積み木をどこまで横にズラせるか【調和級数の不思議】

はいこんにちは今回は積み木を横にずらす問題の話をしていきたいとおもいます まずこれがどんな問題かお話ししていきましょう
今ここに均質な全く同じ積み木をいくつか準備しています そしてこの積み木をですね少しずつ横にずらしていってどこまでそのズレを伸ばして
いけるかという話です 子供の頃これに近いことをやったことありますよね
実際に家で実験するときには本当はね 均質で全く同じ本とかのがいいんですけど積み木がない場合が多いんでこういった
似たようなサイズの本を準備して横に実際にね ずらしていってみてどこまでずらせるかなーってやってみてほしいんですけど
その時の注意点としてなんか同じ文庫だから 京国夏彦の本を入れてみようとかってやんないでくださいねこれね
全然違う話になっちゃうんで はいというわけでまあそういった積み木みたいなものをですねどんどん横に伸ばしていく話なんです
けども まず答えから言うと実はこれはですねそのズレは無限に伸ばせます
めちゃくちゃ直感に反しますよね 絶対どっかで崩れてしまいそうなのに無限に伸ばせるというんですね
その話を数学的に解説していきたいとおもいます ではまずですね問題を単純にしましょう
2個で考えます つまり
1個この上にもう1個積み木を置くときにどこまで横にずらせるかっていうマックスを 2個だけで考えたいと思います
これはね多くの人が勘でもわかるようにここですよね はいここですこれがどこかというとちょうど9積み木の真ん中に置いてるんですよね
どうしてここでギリギリ倒れないかというとそれは今ここにある積み木 の重心がここだからなんですね
はいこれ重心です 重心物理的にこの重心を下から支えてあげればこの物体は倒れません
なのでその実際にこれ倒れていくときにはここが回転軸になっちゃうんですけど この回転軸のしっかりと真上に通るように重心の位置があれば
この積み木は倒れないというわけなのでこの半分ギリギリいっぱいまで 1個上の積み木を重ねることができるというわけですね
じゃあこれがどれだけはみ出たかっていうのをちょっとファウントしたいんですけど 式の見た目が綺麗になるようにするためだけにですね
この積み木1本分の長さを 2とさせてください別に深い意味はありません
別にこれがね1でも3でも100でもいいんですけども 式のね見た目が綺麗になるように2とさせてください
なのでこれ飛び出ている横のずれ分は1ですね はい半分の1になりますこれが2枚重ねた場合
ではこっちにですね同じように3枚4枚と考えていきましょう では説明していきましょう
まずこの3枚の場合考えたいんですけどそれにはですねコツがあります どう考えるかというと普通積み木を重ねていってずらすって考える時は
どんどん上に積み重ねていくように考えたくなるんですけど 今から話す話を理解しやすくするためにはどんどん下に入れていくと思ってください
下にもうマックスまで伸ばしたこの上に乗せていく段が出来上がっていて そこから下に倒れないようにどんどんどんどんと入れていく
そういうふうに考えましょう つまりこういうことさっき作ったやつってのはもうここにできてます
はいこの状況さえ作っておけばもうこいつは倒れないのでここも保存しておくわけですね その状態で下に差し込んでいきます3枚目を
さてこの時にも大事になるのは重心です 今この上の物体を一つの物体と見てしっかりとその重心の位置をこいつが支えられるかどうか
そのギリギリのラインを見極めてこのズレを考えてみたいと思います 今この一個一個の重心考えるとこの真ん中にいる奴はもちろんここ
この一番上にいる奴ももちろんここ なのでまあ今全く同じ積み木使ってるんで重心っていうのはこの2つのど真ん中
ここになりますね はいこれが今赤で囲われた部分2つの物体一つとしてみた時の重心になります
はいこれを支える位置にこれがギリギリくればいい ギリギリ支えたかったらその位置にこいつがくればいいので長さが何になってるか
っていうとここは1のさらに半分なので2分の1ですね はいつまりこの3枚目この方法でずらせる限界は2分の1になります
では次にこれ出来上がっているものを上にキョイと乗せて 4枚目にこうやって下にスライドさせてどこまでずらせるかを考えてみましょう
そうするとこういうふうに考えます 今このもともと考えていたこいつ
はいこれの重心というのが今ここがこの端がある位置でしたねここでした で今この3枚目に新しく追加したやつの重心がここにあります
で今さっきは全く同じものだったのでど真ん中あったらど真ん中で良かったんです けど次はこの青の方が2倍重いですよね
つまり比で言うと この下の赤のやつが1で上の青いやつが2ですよね
はいなので重心の位置ってのはこの点とこの点のちょうど真ん中ではなくてこの かなりによりになるんですよね
かなりっていうのはもちろん数学的に表現じゃなくて気持ちの話しています どれぐらいにの方によるかというと
