【張旭講轉學考微積分】台大|107|B 卷| #1

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1 觀看·2024年10月26日
這題非常基礎,主要考一次微分檢驗法、二次微分檢驗法以及反曲點的觀念,特別要注意的是反曲點的觀念,f''(a) = 0 並無法保證 (a,f(a)) 必為反曲點,這是很多學生會搞錯的部分,反例在影片裡有說明
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嗨,我是張學友老師
那我們今天來講臺大轉學考107學運錄B卷裡面的第一部分的第一題
那這個題目非常簡單
如果看到它的話一定要拿分好不好
我們看到底要問什麼
它說F是一個Smooth Function
可以吧,它就是一個非常平滑的函數
那在微積分裡面只要是非常平滑的函數
代表就是說它可以微分無限次這樣子
好,那現在以下有三個選項
那這是多選題嘛
所以你要一個一個判斷到底哪些是對的
好,那我們一個一個來看
首先第一個它說如果有個函數二次微分大於零
在一個區間上面
那這個區間是全部
可以嗎,重點是二次微分大於零
則一次微分怎麼樣
在這個區間上面一定要increasing
這是對還錯的
這當然是對的啊,可以嗎
因為這個二次微分就是一次微分的再微分嘛
就是這一個
好,這個東西就是一次微分的再微分嘛
那任何一個函數
它的微分只要大於零
在那個區間上面
折在那個區間上面就一定是遞增了嘛
這是一次微分檢驗法嘛,對不對
那如果說你在一個區間上面
微分是小於零的
那麼原本的函數就會是遞減了嘛
這個是一次微分檢驗法,可以嗎
好,所以這個是對的
好,再來第二個
如果二次微分大於零
現在變成是二次微分大於零
好,然後呢
現在它變成不是問這個一次微分的
是問沒有微分的
那如果二次微分是大於零
那對於原本的函數會怎麼樣呢
那馬上就要反應
用二次微分檢驗法會怎麼樣
凹口向上
就要concave up
可以吧,所以這後面選項是concave up
那所以這個要怎麼樣,要選對
可以吧
任何一個函數只要可以微分兩次以上的
那麼它只要在一個區間上面
兩次微分大於零
那它在那個區間就會開口向上
如果兩次微分小於零
就會開口向下,可以吧
所以這也是對的
所以這邊主要考的是一次微分檢驗法
跟二次微分檢驗法
那這邊很快幫大家做個統整
很快速的
因為下面這個選項可能不太一樣
好,來
這邊算是解啦
不過我這邊簡單的幫大家做個統整
就是說呢
如果有一個函數
我們現在都是讓它smooth的
可以微分無窮多次的
好,那現在呢
如果現在一次微分是大於零
那現在它在一個區間上面on i
可以吧
那這樣一來的話
它就會遞增on i
可以吧,這是區間這樣子
那如果微分小於零on i
那就可以推的什麼
它是遞減的on i
可以吧,這是基本的概念
一定要有
可以吧,這叫一次微分檢驗法
那麼二次微分檢驗法就是
兩次微分如果大於零on i
那它就會怎樣呢
開口向上
圖形長這樣子
那如果兩次微分小於零
在一個區間上面
那麼它在那個區間上面
這是on i
那它在那個區間上面就開口向下
可以吧,怎麼記呢
來,兩次微分大於零開口向上
兩次微分兩個正號
對吧,因為兩次微分大於零
所以畫個笑臉給它
對不對,兩次微分大於零開口向上
兩次微分小於零
那就畫兩個負號給它
因為兩個小於零嘛
所以開口向下
因為它是一個哭臉
這樣記起來了沒
非常簡單
好,那如果是一次微分怎麼記
也很簡單
因為微分就跟斜率有關
斜率如果大於零
那就是一直遞增
斜率如果小於零
就是一直遞減
就這麼簡單而已
所以這個第一題一定要對
這兩個一定要會,可以吧
好,那最下面這個第三個是對還是錯的呢
來,兩次微分在某一點等於零
好,現在是兩次微分在某一點等於零
請問你
AFA會不會是一個inflection point
inflection point就是反曲點,可以吧
它會不會是一個反曲點
反曲點就必須要長這樣,對吧
這個才叫反曲點
在開口向下跟開口向上的一個交界處
可以嗎
好,這個叫做反曲點
好,那二次微分等於零
那個點會是反曲點嗎
答案不是的
這很多人都會弄錯
其實沒有這個定理
沒有二次微分等於零
它就是反曲點
為什麼
因為有反例好不好
所以來
我們來寫DC
C的錯誤錯在哪裡
來,這個A跟B是正確嘛
對不對
True嘛對不對
為什麼是True
因為它是一次微分減壓法跟二次微分減壓法
好,那C的話錯在哪裡
這個是False
錯在哪裡
錯的原因是因為
譬如說舉例好了
例如
來,Example
對不對
好,我們這邊令呢
F of X
等於X四次
我故意讓它沒有反曲點
可以吧,因為我要創造一個反例
然後而且等一下兩次微分之後
在某個點帶進去會是零
那當我這樣令
你馬上就知道要帶哪個點了
對吧
來,四次
四次長得像什麼樣子
它是偶函數嘛
因為帶正的跟帶負的一樣
都是正的
那它比這個
二次的開口再寬一點
這個就是F of X
Y等於F of X
的圖形
等於X的四次方
可以吧
好,那現在呢
你把它微分一次
把它微分一次之後變成4X三次方
可以吧
再微分一次
是不是變成12X
然後的平方
對吧
好,你看哦
現在我二次微分長這樣子哦
可以嗎
好,那我現在把這個A就帶零
我去觀察這個點
可以吧
就觀察零零這個點
OK,我們把零帶進去
我們F兩次微分帶零
不會是零嘛
對不對
F兩次微分帶零
等於零
But
這個零F零
就是零零這個點了
It's not an inflection point
可以吧
好,所以這個是錯的
因為我們現在得到一個反例了
F of X的X四次方的時候
它雖然在零這個點兩次微分等於零
但是它不是反曲點
因為它在這個點呢
兩邊都是凹口向上
可以吧
所以這是錯的
因此此題選幾
此題要選的是only two
這個纔是對的
可以嗎
B纔是對的
所以這題答案選B
可以吧
所以這個題目呢
拿到之後一定要秒殺
可以嗎
我是因為講解
所以才花了這幾分鐘
不然的話你拿到題目
應該馬上就直接判斷出來答案
第一個一次微分檢驗法
對不對
第二個二次微分檢驗法
對不對
第三個是反例
對吧
這個題目應該在一分鐘之內
就要得到答案
OK
好,那如果你還不熟的同學
一定要趕快回去複習
一次微分檢驗法
二次微分檢驗法
以及反曲點的定義
以及它們的例子
好嗎
那這個題目呢
就為各位講到這邊
等一下我們再來看第二題
