Seconde-Tableau de signe - Ex1 DS 2024

Bonjour à tous, alors aujourd'hui exercice à destination des élèves de seconde, on est sur les tableaux de signes et voilà un exercice intéressant. Donc il s'agit ici de déterminer les solutions d'équations et d'inéquations à partir d'un tableau de signes. Donc je donne ici donc le signe de a de x et de b de x en fonction de x et x donc en série entre moins infini et plus l'infini. Ce sont des tableaux classiques et on va les utiliser donc pour répondre à diverses questions. Première question, résoudre donc a de x égale 0. Donc regardons les informations dont on dispose sur a de x. On a ceci donc j'oublie pour l'instant b de x. Ici on a des symboles on a un moins, zéro, plus, zéro, moins mais il faut bien comprendre ces symboles. Quand on met un zéro et bien ce zéro ici signifie que bien quand le x qui est au dessus donc quand x est égal à 1 et bien a de x vaut 0. Donc ici quand x est égal à 1 et bien a de x est égal à 0. Autrement dit a évalué en 1 vaut 0. Donc 1 est une solution de a x égale 0. Même chose pour notre x égale 3 puisque pour x égale 3 ici vous avez un 0. Ça signifie que quand x égale à 3 on a aussi a de x qui est égal à 0. Ça veut aussi dire que l'image de 3 par l'expression a et bien c'est 0. Donc il n'y a que deux 0 dans ce tableau. Ça veut dire que l'équation a de x égale 0 n'a que deux solutions et les solutions et bien ce sont les deux nombres qui correspondent à ces deux 0 c'est à dire 1 et 3. Donc les solutions de a de x égale 0 c'est l'ensemble. Et donc j'ai mis des accolades parce que c'est un ensemble, il n'y a que deux solutions. Donc l'ensemble des nombres qui sont 1 et 3. Maintenant l'inéquation P2x ici strictement négative. Ce symbole vous voyez dans ce sens là, ça veut dire strictement inférieur à. C'est strictement inférieur et comme on met 0 on peut dire strictement négatif. Enfin strictement inférieur à 0 ça se dit aussi strictement négatif. Donc il faut aussi comprendre les autres symboles. On avait parlé du 0 et bien le plus veut dire strictement positif, le moins veut dire strictement négatif. Donc quand vous avez ce moins là, ça veut dire qu'ici pour tous les nombres qui sont au-dessus, donc dans la colonne entre 3 plus infini, on a des valeurs de P2x qui sont strictement négatives. Ici ça veut dire que pour x appartenant, alors la colonne attention, le 3 n'est pas compté dans la colonne, en 3 ça vaut 0. Donc pour x entre 3 et plus l'infini, on a bien B2x qui est strictement négatif parce qu'on a un moins. Donc les solutions de notre équation c'est toutes les zones où il y a des moins et il n'y en a qu'une. Donc ça veut dire que la solution c'est l'ensemble de 3 à plus infini. On exclut 3, on exclut aussi plus infini mais ça c'est par convention. On va faire le tableau, le tableau signe de A2x fois B2x. Je connais le signe d'A2x, le signe de B2x en fonction d'X, j'ai déjà les deux d'ailleurs dans un même tableau, il me reste quoi ? On va rajouter une ligne à ce tableau dans lequel on mettra la place A2x multipliée par B2x. C'est un produit. Il faut bien voir les différentes colonnes. Vous avez ici le moins infini à 1, de 1 à 3, et de 3 plus l'infini. Donc ici c'est le produit. Ce tableau signe un produit, vous savez bien faire, ça fait moins fois plus moins. Ici 0 fois plus ça fera 0, il n'y a pas de problème. Quand un des facteurs fait 0, le produit va au 0. Ici les deux facteurs à 0, donc le produit fera 0. Plus fois plus plus, moins fois moins, ça fait plus. On s'intéresse à l'équation, ici, avec un symbole strictement supérieur. Et comme c'est à 0, ça veut dire strictement positif. C'est le symbole ici plus, et uniquement le plus qui m'intéresse. Je ne veux pas que ça fasse 0, donc je ne m'intéresse qu'à ce plus là, et on n'oublie pas le deuxième ici. Donc on a deux zones solution. La zone qui va de 1 à 3, et la zone qui va de 3 à plus l'infini. Et on ne prend pas les bords. Donc ça veut dire que, ici les bornes ne seront pas prises, donc je vais de 1 à 3 sans prendre ni le 1 ni le 3, donc j'ouvre les crochets, union. La deuxième zone qui va de 3 jusqu'à plus l'infini. On a dit qu'on excluait 3 parce qu'en 3 ça fait 0, et je ne veux pas que ça fasse 0, c'est strictement supérieur, et là, par convention, on exclut plus l'infini. Et donc voici l'ensemble de solutions de cette inéquation. Quatrième question, encore une inéquation. Cette fois-ci, il s'agit du quotient A2x sur B2x. Je vais rajouter une ligne à mon tableau, et on est ici sur le signe d'un quotient. Qui dit quotient, dit potentielle valeur interdite. Je rappelle que la division par 0, c'est