Concours Avenir 2024 - 2025 - sujet 4 mai 2024 - questions 7 suites limites variation

C'est aujourd'hui qu'on couvre venir 2024, le sujet A, la question 7, on est sur des suites numériques avec une suite définie par récurrence, ici, u0, supergré à 0, un plus 1 égal à n2, un plus 2, je rappelle que nous n'avons pas de calculatrice, donc il faut se débrouiller, et vous allez voir que c'est finalement plus simple qu'il paraît si on s'y prend bien. Alors dans les 4 propositions, on peut remarquer ici qu'on a toujours le nombre 2. Encore à chaque fois, l'idée c'est qu'on donne u0 et on en réduit le sens de variation. Alors on ne va pas pouvoir trouver le sens de variation forcément, on est pressé dans ce qu'on couvre à venir, il faut aller très vite, donc là, mon premier conseil, on va prendre des valeurs qui sont dans les intervalles, donc je vais prendre par exemple ici u0 égal à 1, qu'est-ce qu'il se passe ? Alors on va calculer u1, très vite, u1 c'est donc ln de 1 plus 2. D'accord, le problème de 1 plus 2, c'est donc ln de 3. On n'a pas de machine à ce qu'on couvre donc, des petits conseils, c'est bon de connaître quelques valeurs du logarithme. Alors déjà, ln de 2, je vous conseille d'apprendre que c'est à peu près 0.7, d'accord ? Alors ln de 3, ce qu'on sait nous, c'est que ln de 2 est égal à 1, et 3 c'est plus grand qu'e, parce que e, c'est à peu près 2.7. Donc puisque 3 est plus grand qu'e, ln de 3 est plus grand que ln de 1, donc ln de 3 c'est plus grand qu'e. Vous pouvez le retenir, ln de 3, c'est à peu près 1.1. Avec le e comme ça, vous savez que c'est au-dessus de 1. Donc ln de 3 est plus grand qu'e1, ça veut dire qu'ici, u1 est plus grand qu'u0. Donc la suite, elle ne peut pas être décroissante, parce qu'u1 est plus grand qu'u0. Donc ça va éliminer déjà, dans le cas où u0 est entre 0 et 1, elle ne peut pas être décroissante, parce que déjà, vous avez un exemple où elle est décroissante. Donc ça veut dire que B, on a déjà éliminé quelqu'un. Alors je prends une deuxième valeur, par exemple u0 égale, on va prendre 2, dans ce cas-là. Alors u1 vaut ln de 2 plus 2, ln de 2 plus 2, ça fait 4. ln de 4 met 4, c'est 2 au carré, donc ça fait, d'après les propriétés du guide, le 2 peut sortir, ça fait 2 ln de 2, donc grossièrement c'est 1.4. Ça veut dire qu'ici, u0 va être plus grand qu'u1. Donc la suite qu'on cherche, u0 plus grand qu'u1, ça veut dire qu'on ne peut pas avoir une suite croissante. Donc on va éliminer les deux cas où on nous propose croissant, et là on a de la chance, parce qu'on a déjà éliminé 3 cas, il ne nous reste plus qu'un seul cas, c'est le D. Alors on ne va pas vérifier, parce que ça on ne va pas le montrer, ça serait trop long, ça se fait, mais c'est trop long. Et donc ici, forcément, c'est la réponse D. Vous voyez, j'ai juste utilisé 1 u0 égale 2, alors 2 il est dans les 4. Donc il est pratique, puisque ça permet d'éliminer à la fois celui-ci et celui-ci. Après on aurait pu prendre d'autres valeurs, mais vous voyez que les deux, u0 égale 1 et u0 égale 2 suffisent. Donc on a terminé. Donc ça n'a pas pris tant de temps que ça, mais évidemment quand on est un élève, si on n'est pas très entraîné, ça peut prendre du temps, vous voyez, tester les valeurs rapidement. Il faut un peu de culture sur les valeurs approchées, donc un conseil, il n'y a pas dix mille choses à savoir, mais c'est vrai qu'ln de 2 c'est bien, ln de 1 il faut savoir, ln de 3, pourquoi pas, retenir que c'est 1,1. Alors une petite remarque qui me paraît intéressante, si vous avez le temps, restez un petit peu. Ici, on a un plus un, qui est égal à f de un. C'est une suite définie par récurrence, donc à l'aide d'une fonction. La fonction, pour l'expression, a l'n de x plus 2. En