Warum ergibt Minus mal Minus Plus?

Ja, vielleicht überlegen wir uns erst mal, was ist ein Plus mal Plus? Das ist ja easy, oder? Plus mal Plus ist Plus, das ist klar, wissen wir, ne? Plus mal Plus ist Plus. Das ist ja einfach Multiplikation in natürlichen Zahlen. Ich multipliziere zwei natürliche Zahlen miteinander, kommt eine natürliche Zahl raus. Spannender wird es natürlich jetzt, wenn ich mich frage, was ist eigentlich Plus mal Minus? Wie man da drauf kommt? Nehmen wir doch mal das Beispiel, 3 mal Minus 4. Was bedeutet das eigentlich, 3 mal Minus 4? Was bedeutet es, wenn ich sage, 3 mal Minus 4? Michael Kühn, Minus 4 plus Minus 4 plus Minus 4, Nervous Null Second, genau. Ja, ja, genau, Marius, 4 Euro Schulden verdreifachen sich. Ich addiere die Minus 4 mehrfach. Also Multiplikation ist ja die wiederholte Addition. Ich habe also Minus 4 plus Minus 4 plus Minus 4. Da kommt Minus 12 raus. Also kommt Minus raus. Das kann man sich natürlich schön am Zahlenstrahl auch veranschaulichen. Ich mache hier oben mal so einen Zahlenstrahl hin. Nehmen wir mal hier die Null. Und 3 mal Minus 4 heißt, ich addiere jetzt Minus 4 zweimal. Ich addiere also 3 mal die Minus 4. Ne, ich addiere zweimal, aber 3 Minus 4er addiere ich. Das heißt, hier kommt die erste Minus 4. Dann bin ich bei der Minus 4. Die zweite dazu. Dann bin ich bei der Minus 8. Und die dritte dazu. Dann bin ich bei der Minus 12. Fortgesetzte Addition, wiederholte Addition ist die Multiplikation. 3 mal Minus 4 ist gleich Minus 12. Okay. Was ist denn 2 mal Minus 4? Ist klar, ne? Minus 4 plus Minus 4. Jetzt habe ich nur noch 2 davon. Kommt Minus 8 raus. Micha Kühn, genau. Man kann auch eine Folge machen wie vorhin. 3 mal 2, 3 mal 1. Wir machen wieder eine Permanenzreihe. Richtig, genau. 1 mal Minus 4 ist gleich Minus 4. Bei 3 mal Minus 4 bin ich hier 3 mal nach links gehüpft. Bei 2 mal Minus 4 bin ich 2 mal nach links gehüpft. Bei 1 mal Minus 4 bin ich nur einmal gehüpft. 0 mal Minus 4. Okay, da bin ich bei 0. Da bleibe ich bei der 0 stehen. Sieht jemand das Muster? Was passiert hier denn mit den Ergebnissen? Immer Minus 4. Mathematik ist die Wissenschaft von den Mustern und Strukturen. Hier vorne bei dem ersten Faktor wird immer 1 abgezogen. Wenn ich bei dem ersten Faktor 1 abziehe, muss ich am Ergebnis Minus 4 abziehen. Äh, 4 abziehen. Okay. Was passiert jetzt also, wenn ich Minus 1 mal Minus 4 nehme? Hier vorne ziehe ich wieder 1 ab vom ersten Faktor. Was muss hier dann rauskommen? Plus 4. Genau. Entschuldigung, oh, ich habe vorhin Fehler gemacht. Plus 4 natürlich, Entschuldigung. Na, Minus 12, Minus 8, Minus 4, immer Plus 4. Fehler passieren, no problem, oder? Habt ihr gesehen? Ja, Plus 4, genau. Minus 12, Plus 4 ist Minus 8 und so weiter. Das heißt, das Ergebnis wird jetzt wieder um 4 größer. Dann lande ich bei Plus 4. Das ist ein schönes Beispiel, an dem man sieht, Mathematik ist die Wissenschaft von den Mustern und Strukturen. Und wenn ich hier vorne minimal ändere, mit dem ersten Faktor mache ich immer 1 kleiner, dann sollte hier rechts das Ergebnis immer um 4 größer werden. Und