Teminale Spécialité Maths Dérivées de composées u o v - 6 exemples

bonjour à tous aujourd'hui je vous propose six calculs de dérivé avec composé hein cette fameuse formule donc on voit ici en terminal qui permet de dériver donc les composés al une composée je vais rappeler ce que c'est hein rapidement au travers des six exemples que voici et on va appliquer cette formule en bas je redétaillerai les quatre formules qui vont nous servir aujourd'hui donc la dérivée d'un exponentiel d'une r√ine u de 1/ U et de U puissance N voilà donc on va tout de suite démarrer l'exercice c'est vraiment technique donc on va pas se soucier du domaine de dérivabilité on va vraiment s'attarder à appliquer les formules commence par un exemple très simple qu'on pourrait faire en développant x + 4 au car alors ici où est la composée u de X c'est x + 4 et VX c'est donc x² et si vous mettez et bien U à l'intérieur de V vous obtener V deu de X c'est-à-dire donc ici x + 4 au Carr et on nottera ça Vron uord 2 x donc pour dériver on va appliquer la formule qui est au-dessus donc V ru Prim de X ça va donc être u prime donc je dérive u c'est-à-dire 1 multiplié par V prime que j'applique en U ça c'est le plus difficile au départ donc V c'est x car je vais écrire ça à côté V prime c'est donc 2x donc dans V prime je vais mettre u de X à la place de X donc je vais remettre x + 4 j'aurais donc 2 fois x + 4 ça veut dire que là ma dérivée c'est donc 2 fois ici x + 4 au final ça fait donc 2x + 4 ce qui fait donc ici 2x + 8 al si on avait développé regardez ce que j'obtiens x² plus double produit 8x + 16 et en dérivant j'ai bien 2x + 8 voilà après vous pouvez aussi apprendre la formule cette formule qui permet de dériver tout de suite quand on reconnaî un U car donc u car la formule ça sera donc u Prim FO la dérivée de X2 donc 2x appliquant donc donc on met le 2 devant et vous pouvez prendre 2 U Prim u donc ici quand vous voyez FX = x + 4 tout de suite vous voyez du U Carr avec ici un U de X qui sera x + 4 donc on applique tout de suite he on aura donc 2 fois la dérivée de U donc 2 x 1 x x + 4 voilà donc pour le premier exponentiel de 3x² - 7 ici tout de suite on voit que F x c'est exponentielle de U de X avec U X = à 3x 2 - 7 d'accord donc si j'applique la formule qui est en haut le v C'est exponentiel donc si j'applique la formule u prime c'est la dérivée de 3x2 - 7 donc ça je vais en avoir besoin c'est 6x donc ici je vais trouver 6x ça c'est mon u prime fois la dérivée donc d'exponentiel la dérivée d'exponentiel c'est expon que je vais appliquer en U donc je retrouve ici exponentiel de U x d'accord donc ici ça fait 6x exponentiel 3x2 - 7 alors on peut appliquer aussi la formule exponentiel de qui vient de là ça sera donc u Prim FO exponentiel de vous pouvez la prendre par cœur et l'appliquer donc ici quand vous voyez donc ici fx= exponentiel de 3x- 7 tout de suite vous appliquez la formule U c'est donc 6x et vous recopiez le même exponentiel toujours 3x 7 dans l'exponentiel présent les deux premières n pas de problème de domaine j'aurais pu vous dire elles étai dériva sur R ici on une RAC car donc il faud faire attention une RAC car on peutriver si ce qu' a dedans est strictement positif on va pas étudier ça aussi ici mais c'est bon à signaler donc vous devez voir tout de suite qu'on a une racine carrée de quelque chose donc RAC car U avec U X qui est donc 2 - x 2 là cette fois-ci je vais avoir besoin de la dérivé de racine carrée la dérivée de racine carrée donc si je dérive vous devez connaître par cœur c'est 1/ 2√ car x donc si j'applique la formule qui est en haut F Prim sera donc u prime alors u prime c'est la dérivée de 2- X2 donc 2x voilà ça c'est mon u prime multiplié par alors la dérivée de la