1対2の逆が逆比になるんですねつまりこの重い方に重心がよります 今大事なのはこの縦の場所じゃなくて横の場所なのでそこに注目して絵を描い
ちゃうんですけど こういうふうに引っ張った時に2対1になると
はいその位置に重心がきます つまりこういうところ
はいなのでそこまでギリギリいけるんですよね なので今ちょっとこの絵だとややオーバーしてるんで倒れちゃいますね
こいつにもうちょっとこっちに来てもらう はいちょっともうちょっと頑張って支えてもらいました横にちょっとずらして
本当にごくわずかですけどこのごくわずかね実際に大事なんですね積み重ねようと思ったら 分かると思いますがこのごくわずかで倒れる倒れないね
瀬戸際があります はい出来上がりましたというわけで今これ
この4枚目でどれだけ横にずらせたかというとこれが長さがこれ1ですね3ダメージも不詳しいんです けど
3ダメの重心の位置はもちろんど真ん中で端っこと比べたらここからここまでは1あります それのプレイ2対1の場所なのでここの長さは3分の1ですよね
はいこれをどんどんどんどん同じことをやっていくわけです 今ちょっとここでまとめていくと最初のズレが1ここが2分の1
次に3分の1でまた同じように5枚目6枚目7名目 7枚目8枚目決めてやっていくとこれがですねズレが4分の15分の16分の1という
風に分母がですね一つずつ増えていって数としては小さくなっていきます つまりこういうふうなことがいいズレの合計というのは
はい1-2分の1-3分の1-4分の1-5分の1-6分の1-…と続いていくんですけど こうやって分母の数が1個ずつ増えていくような無限に続く
はこれをですね調和級数って言います 実はそこでちょっとネタバレしてるんですね最初に調和級数というと
はいなので今回のタイトルは積み木と調和級数になっているというわけです はいそしてこの調和級数にはよく知られている面白い結果があってですね
実はこれこの級数は正の無限大に発散します こういうふうに書いてしまうことにしましょう
イコールプラスの無限大無限大と書いておきました 実はこれは収束せずに発散してしまうつまり言い方を変えればどこまでもどんどん大きく
なっていったんですねこのまま続けていってもバーッと はいこういう結果があるのでこれ
理論上はあくまで理論上ですけども 理論上はこれはどこまでもこの方法で伸ばし続けられるというわけですね
はいはなかなかで直感に反するんですけどもこれを聞いたらね 確かにそんなことが起きることもあるかなぁと思えるはずです
じゃあどうして実際にうまくいかないのかというとこれはですね本当に実際に横に伸ばして いこうとするとかなりのですね
その感覚をちょっと見てもらいたいんですけど えっとじゃあ実際にこの積み木1個分ずらせるのは積み木何個必要かって話をしたいと思い
ます 今この絵でもわかるようにまだですねこの上に乗っけた分がこれ重なっちゃってるんで
一番下のやつとこの分重なっちゃってるので1個はずれてずらせてないんですね 最初に一番下にある積み木よりも一番上の積み木が完全にかぶらずに離れる
のはいつかという話をしないと思います それのためにはねいわゆる部分は途中までの場を見てあげればいいですね
実際に結果を伝えるとここまでのは 4分の1までのはですねつまりこれ積み木を5枚使った時のずれですもう1個書いた時の
図なので5枚これが約 2.08になります今積み木の長さを仮に2としているので2.08になっている
ことは一番下と一番上はちょっぴりかぶっていない 1枚分もオーバーしてる時なんですね
なので積み木を5枚使えばようやくそこで1枚分のオーバーが生まれると なんかこれでいけそうかなと思うんですけどこの長和急須の特徴として
全然ですね高数が増えていっても数が大きくなっていかないんですよね 実際にこれ2枚分ずれるのはどれぐらい積み木が必要かというと実は2枚分になると
これなんと一気に32枚必要になります なので2枚分ずれたなんか奇跡の写真を撮るためには
まあ理論上でも32枚は必要ということでかなり大変なんですよね というわけなんですけどもこの長和急須の面白さをですね
より伝えるためにこれに似た急須の話をしてみたいんですけど この急須の話しましょう
はい1たす2分の1たす4分の1たす8分の1たす16分の1たす1000点点という風に どんどんどんどん次の方に行くにつれて2分の1枚されていく
これは高校の数学でもすぐに計算ができる すぐに習うものですけどもこの結果はですね
2になります つまりこの急須は2に収束する2分の1のペースで減らしていけばですね
こうやってねゆっくりね その数の減り具合がゆっくりしかいらない場合はゆっくりだけども無限大までいくという
わけなんですね これがまあ長和急須の面白さで実際ですね他のこういった直感に反するような
いわゆるね数学関連のパラドックスと言われるものの中にはこの長和急須が発散する ことをね使ったトリックがたくさんあるのでぜひですね
この長和急須の感覚に慣れていってもらえればなと思います というわけで今回の動画は以上になりますまた別の授業動画でお会いしましょう
さよなら