【Mathologer】黎曼悖論：無窮減無窮等於π Riemann's Paradox

今天我想讓你們了解一個我從一位非常著名的數學家那裡學到的絕妙技巧。 如何從無窮大中減去無窮大以精確得到圓周率 π。為此，我將回到這個問題。 這裡有一塊我在我上面這段影片中提到的《辛普森一家》裡找到的黑板 尤其是下面那個無窮級數。好的，所以是 1 減去 1/2 加上 三分之一減去四分之一加上五分之一，如此無限進行下去。一個包含自然對數2的無窮級數。 大約是 0.69。我這裡想做的是某人約 150 年前發現的事。 之前。所以你 juste 看我怎麼做。這有點矛盾。所以我做的就是，我多拿一點 這個我真的很需要整塊板子。所以我們會把每第四個項去掉，然後看看剩下什麼。 的分母為奇數和偶數的項。因此，我們也來將它們分開。現在我們是 我們從左邊開始，把那兩個人放那裡，再把另外兩個人 夥伴們，把他們放進那個空隙裡，把那兩個人放到下一個空隙裡，然後繼續下去 這樣進行下去。顯然，當你這樣做時，你會用盡原本存在的所有項目。 從頭開始，然後把它們重新排列在這裡，並稍微調整一下括號的使用。現在我們將逐步進行 透過括號。所以第一個是這裡，1 減去 1/2 等於 1/2。1/3 減去 1/6 等於 1/6。 就這樣，對吧？所以你可以看出它是如何運作的。這裡有一個很不錯的模式。事情就是這樣發生的。所以 我們剛才只是重新排列了項的順序，並稍微調整了括號的位置，這不應造成任何改變。 關於這件事的總和，對吧？所以如果你把我們現在所擁有的與我們最初的情況進行比較 嗯，我們一開始的那個部分是什麼呢？log 2。但現在我們可以逐項比較。所以是二分之一 1 的一半是 1/2。1/2 的一半是 1/4，1/3 的一半是 1/6，依此類推。因此，你所看到的便是如此。 這個術語是否表示這裡底部的位元總是頂部位元的一半？這意味著什麼 應該真的等於 1 對半乘以 log 2。現在如果你把所有這些東西合起來，你會得到 log 2 是 等於 1/2 的 log 2，這其實等同於說 1 等於 2。 每當你遇到這種情況時，你就會開始擔心。其實，你知道，有兩種 這裡有幾種可能性。第一種是數學出了問題，或是我們犯了錯誤。你怎麼看？ 這裡更有可能的是？嗯，是的，我們犯了一個錯誤。那麼，錯誤在哪裡呢？讓我們仔細看看。 因此有三種不同的身分。這裡、這裡和那裡。其中兩個是正確的，一個是錯誤的。 以上說法並不正確。因此，第一點，我之前已經說過了，請相信我，這兩者是相等的。 記錄 2。那麼底部的內容也是正確的。事實上，這裡的括號，我現在就說一下， 你可以隨意加上括號，怎麼加都無關緊要，這筆算式本身不會有任何改變。 它始終會等於 1 對半 log 2。這是正確的。因此，真正造成混亂的是 我們正在重新排列這些項，因此我們改變了項的順序，這確實 創造出一個與之前不同的總和的無窮級數。基本上當我們在 處理這些無限級數時，與有限級數不同，項的順序至關重要。重新排列 這些條件可能會改變總和。好吧，有些人真的開始擔心了，天啊，數學出問題了 不管怎樣，不，它沒壞。我們 juste 需要適應這情況。我得對這事多加小心。 全部內容。因此我們剛剛看到，我們可以將這個級數重新排列成另一個具有不同總和的級數。 總和。其實有一位著名的數學家，黎曼，伯恩哈德·黎曼，他提出了一個 定理，黎曼重排定理，該定理指出，在這種情況下，對於這個特定的 你可以將這個級數重新排列，使其總和等於你想要的任何數值，例如圓周率π。 而且我將向你展示這是如何做到的，他是如何編造出這些不同金額的。現在你已經 你可能聽過這個名字，目前最受矚目的就是黎曼猜想。 你可以在數學上證明。因此，如果你能做到這一點，永恆的名譽將等待著你。這一切皆關於 黎曼ζ函數。還有黎曼積分，你平時經常使用。以及 數學中有許多以黎曼命名的內容。所以這位先生可說是數學界的超級英雄。通常來說 當涉及到以他命名的這些事物時，要恰當地解釋它們相當困難。 但那個黎曼重排定理，你也可以用我的動畫魔法這樣做。所以讓我們 就去做吧。但在我們這麼做之前，我必須提醒你，這實際上意味著什麼。 這些級數加起來會等於某個特定的數字。好的，我們所做的就是將這個級數轉換成一個 一組數字的序列、部分和、部分和的序列。因此，第一個部分和僅是 第一項是 1。第二個部分和就是將這兩個數加起來，結果是 0.5。 這個案例。接著是第三個部分和、第四個部分和。於是你就得到了這裡的一系列數字。 而在這一數列的情況下，數字的序列收斂於某個特定的數字， 即為 log₂。接著我們說這個級數的和就是這個數字，在此情況下為 log₂。所以那就是 無窮級數的和的定義。