BAC MAROC 2024 -11 juin-Examen national Sciences Economiques - Corrigé Ex1 suites

bonjour à tous Aujourd'hui on s'intéresse au bac algérien sujet 2024 section mathématique avec un exercice sur les probabilités on a deux urnes une urne qui contient des cartesurnne 1 il y a C cartes deux cartes numéros T11 une carte numéroté 2 et de cartes numéroté 3 et 3 et ensuite une deuxième urne qui contient six boules donc quatre rouges et deux vert alors le texte donc l'arbre va être assez intéressant parce qu'il clarifie un petit peu la sit on tire au hasard une carte et en fonction du numéro 1 2 ou 3 on a trois situations si on prend le numéro 1 on tire une boule au hasard dans l'urne 2 si on obtient numéro 2 on tire deux boules dans l'urne et si on tire le numéro 3 on tire trois boules dans l'urne 2 d'accord donc ça nous donne cet arbre là parce qu'effectivement quand on prend une seule boule dans l'urne 2 on a soit vert soit rouge d'accord alors l'événement a s'appelle c'est obtenir que des rouges B c'est obtenir que des vertes et des c'est obtenir des boules pas toutes de la même couleur donc si on prend qu'une boule on a effectivement quand on prend qu'une on a soit rouge soit vert donc ça a pas de problème si on prend deux boules on peut avoir deux rouges deux verts ou deux boules de couleurs différentes et si on en prend trois on peut pas prendre trois verts donc on prend soit trois rouges soit trois boules qui ne sont pas toutes de la même couleur voilà maintenant c'est un petit travail sur les probabilités conditionnelles on va remplir l'arbre et on calcule d'une petite espérance on est parti première question de ce suet donc d'abord c'est des calculs de probabilité conditionnelle P2B sachant C2 donc on sait C2 ça veut dire quoi ça veut dire qu'on a obtenu numéro 2 et donc on a tiré simultanément au hasard de boules dans l'urne 2 et on cherche la probabilité dans ce cas-là qu'on est que des boules verte on tire donc de boules simultanément il y a six boules donc nombre de tirag au total c'est donc deux boules parmi 6 de parmi 6 si x 5 sur 2 x ce qui fait 15 maintenant nombre de tirag Al on s'intéresse à l'événement donc b b c'est vert nombre de tirages on va appeler ça des tirages verts c'est qu'on a pris les deux vertes les deux vertes parmi les deux donc il y a un seul tirage conclusion la probabilité de d'avoir deux vertes sachant qu'on a pioché de boule simultanément c'est donc 1/ 15 donc c'est bien ce qu'on nous demandait de montrer maintenant P ded chance C3 C3 c'est donc on a tiré numéro 3 on a on tire siant TR boules donc le nombre de tirage cette fois-ci c'est TR boules sur 6 3 boules sur 6 6 x 5 x 4 sur 3 x 2 x 1 qui fait 6 le 6 se simplifie il me reste 4 x 5 20 intéresse au nombre de tirages bicolor donc on a 20 tirages au total alors on va enlever les tirages qui sont entièrement rouges on vient donc ça veut dire vous avez pris donc trois rouges parmi les quatre voilà et on va enlever aussi les tirages uniquement vert alors vert si on prend trois boules ça peut pas être uniquement vert donc il y a juste 20 - 3 parmi 4 20 3 parmi 4 qui vaut 1 parmi 4 qui vaut 4 ça fait 16 donc la probabilité d'avoir un tirage bicolore sachant qu'on a pris 3 boules c'est donc 20 - 16 - 4 16 sur 20 on simplifie par 5 ça donne 4/5 effectivement on va maintenant euh donc compléter l'arbre il est ici alors tout d'abord les premières tap on prend une carte donc il y a cinq cartesin il y a deux cartes numéro une donc probabilité d'emprunter le chemin C1 c'est 2/ 5 pour C2 il y a qu'une carte numéro 2 donc 1/ 5 et pour C3 c'est donc 2/ 5 remarquez bien que la somme fait 1 ensuite maintenant imaginez vous avez pris donc la carte une donc vous prenez une seule boule une seule boule dans l'urne ici deux donc vous avez le choix soit elle sera verte