es geht natürlich so weiter. Wenn ich jetzt Minus 2 mal Minus 4 mache, dann müsste hinten 8 rauskommen und so. Das heißt, Minus mal Minus ist gleich Plus. Na, in der Aufführung oben haben wir noch einen Fall nicht, Minus mal Plus. Das kann man sich dann überlegen, dass man möchte, dass die Multiplikation kommutativ ist, sagt man. Dass das funktioniert. Das heißt, die beiden Faktoren vertauscht werden können und das Ergebnis bleibt gleich. Gibt es irgendein anschauliches Beispiel für Minus mal Minus ist Plus? Mir ist noch keins begegnet. Das ist schwierig, da kann man sich im Kopf zerbrechen. Es gibt solche didaktischen Erklärungen. Nervous Null Second hat das vorhin erläutert. Also, dass man, wenn man Minus rechnet, nach links schaut auf dem Zahlenstrahl und dann nach rechts schaut. Und dann, wenn die Zahlen negativ oder positiv sind, nach vorne oder nach hinten läuft. Da gibt es solche didaktischen Modelle. Und dann ist klar, man guckt irgendwie nach links und läuft zurückwärts. Und dann läuft man letztendlich nach rechts auf dem Zahlenstrahl oder so. Also da gibt es solche didaktischen Modelle. Ich finde die aber nicht so richtig überzeugend, weil man eine Analogie erfindet, die man nachvollziehen kann. Aber man kann nicht nachvollziehen, warum es dann in der Rechenwelt genauso funktionieren muss. Oh, ich habe mich wieder verschrieben da oben. Dankeschön für den Hinweis. Hier muss ein Minus stehen. Minus. Danke. Das ist überhaupt wichtig. Leute, Fehler in Mathe ist ganz normal. Und selbst als Mathe-Prof macht man Fehler. Ja, meine Güte. Man macht täglich tausend Fehler. Fehler machen ist nicht schlimm. Fehler machen gehört dazu in Mathematik. Und deswegen habe ich jetzt in meinem Hörsaal was eingeführt. Und zwar, wenn meine Studis einen Fehler machen beim Rechnen, dann sollen sie High Five machen mit dem Nachbarn. Sodass wenn wir im Hörsaal sind und die Studis rechnen und irgendjemand macht einen Fehler, hört man dann High Five. Wir wollen den Fehler feiern. Das finde ich richtig geil. Das habe ich neulich in meinem Buch von Joe Bowler gelesen und das fand ich echt gut. Und das will ich jetzt mal einführen. Fehler gibt High Five. Denn wenn man einen Fehler gemacht hat und High Five macht, hat man ja erkannt, dass man einen Fehler gemacht hat. Man ist also schon einen Schritt weiter. Und ist das kein Grund, den Fehler zu feiern? Ich finde schon. Insofern mache ich auch hier Fehler, wir machen Fehler im Stream. Okay, so what? Irgendeiner bemerkt es, ne? Jeden Fehler, den ich hier gemacht habe, hat jemand von euch bemerkt. Also, alles gut? So, jetzt kann man natürlich sagen, okay, vielleicht noch eine Sache mit diesem Permanenzreihen-Argument. Alles schön und gut, das Muster bleibt erhalten, die Struktur bleibt erhalten. Aber ist es denn wirklich sinnvoll? Und das stellt sich natürlich dann heraus, wenn die Rechengesetze auch weiterhin gut funktionieren. Und ich habe euch dafür nochmal ein Beispiel mitgebracht. Also angenommen, wir wollen mal folgendes rechnen. 3 plus minus 3. Ich habe 3 Euro im Portemonnaie und ich gebe 3 Euro aus. Wie viel habe ich dann anschließend? Nix. Okay, genau. 