interdit. Donc ici, on doit faire attention, B2x ne doit pas faire 0. Ici, il va y avoir un problème, parce qu'effectivement, on voit bien que dans le tableau que nous a donné, B2x s'annule en 3. Donc, quand je remplace x par 3, je vais avoir une division par 0, et donc c'est interdit. Ça veut dire qu'ici, il faudra bien faire attention, pour x égale 3, B2x est égale à 0. Donc, A2x sur B2x n'existe pas. Et donc c'est là qu'on met les fameuses doubles barres. Ça veut dire qu'on va indiquer ici, au dessous de 3, au moment de la division, on va mettre ici une double barre. Pour le reste, ici on a toujours, comme pour le produit, le même. Le tableau, d'ailleurs, sera le même que celui du produit, à la différence, juste au niveau de la valeur interdite. Ça veut dire qu'ici, on va faire un nombre négatif, divisé par un nombre positif, ça fera moins. C'est le même signe que le produit. Ici, A2x s'annule, et comme il est au numérateur, quand on a par exemple 0 sur 4, ça, ça fait 0. Donc les valeurs qui annulent le numérateur, ça nous donnera au total, sur le quotient, ça fera 0. Ensuite, plus divisé par plus, ça fait plus. Moins divisé par moins, ça fait plus. Donc vous voyez que les 3 signes, moins, plus, plus, c'est les mêmes que ceux du produit qu'on a à droite. La différence, c'est uniquement au niveau de x égale 3. Donc quand il y a une valeur interdite, on met une double barre. Maintenant, répondons à la question. On veut ici un supérieur ou égal. Supérieur ou égal à 0. Donc ici, on va s'intéresser au plus et au 0. Donc ça veut dire que je vais prendre ce plus, ce 0, ce plus. Alors attention, j'ai utilisé du rouge. Donc ici, ma valeur interdite, on ne peut pas la prendre. C'est interdit, ça ne peut pas être dans l'ensemble solution. Donc ça veut dire que les solutions, ça sera tout ce qui est entre 1 et 3. Et cette fois-ci, on va prendre le 1. Parce qu'en vrai, ça fait 0 et ça nous intéresse. Puisque c'est supérieur ou égal à 0. Et ensuite, on prendra tout ce qui va de 3 à plus infini. Mais on ne prendra pas 3, c'est une valeur interdite. Donc on va écrire 1, 3. Cette fois-ci, je prends le 1. Je ne prends toujours pas le 3, parce qu'il est interdit. C'est une valeur interdite. Interdit de le mettre dans les solutions. Union, la deuxième zone. Donc qui va de 3 à plus l'infini. Et dernière question. Cette fois-ci, a2x et b2x sont au dénominateur. C'est donc le signe d'un quotient. Et on connait le signe de chacun des facteurs qui apparaissent dans ce quotient. Donc 1, c'est toujours positif. Donc le signe de axybx, c'est le même que le signe de 1 sur axyb2x. La différence est qu'il va y avoir cette fois-ci plusieurs valeurs interdites. Parce que quand on divise par a2x, pour x égale 1 et pour x égale 3, ça n'existera pas. Parce qu'on aura encore une division par 0. Donc cette fois-ci, pour x égale 1 et x égale 3, 1 sur a2x fois b2x n'existe pas. A cause des divisions par 0 qui sont interdites. Donc au niveau du signe, on aura toujours nos trois zones. Le signe va être le même que les deux questions précédentes. a2x fois b2x, a2x sur b2x, 1 sur ax fois bx, ça a le même signe. La seule différence va se jouer sur ceux qui annulent le numérateur, qui donneront des 0, et ceux qui annulent le dénumérateur, qui donneront des valeurs interdites. Et ici, dans cet exemple précis, il y en a deux valeurs interdites. Une en 1 et une en 3. Donc on a deux endroits où on a des doubles barres. Pour le reste, la règle des signes va être la même. On aura ici un moins fois plus qui fera moins, plus fois plus qui fera plus, parce qu'en inversant, le signe ne changera pas. Moins fois moins qui fait plus. Et vous voyez que c'est encore ici le même signe. La dernière ligne, c'est moins plus plus. Mais ce qui a changé, ce sont les valeurs interdites et les 0. Cette fois-ci, ce ne sont que des valeurs interdites. Donc quand est-ce que c'est super ou égal à 0 ? On a les deux plus qui nous intéressent. Je vais les mettre en rouge. Mais il n'y a aucun 0 qui m'intéresse. Et les doubles barres, on ne peut pas les prendre. Ce sont des valeurs interdites. Donc ici, on sera encore entre 1 et 3. Mais il faudra exclure le 1 et le 3. Parce que là, cette fois-ci, ce sont deux valeurs interdites. Ensuite, je vais 2, 3, plus infini. Le plus infini est exclu par convention. Et le 3 est exclu parce que c'est encore une valeur interdite. Voilà. On a terminé cet exercice. Vraiment important, vous comprenez bien, l'utilisation qu'on peut faire des tableaux. La différence entre les valeurs interdites et les valeurs qui annulent l'expression. J'espère que ça vous a plu. A très bientôt.