soit elle sera rouge forcément des tirages monocolores il peut pas avoir de tiragees de couleurs différentes puisquil y a qu'une donc ici on a 4 boules rouges sur 6 4/ 6 ça fait 2/3 et il y a deux boules vertes sur 6 donc ça fait un ti VO ça c'est très simple pour C2 on a déjà calculé une desbranches parce qu'on a P2B sachant C2 qui est un 15e donc ici c'est 1 sur 15 ensuite on va donc aller calculer la probabilité de par exemple a sachant C de au total on avait dit on prenait de boules donc on avait 6 x 5 sur 2 point ça faisait 15 tirages au total donc on divisait par 15 çaére au nombre de tirages ici qui correspond à évén donc rouge ça veut dire que j'ai pris mes deux boules parmi les rouges donc de boules parmi 4 2 parmi 4 alors 2 parmi 4 c'est donc 4 x 3/ 2 x 1 ça fait 6 donc c'est 6 sur 15 alors je ne simplifie pas comme ça on a tout sur 15 mais on pourrait simplifier par 3 qui donnerait donc 2 sur 5 même mettre 2/5e par contre pour le PDD sachant C2 on va utiliser 6/ 155e ensuite là on a 6/ 155e 1/ 155e et ça fait déjà 7 il me reste la somme doit faire 1 ça veut dire qu'ici il me reste 8/5e d'accord hein je réexplique p2d sachant C2 ça fera 1 moins les 6/5 qu'on vient de calculer moins les 1/5e qu'on avait calculé en question he ce qui fait 8/ 15 ensuite la fin est très rapide à remplir parce que p2d sa chance on l'a déjà calculé c'est 4/5 et donc complément vous avez 15 pour la question C on demande de calculer P de a P Deb P de d donc là c'est la formule des probiéés total voyz l'événement a il est découpé en 3 donc pa c'est P2 C1 inter A+ P2 C2 Inter a + P2 C3 Inter a C1 C2 et C3 on voit forme une partition de l'univers donc ici principe des produits le chemin C Inter a il est en haut on va multiplier 2/5 donc par P2A sachant C1 qui fait 2/3 + p2c2 1/5 x P2A sachant C2 25 + P C3 x P de sachant C3 1/5 alors donc j'ai 4/ 15 + 2/ 25 + 2/ 25 al multiple commun on va prendre un 75 parce que 5 x 15 75 donc ici on met tout sur 75 multiplie le premier par 5 ça fait 20 le deè par 3 6 ici par 3 6 ça nous fait 32 sur 75 donc je note et maintenant calcule P de B donc 32/ 75 on procède de même avec P Deb donc P DEC interb ça fait 2/5 X 1/3 et vous remarquez que C3 interb ça c'est vide he parce que quand on a C3 on peut pas avoir des couleurs des tirages ici on peut pas avoir donc de tirage uniquement vert donc on a que deux parties et on a donc ici 15/5 et c'est donc au mieux FO 1/5e on est encore sur 75 donc on a 2/ 15 + 1/ 75 je multiplie le premier pas 5 ce qui me fait 11 10 et 11 11/ 75 donc pb est égal à 11/ 75 donc par somme la somme des 3 donc pour avoir P de d la somme des 3 doit faire 1 donc j'ai 32 et 11 ce qui me fait 43 et pour aller à 75 il me reste donc 32 vous faites donc 75 - 32 - 11 ce qui fait 75 - 43 ce qui fait 32 question 2 calculer la probabilité d'obtenir une carte portant le numéro 3 sachant que les trois boules tiré sont rouges donc ici ce qui nous intéresse c'est donc la probabilité d'avoir donc c TR sachant que on a TR roues donc c'est l'événement P2 C3 sachanty c'est inversé par rapport à notre arbre donc on va utiliser la formule c'est P de l'intersection sur la probité de la condition donc c TR inter donc dans l'AR c'est 25 1/ et P on vient de le calculer 32/ 75 on a donc 2/ 25 sur 32/ 75 donc on multiplie par l'inverse du dénominateur / 32 donc on simplifie ici ça fait 16 ici 75/5 ça fait 3 il me reste 3 16e question 3 on prend on pose donc x une variable alatoire associé au nombre de couleurs obtenu à l'issue de chaque tirage façon il y a que deux couleurs et on a forcément une boule donc il a X il prend deux valeurs donc soit c'est1 soit c'est2 donc quand on va faire évidemmentre l' Produr je vais mettre ça sous forme d'un tableau il y a deux valeurs soit i é= 1 soit ég 2 et donc les probabilités