我們也叫三大餘數定理 那第一個叫餘數的加法定理 好了 我們來看一下什麼是餘數的加法定理 a與b的和除以c的餘數 等於a與b分別除以c的餘數之和 來 我們再看一下 是a與b的和除以c的餘數 等於a與b分別除以c的餘數之和 或者是和除以c的餘數 啥意思 簡單來說就是 記住這幾個字 和的餘數等於餘數的和 這十個字是最核心的十個字 叫和的餘數等於餘數的和 來 舉個例子給大家講解一下 比如說 23 16是倆數 它們除以5的餘數分別是誰 23除以5是餘3的 16除以5是餘1的 那麼 23和16它的和除以5餘幾呢 和除以5的餘數 就是它們倆分別除以5的餘數之和 那它倆的和除以5的餘數 就是3加1的4 所以說它們的和是39 39除以5的餘數就等於什麼 3加1的4 4就是3加1 就是這麼算出來的 也就是說 我不用算39除以5 我不用把它算出來 我要想算這個餘數 我直接看23除以5餘幾 看16除以5餘幾 把這倆餘數相加就可以了 然後這個餘數相加 你發現是4 好了 還有一種情況 就是當餘數的和比除數大的時候 那餘數等於餘數和再除以c的餘數 比如說同學們看 23 19除以5的餘數分別是什麼 好了 23除以5是餘3的 19除以5是餘4的 好了 那麼它們的和除以5是餘幾的 它們的和除以5 正常來講應該是3加4 應該是餘7的 但是 注意了 這個7比除數5還大了 那應該再做一次除法 什麼時候再做一次除法 就是餘數的和大於除數的時候 餘數的和大於除數的時候 再做一次除法 所以說餘數等於餘數的和再除以c的餘數 所以說我們用7再除以5 餘數爲2 你加在一起42 你看42除5還真的餘 好了 所以說各位 a加b除以c的餘數 就是ab分別除以c的餘數之和 當然如果餘數之和大於c了 餘數之和大於c 那就再做一次除法 用這餘數之和再除以c 得到那個餘數 好了 也就是說 a與b的和除以c的餘數 等於它們分別除以c的餘數之和 或者是用這個和除以c的餘數 是這個意思 來 接下來我們看一看 餘數的減法定理 和剛纔那個和那個很像 你看 a與b的差除以c的餘數 等於ab分別除以c的餘數之差 來總結一下 就是差的餘數 等於餘數的差 差的餘數等於餘數的差 或者餘數之差 來舉例 23 16除以5的餘數分別是3和1 那很明顯 23-16這個差除以5的餘數 那就是3-1 這個餘數的差 來你看23-16的7 7除以5是不是餘2 而這個2正好就是3-1 這個好理解了 但是如果出現你發現沒有 假如現在這個還好 就是你發現3是比1大的 但是如果出現 左邊這個餘數比右邊這個餘數小 出現小減大怎麼辦 好了 當餘數的差不夠減時 補上除數再減 啥意思 舉個例子 比如說 23 14除以5的餘數分別是什麼 分別是3和4 然後這個時候你發現3-4減不了 3-4減不了 那怎麼辦 沒關係 3說了 我減不了你4 沒事 我搬救兵 搬誰 好了 你發現23除以5餘3 我可不可以理解爲 除以5餘的不只是3 我可以理解爲餘的是3加5 餘8可以嗎 是不是可以 我3可以再加一個5過來 餘8是不是也可以理解 就是23 它不只是5的倍數加3 23也可以理解爲5的倍數加8 對不對 好了 我可以給它加個5 變成什麼 變成8 這樣我再用8-4不就可以了嗎 好了 所以說你看 這個差9除以5的餘數是4 而這個4是什麼 是用8-4 3加5-4得到的 所以說如果出現了餘數是小減大 那小的餘數應該加上除數纔可以 給小的餘數 加上除數纔可以 所以3加8 3加5 加上一個除數纔可以 好了 好 還有餘數的乘法定理 乘法定理 好 依然是ab的乘積除以c的餘數 等於ab分別除以c的餘數的積 就是積的餘數 等於餘數的積 然後如果乘積是大於除數的 當然這個比加法還是容易炒 因爲加法餘數的和有的時候是小於除數的 但是餘數的積一般情況下是很容易大於除數的 