因此，這是一個收斂級數的例子。 一個實際具有和的級數，其和為一個有限數。 現在也有許多不會收斂的級數，它們被稱為發散級數。因此對於 例如，如果我將這裡所有的減號都替換成加號，我之前在另一支影片裡已經展示過了。 這會加總為正無窮大。但還有其他類型的發散。例如， 如果我們把這個人帶去那裡，就是 1 減 1 加 1 減 1。這裡的部分和是 1 0 1 0 1 0。 他們不會安靜地專注於任何事物。既非有限，也非無限。這同樣是發散的。因此有所不同。 各種分歧。為了說明這裡的情況，讓我們來看看正面的詞彙。 並將負面詞語分開處理。因此，如果你只是將所有正面詞語相加，實際上會 你會得到無限大。而如果你真的把負數項加起來，你會得到負無限大。 而且，如果你看過其他影片，應該就能自己證明這一點，也許還能…… 在評論中做吧。所以我們真正做的是從無限減去無限。 以受控的方式進行。黎曼重排定理現在我們所說的是，如果 你有一個收斂級數，其正項相加等於無窮大，而負項 如果這些項的總和為負無窮大，那麼你可以將這個級數重新排列成具有不同總和的級數。 任何你想加的數字都可以。那麼，現在讓我用這個特定的級數來演示一下圓周率。 好的，我們想要的是圓周率 π。它是正數，因此我們將從一些正數項開始。所以我們的 我新系列的第一項將是 1，因此第一個部分和也將是 1。 所以部分和我已經列在上面了。嗯，那還不夠。因此我們再加幾個正數 項。讓我們接近圓周率。實際上，我們必須加上相當多的項才能接近圓周率。 我們還在這下面。所以再加一個。讓我們剛好超過。這串項目 我們選擇這作為新系列的開端。所以我們剛剛結束。現在我們將開始使用一些 用來略低於的條件。好吧，其實負二分之一就足夠了。 這樣我們就能降到2.6以下，依此類推。好的，現在我們再往外延伸一次。為此， 我們就用一些正面的詞語。其實我們又需要不少，但我們完全可以 確保我們能夠克服，因為在這個過程的任何階段，所剩下的正面詞語都能幫助我們。 正項加起來會趨向無限大，而剩下的負項加起來也會趨向無限大。 因此，無論我低於目標多遠，或高於目標多遠，我都能始終確保隨時採取行動 足夠的條款來判斷高低。好的，現在我們可以繼續這樣做下去。那麼一個 一個負面的詞語讓我們再次跌落，然後再用一個正面的詞語讓我們重新回升，你就這樣做。 反覆翻轉，最終我們會到達圓周率。我們也可以確定會到達圓周率，因為 這些項本身的數值會越來越小。因此，這意味著我會越過頭 而當我低估時，我會越來越接近圓周率 π。實際上，我可以重新排列這個初始級數 以無限多種方式，不同的方法讓我得到圓周率。我也可以重新排列它，讓我得到無限多個結果。 總計，各種其他事情。所以也許你也想在評論中做這件事，找出 詳細情況如下。至於其他系列，實際上可能會出現什麼都沒有改變的情況。 無論你做什麼，都有許多收斂級數，其正項相加的結果為一個 正數與負數相加後得到一個負數。例如，它可能是， 你知道，2 是正數項，而 -7 是負數項。無論你怎麼樣 重新排列這個數列，總和永遠是 2 減 7 等於負 5。好了，現在有件事 我們實際上正在做的是進行括號標記。所以我們正在進行括號標記。這樣我們就能 像這樣加括號，或者我們可以那樣加括號，又或者乾脆完全不加括號。 而且，實際上，只要我們處理的是收斂的無窮級數，無論是這種類型 無論是哪種類型，無論你如何隨意加上括號，總和都不會改變。 改變了。所以，我的意思是，這多少讓人安心一些。基本上，交換律被打破了，但 對於收斂級數而言，結合律至少不會被搞亂，這相當不錯。但 這裡至少還有一個驚喜。這僅僅是針對收斂級數的情況。因此，如果 你確實會看到一些發散級數，即使加上括號，奇怪的事情仍可能發生。 例如，這個級數，1 減 1 加 1 減 1 的發散級數， 如果你正確地加上括號，實際上會得到一個收斂級數，並具有某個特定的和。而且 事實上，你可以用許多不同的方式加上括號，從而得到不同的總和。 也許這也是給你的另一個謎題，你該如何重新劃分這個結構，才能得到 不同的，不同的總和？嗯，還有許多驚人的事物等待被發現。 第一個基本上是在說，而你實際上可以，用我今天向你展示的方法，做到 實際上自己弄清楚細節，如果我給你一個任意的無限級數，那會是…… 三種不同的情況。因此你可以問，我能夠以多少種不同的總和來重新排列這個東西？所以 第二種情況是，無論我如何重新排列這東西，我都無法得到一個總和。第二種情況是，它 重新排列成所有可能的總和。第三種情況是，無論如何排列，都只有一個總和。 現在，當你考慮複數的無限級數時，情況變得更加奇特。 數字或無限多個向量的級數，你可以在巴拿赫空間以及各種其他空間中進行這類運算。 其他事情。不過也許今天就到這裡為止了。