correspondant alors deux couleurs ça veut dire quoi et bien si on remarque c'est l'événement d de couleur donc de couleur c'est 32/ 75 et donc une couleur c'est le complément le complément c'est donc 43 sur 75 pouvez faire la somme d'ailleurs de P de et P de B ça donnera 43 on vous demande ensuite de calculer espérance mathématique donc de la variable 75 grand + 1917 alors il y a plusieurs façons de faire mais le plus simple c'est quand même d'utiliser la linéarité donc on va dire que et bien l'espérance d'une somme c'est la somme des espérances donc vous avez ceci plus l'espérance d'une constante l'espérance d'une constante ben c'est la constante et espérance ici de 75 x x c'est 75 fois l'espérance de X donc on a ceci 1917 on a juste à calculer donc l'espérance de X qui est très simple à calculer il y a deux valeurs donc c'est la somme des pays XI donc 43/ 75 x 1 + 32/ 75 x 2 on est encore sur 75 et on aura 43 + 2 x 32 64 ce qui me fait 107/ 75 donc l'espérance qu'on cherche c'est 75 x 107/ 75 donc les 75 se simplifi plus 19 17 ce qui donne 1917 + 107 pour ceux qui se demandent pourquoi on avait mis cette drôle d'espérance et bien la somme fait 2024 et c'est le sujet 2024 voilà dernière question le nombre de boules rouges dans l'UR maintenant va être changé on met n + 4 donc vous avez votre urne on met n + 4 rouge et toujours de vertes d' d'accord donc on a n + 6 boules dans l'urne et on veut on en prend combien on est P de en C3 donc on tire simultanément on tire simultanément trois boules et on veut que la probabilité de a donc d'avoir en fait a c'est que des rouges soit de 7/ 15 alors déjà nombre de tirag on va faire comme tout à l'heure nombre de tirage au total c'est 3 boules sur N + 6 au total d'accord donc ça c'est N + 6 les TR plus gros donc n + 5 x N + 4 sur 3 x 2 x 1 c'est-à-dire 6 ensuite nombre de tirages entièrement rouge vous avez donc pris vos trois boules parmi les n + 4 rouges donc ça ressemble on aura toujours la division par 6 d'accord et là j'ai n + 4 N + 3n + 2 donc la probabilité de a sachant C3 c'est le quotient he du 2è par le premier alors les les les dénominateurs vont simplifier donc il va me rester n + 4 x N + 3 x N + 2 divisé par N + 6 n + 5 et N + 4 alors qu'est-ce qu'on remarque que le N + 4 ça se simplifie et donc ça ça doit être égal à 7/ 15 en faisant un petit produit en croix on aura 15 fois donc alors le numérateur je le développe n² + 3n + n + 5N + 6 doit être égal à 7 x n² 6 c'est 7 donc 6 + 5 B c'est un 5 ça fait 11n + 5 x 6 30 on développe tout on met tout à gauche hein donc tout ceci alors dn² j'en ai 15 à gauche 7 à droite il me restera 8 ensuite les n 5 x 15 75 et là j'ai 77 donc si je mets tout à gauche 75 - 77 - 2N ensuite 6 x 15 90 à gauche 310 à droite donc 4 210 - 90 ça fait 130 donc quand je ça fait ça fait combien pardon ça fait 120 donc 120 = 0 voilà et là vous avez un discriminant on peut diviser par 2 ça simplifiera un petit peu les calculs 4n² - N - 60 et donc là et bien discriminant ou alors on cherche des racines évidentes enfin les solutions évidentes ente parmi les diviseurs de 60 alors qu'est-ce qu'on peut essayer bon n = 1 ça va pas n = 2 on cherche un antinaturel donc on cherche des positifs pour 2 ça va pas du tout 4 alors 4 Carr 16 x 4 64 - 4 c'est parfait on voit bien que 4 est racine donc ça se factorise par N - 4 et donc ici et bien le deuxème terme ça sera donc 4N et on aura donc moin 15 d'accord ça + 15 voilà é= 0 donc donc ça veut dire que N = 4 ou n é= - 15/4 mais comme n est un anti naturel et bien on va garder donc n réponse N = 4 ça veut dire qu'il faut mettre 8 boules euh donc on rajoute quatre boules H8 boules rouges et deux boules vertes pourir une probabilité de a sachan C 3 é= à 7/ 15 cet exercice qui est très sympa j'ai trouvé et terminé voilà très bientôt