dérivant, on trouve sur x plus 2, ça va très vite. La fonction f, elle est strictement croissante. Et pourtant, la suite, vous voyez, quand u0 est plus grande que 2, et pourtant la suite est décroissante. Donc attention, dans les suites définies par récurrence, les variations de f ne sont pas les variations de la suite. Ça, ça marche quand on a une suite définie de façon explicite avec un égal à f de n. Si f est croissante, dans ce cas-là, f croissante implique la suite un croissante, mais pas ici. Donc faites bien attention. Alors, on n'a pas de calculatrice lors de ce concours, mais puisqu'on est là pour réviser, je vais vous montrer un petit peu ce que ça donne, comment on pourrait visualiser à l'aide de la courbe de f les variations de cette suite. C'est y égal à ln de x plus 2. En violet, c'est la première bisectrice, courbe d'équation y égal à x. Alors, regardez ce qu'il se passe. Donc u0, par exemple, en 1.5, en 2. Prenons le en 2. Donc je mets u0 en 2. Qu'est-ce qu'il se passe ? Pour aller chercher u1, je dois aller calculer l'image de u0. Donc je vais arriver ici. Donc u1, vous voyez, je le lis par ici. Et donc, il a formé. Maintenant que j'ai cherché u2, on se place ici, ça c'est notre objectif. À ce point-là, pour coordonner u0 u1. Et si vous avez bien compris les graphiques, ce point qu'il est ici, je m'arrête sur la première bisectrice, il est très particulier. Il a la même ordonnée que celui-ci. Donc son ordonnée c'est u1 et comme il est sur y égal à x, ses coordonnées c'est u1, u1. D'accord ? Donc ça veut dire qu'en bas se trouve u1. Et vous voyez, on voit bien qu'u1 est plus petit qu'u0. Et après, on continue si je veux u2. Je fais la même chose et je vais avoir ce point-là qui m'intéresse. Et donc, une fois qu'on a ce deuxième point, on a une petite première marche d'un escalier qui va se construire et après ça fait ceci, un escalier qui va descendre avec ici progressivement les valeurs u1, u2, u3, etc. Il semble d'ailleurs que la limite soit l'intersection, la piscine de l'intersection. Mais là on a bien cette impression de décroissance de la suite. Alors si on avait placé u0 de l'autre côté, ici par exemple, qu'est-ce qui se serait passé ? Si je mets u0 ici, je vais avoir ce fonctionnement-là. Ici, je vais essayer d'aller vers la droite. Je vais avoir un escalier qui monte là, la suite serait croissante. Dans le premier cas, u0 est entre 0 et 2. On est à cheval sur ces deux zones, vous voyez. Une zone où si on a u0 qui est à droite, on a un escalier qui descend. Ici, on se met juste à gauche de l'intersection, un escalier qui monte. Donc c'est pour ça que le I faut qu'on est à cheval sur les deux zones. Pareil pour le B. Le I et B sont faux parce que ça dépend, non pas, c'est pas par rapport à 2 qu'il faut réfléchir, mais par rapport à l'intersection ici. Et donc, c'est un peu plus compliqué. Et après, quand on se met vraiment bien à droite, on est sur la partie de l'escalier qu'on appelle un escalier décroissant, convergent. Et là, on est sur le terrain du point fixe pour ceux qui l'ont déjà vu en terminale. Puisque c'est 8, on peut montrer que la limite vérifie l égale ln de l plus 2. C'est-à-dire, la valeur l telle que f de l est égale à l seul point fixe de la fonction dont la courbe est orange. J'en dis peut-être beaucoup, donc on va s'arrêter là pour cette question 7. Et pour ceux qui s'intéressent, qui se préparent pour ce concours, il y a la question 8, avec ici une suite un, qui en plus infinitant vient plus infini, et une suite vn un peu compliquée, je vous ai mis ici en groupant l'expression de son terme général. Est-ce qu'elle diverge ? Est-ce qu'elle est constante ? Est-ce qu'elle converge vers e ? Cette suite vn à vous de le trouver.