racine carrée mais dans laquelle à la place de X je mets u donc j'aurais 1/ 2 √ car u donc de 2 - x 2 ici il se trouve qu'on peut simplifier le 2 qui est en haut et le 2 qui est en bas il va me rester donc - X sur AC car 2 - X2 pour ceux qui aiment les formules on peut apprendre la dérivée d'une racine carrée d'accord qui sera donc u Prim x 1/ 2√ donc j'auraiis 2√ en bas et en haut j'aurais u prime d'accord donc ici ben ça on aurait pu faire comme ça le U prime c'est donc 2x regardez ça aurait donné ça donc u Prim 2x sur 2 √ car u donc de de- x voy qu'on retrouve la même chose apprendre à dériver les inverses cette fois-ci FX c'est 1 sur u X avec U de X qui est 4x 2 + 1 appliquer encore la formule par contre il faut que je connaisse la D sur X donc si je dérive 1/ X c'estriv sur r é donc ici il faut que vousz voir que le dessous soit non nul donc la ça sera instr donc je vais PIR dériver en appliquant la formule donc u Prim ça sera la dérivée de U donc 8x mtip par V Prim donc la dérivée de mon inverse appliqué en 4x2 + 1 voilà on met ça en forme 8x sur 4x² + 1 car les formules la formule qu'on peut en déduire c'est la dérivée de 1/ U qui est écrite en bas on a donc u prime FO moin donc 1/ u car qu'on écrit plutôt u prime sur u car voilà ici petite remarque 4 X2 + 1 c'est toujours différent de 0 c'est plus grand ou égal à 1 donc cette fonction est dérivable sur R un petit peu plus dur on a des composées à l'intérieur duquel on a déjà une composée voyez ici on a donc exponentiel de U de X avec un U X qui est une racine carré de quelque chose donc racine carré d'un autre u je vais mettre un U rond comme ça hein ici avec donc le uron qui vaut - 2x2 + x donc si j'applique la formule exponentiel u c'est donc u prime donc le U prime ici donc il va falloir que je trouve ce u prime là donc il faut d'abord je dérive racine carré de U r√ carée de U on l'a vu c'est donc u prime alors le U Prim rond ici celui-ci voilà vous devvez donc ici hop apprendre à dériver un petit peu en ligne comme ça là on aura donc cette dérivée donc ça va faire la dérivée de ce qu'il y a dedans donc moin 4x div par 2 √ car de - 2x + x c'est-à-dire en simplifiant par 2 - 2x sur √ car de - 2x2 + X et ensuite on va dériver exponentiel u donc on a u prime donc la dérivée de ce qu'il y a dedans donc ce - 2x sur √ car - 2x 2 + x multiplié par le même exponentiel voilà donc pensez bien qu'ici il faut donc dériver cette racine carrée en utilisant directement donc u prime sur 2√u il a une petite simplification par 2 un exemple avec un cube à l'intérieur duquel on a déjà un exponentiel de U voyez donc ici si on doit dériver ça on va le faire directement on a donc la la dérivée d'un cube donc formule du cube ça sera donc hein c'est n u Prim u^iss N- 1 donc 3 fois la dérivée de ce qu'il a dedans fois ce qu'il y a dedans puissance 2 donc déjà je peux recopier ceci par contre maintenant ici je dois dériver ceci qui est un exponentiel u exponentiel u je dois donc dériver X2 + 2 ça fait 2x et je multiplie par l'exponentiel de X2 + 1 + 2 et le + 1 ici en dérivant va donner 0 vous voyez c'est assez rapide il faut s'habituer ce qui fait à la fin 6x exponentiel de X2 + 2 x exponentiel de X2 + 2 + 1 au carré voilà ce petit exercice pour vous apprendre à utiliser les formules et terminer donc vous avez en fait le choix soit vous appliquez toujours la formule générale en vous disant bien à chaque fois qui est le U qui est le V soit vous appliquez les formules celles qu'on va utiliser toute l'année donc exponentielle u r√ u 1 sur u puissance Scine ça gagne en général du temps hein il faut apprendre aussi avec chacune d'entre elles les conditions de dérivabilité hein voilà donc je vous souhaite une bonne fin de journée à bientôt