3 plus minus 3 ist gleich 0. Richtig. Jetzt kann ich ja mit solchen Gleichungen sogenannte Äquivalenzumformungen machen. Ich kann beide Seiten mit derselben Zahl multiplizieren, außer 0. Also ich kann beide Seiten mit minus 4 multiplizieren. Das ist jetzt ein sehr formales Argument, aber machen wir mal weiter. Das heißt, auf der linken Seite habe ich jetzt stehen 3 plus minus 3 mal minus 4 ist gleich 0 mal minus 4. Ich habe also beide Seiten, die linke Seite und die rechte Seite, habe ich multipliziert mit minus 4. Und dann gilt die Gleichheit immer noch. Sieht jemand, was ich jetzt machen kann? Wie geht es weiter? Wer hat eine Idee? Alles mal 0 ist 0. Genau, die rechte Seite ist 0 und die linke Seite können wir die Klammern auflösen. Genau, sehr schön. Also rechts steht auf jeden Fall 0. 0 mal minus 4 ist 0. Und links können wir diese Klammer hier ausmultiplizieren. Da steht dann da 3 mal minus 4 plus minus 3 mal minus 4. Also 3 mal minus 4 plus minus 3 mal minus 4 ist gleich 0. Sieht jetzt jemand, warum bei minus 3 mal minus 4 was Positives rauskommen muss? Genau, hier links steht ja jetzt 3 mal minus 4. 3 mal minus 4, wissen wir, ist minus 12. Redet euch, 3 mal minus 4 ist minus 12. Am Ende soll 0 rauskommen. Was muss ich zu minus 12 dazu addieren, damit 0 hinten rauskommt? Na ja, 12. Also muss minus 3 mal minus 4 12 ergeben. Genau, Michael Kühn, das ist natürlich sehr abstrakt. Ein innermathematisches Argument, genau, ein sehr abstraktes Argument. Ich wollte es euch aber nicht vorenthalten, einfach damit ihr seht, man kann sich über solche Permanenzreihen der Fragestellung nähern und schrägstrich oder auch über das Gelten von Rechengesetzen und dass Rechnungen dann auch sinnvoll sind am Ende. Ja, minus mal minus ergibt plus. Astor Maik, als alter Mathelehrer, ich bin begeistert. Oh, vielen herzlichen Dank für das Feedback, das freut mich sehr. Noaskjohn, ist 0 eine positive Zahl? Nein, 0 ist weder positiv noch negativ, aber 0 ist eine gerade Zahl. M. Blomquist, ich finde die sprachliche Erklärung mit der doppelten Verneinung gar nicht schlecht, man muss aber aufpassen, wenn es an Sprachen geht, bei denen die doppelte Verneinung anders funktioniert. Ah, okay, da kenne ich mich gar nicht aus, das ist natürlich auch interessant, können wir auch mal weiter drüber plaudern. Warum ist 0 eine gerade Zahl? Weil sie durch 2 teilbar ist. 0 ist durch 2 teilbar. 0 durch 2 ist 0, kann die 0 durch die 2 teilen. Nein, das hängt auch nicht von der Definition der natürlichen Zahlen ab, 0 durch 3 ist auch 0, ja klar. 0 kann ich durch jede Zahl teilen, außer die 0. Also jede natürliche Zahl ist ein Teiler der 0. 0 durch 2 ist gleich 0, weil 0 mal 2 gleich 0 ist. Ihr erinnert euch, das war vorhin unser Argument gewesen. 0 durch 2 ist 0, weil 0 mal 2 gleich 0 ist. Es gibt also eine Zahl, die an 2 multipliziert 0 ergibt, nämlich die 0, also ist das das Divisionsergebnis. Und eine Zahl, die durch 2 teilbar ist, ist eine gerade Zahl. Ja, schön. Das heißt, wir haben uns heute in TrueMath