所以說餘數的積還得 如果大於除數 它還得怎麼着 再做一次除法 比如說你看 還是剛纔例子 23 16除以5 餘什麼 3和1 他們倆的乘積除以5 應該餘誰 餘3乘以1 你看乘積除以5 就餘的是3乘以1得3 但是 如果餘數的積不是和 當餘數的積比除數大時 這個餘數應該等於什麼 餘數的積再做一次除法 比如說23 19 23除以5餘3 19除以5餘4 而3乘4得多少 12 12超過5了 我得用12幹嘛 再做一次除法 12除以5餘2 這個一定要搞清楚 一定要搞清楚 好了 還有大家注意了 如果a與b除以m的餘數相同 a與b除以m的餘數相同 記住 如果a與b除以m的餘數相同 那麼誰與誰除以m餘數相同 注意 這個裏邊其實是兩個 應該是有兩個扣的 讓大家填的 但是其實沒關係 現在在餘左右各填一下 記住了 a的n次方和b的n次方 除以m的餘數相同 啥意思 a的n次方是a乘a 一直乘 多少個 n個 b的n次方 等於b乘b一直乘 多少個b n個 a與b除以m的餘數相同 你看a與b除以m的餘數相同 好了 那n個相乘 那個餘數也應該是 n個餘數應該是相乘的 這邊也是n個餘數相乘的 所以說a的n次方除以m的餘數 應該是a除以m的餘數 乘n次 b的n次方也是 b的n次方除以m的餘數 應該是b除以m的餘數 得到之後乘n次 所以說a的n次方與b的n次方 除以m的餘數是相同的 是相同的 好了 我再說一遍 你看 這個東西除以m的餘數 是每一個a除以m的餘數 再乘在一起 而由於餘數都相同 完了 乘在一起 那就是n個 那說明什麼 對吧 那就是餘數的n次方 餘數的n次方 好了 來 舉例 在1995 1998 2000 2001 2003當中 若其中幾個數的和 被9除以7 將這幾個數歸一組 這樣的數共有多少組 首先我就要 把它們分別除以9 這5個數分別除以9的餘數 分別是什麼 60235 怎麼算出來的 可以這麼算 數字和 你看數字和 你幹嘛 棄9法 把9拿掉 剩一個15 1加5的6 那說明餘數就是6 這個 拿掉 1加8的9 9除以9 餘數爲0 這個數字和是2 餘數爲2 這個數字和是3 這個數字和是5 那麼這個時候 除以9餘7 就意味着 我把裏面若干個餘數相加 除以9餘7 分別有誰 有7 還有誰 7加9 16 對吧 有7有16 或者是再給它加個7 不是再給它加個9 比如說25 但是我發現 6加0加2加3加5是什麼 來 5加3加20 加0是10 加6是16 它們5個的和 加在一起 它就是16 就是7加9 所以說我只需要保證 這5個餘數當中 選若干個加在一起 等 要麼等於7 要麼等於16 那麼看看誰和誰相加的7 2和5相加的7 還有就是2加5加0 相加的7 所以說相加的7的有兩種 相加的16的 那就全算上得16 要麼就把0去了 2536相加的16 要麼就是02536相加的16 所以說一共有幾種 一共有4種 如果選魚2和魚5的 魚2和魚5的 其實第三個和第5個 2000和2003 250 第二個 第三個和第5個 就是98 2000和03 982000和03 然後如果2530 如果是2536 那就把0去了 1998不要了 剩下的 198不要 95200103 要麼就是全算上 98200301和95 這些都給它算上 所以說一共有幾組 4組 依然是看他們每一個除以9的餘數 把那些餘數加在一起 能夠被9除於7 也就是說表面上看說他們的和 被9除於7 實際上是看每一個除以9的餘數 餘數之和 是除以9 餘7的 是餘數之和除以9餘7 和除以9餘7 給和當中的每一個加數都除以9 得到餘數 我讓這些餘數除以9餘7 好 滿足條件4組 好了 那麼關於這個知識點的 關於這個知識點的所有的 我們叫性質 全部講完了 有三個 加法定理 減法定理 還有乘法定理 在下個視頻當中 老師會講解相關的例題 我們下個視頻見