【Numberphile】0的階乘為甚麼是1？Zero Factorial

今天我們要談論一個我們經常收到的問題。 在數感俱樂部，問題是——哦，布拉迪，問題是什麼？ 問題在於，為什麼零的階乘等於一？ 好吧，為什麼零的階乘等於一呢？讓我們先快速回顧一下 什麼是階乘。對於一個整數，我們選一個數字 n。n 的階乘，即 寫成那樣，n 加上一個感嘆號。這等於——將所有數字相乘 所有小於或等於 n 的整數。它是 n 乘以 n 減一，再乘以 乘以 n 減 2，然後繼續往下乘，最後會乘到 3 乘 兩乘以一。快速範例，我們來算五的階乘。五乘以四乘以三乘以 兩次一，你這樣做，結果是120。好的，我們被問到的問題是什麼 零的階乘是多少？你可以用其中一種方式來回答它，其中之一就是 完成這個模式。讓我們來完成這個模式。特別是這個模式。四的階乘 等於五的階乘除以五。如果你能看出的話，如果我取五的階乘 這裡除以五，表示我可以把那個五去掉，結果剩下四。 階乘。所以五的階乘除以五，或者120除以五，等於24。那就是 四的階乘。三的階乘等於四的階乘除以四。那就是 24 除以四。六，這是三的階乘的答案。二的階乘。三的階乘 除以三。我們剛才算出的六，除以三，等於二。一的階乘。 再做一次。這是二的階乘除以二。二的階乘是二。除以二， 你有兩個除以二，等於一。現在情況開始變得 令人興奮。你感受到那股期待感了嗎？那麼，零的階乘。我們將完成這一部分 模式。零的階乘等於一的階乘除以一。一的階乘等於一。就是一除以 一。而這等於一。因此，零的階乘等於一。你完成了 模式。誰說模式一定要完整？那條規則從哪裡來的？我想它並不存在。 不一定非得是一個完整的模式。不過，它確實是一個完整的模式。讓 讓我換一種方式來解釋。讓我先繼續這個模式。這是否意味著負數？ 下一個數字會是 1 的階乘嗎？讓我們看看會發生什麼。我不確定什麼是 會發生什麼事。我們來試試看。負一的階乘。那麼我應該得到什麼結果？零的階乘除以 零。一除以零。你把數學搞壞了，布雷迪。別這樣做了。另一種解釋方式 零的階乘可能是多少？N的階乘是您能排列N個物件的方式數。 讓我來試著向你展示我的意思。我們拿些物件來看看。我來拿錢包 走了。我拿些硬幣出來。你看，誰說數學家賺不了大錢？ 這裡真的有50便士。我們挑一個銀色的吧。還有三個物件。有多少個 排列三個物件的方法有幾種？總共有六種方法，這就是三的階乘。讓我們來看看 檢查一下它們。這是第一個。這是第二個。或者我們可以選這個。這是第三個。 那是四個。或者，我想起來了，我們前面沒有的那一個。 那就會是五和六。如果我們拿掉一個，現在就剩下兩個物件。有多少種方式 有多少種方法可以排列兩個物件？那是1種。那是2種。拿走一個。還剩多少種方法？ 要排列一個物件？就在那裡。只有一種方法可以做到。排列一個物件只有一種方式。 現在，我們將拿走最後一枚硬幣。這裏開始有點哲學意味了。 我們有零個物件。排列零個物件有多少種方法？只有一種方法可以做到。 就在那裡。你要不要看我再做一次？就在那裡。這有點哲學意味。 但我們說排列零個物件只有一種方式。因此，這個規律依然成立，零。 階乘等於一。僅僅為了進一步延續這個想法， 如果我們在談論階乘，那我們就來畫個圖吧。假設我們有 1、2、 三，四，五。一的階乘是一。二的階乘是二。所以大約在這裡。 三的階乘是六。類似這樣。四的階乘是24。所以那會是 實際上這裡已經相當高了。然後五的階乘也上升得相當快。如果我們將它們連接起來 這些合起來，我也說過零的階乘是1。因此我認為這就是圖形。所以是 理論上，我們應該能夠取得介於之間的值，例如一又二分之一這個數字。 一又二分之一的階乘是多少？數學家們已經研究過這個問題了。 推廣這個概念。還有「一又二分之一階乘」的概念，我們稱之為伽馬函數。 這是希臘字母伽馬。我們稱之為伽馬，而我們書寫的方式，實際上現在這 正變得更加複雜。我們說 Γ(n) 等於從零到 無限多的，我們選個例子，t的n次方減一乘以e的負n次方 dn。有些人可能不熟悉這個。你們中的一些人會熟悉這個。 你們中有些人不會。這是一個更複雜的數學概念。但這與 但它也會提供中間的值。它會繪製這條線。我需要說明一件事。 說來有些意外，但如果我們取一個整數值 n，而 Γ(n) 中的 n 是 整個過程實際上給出的是 n 乘以 (n−1) 的階乘。因此要特別留意這一點。這可能會 抓你個小錯。這有點麻煩。所以，有一個函數能讓你…… 為什麼在整數之間會出現階乘？畢竟你無法排列一個半的物件。 因此這是一種概括，結果發現它在許多方面都非常有用。特別是我在 考慮機率時，你可以將它們用於你在機率中找到的公式。 當你思考連續時間時，不要只是一味地排列 物件與離散機率，你現在開始思考連續事件。 時間是最好的例子。接著，你開始對這些概念進行概括。 因此你需要一個推廣的階乘。九、六和二十。四十四。