Die GeoBase unserer Lehrveranstaltung

Ja, gerade haben wir uns mit der Geobase von Euclid beschäftigt, den euclidischen Axiomen und welche Begriffe Euclid an den Anfang gesetzt hat, also grundlegende Definitionen wie Punkt, Linie, Fläche und solche Konzepte, die er definiert hat. Und ja, das hat natürlich einen gewissen, würde man sagen, historischen Wert und auch schön, dass man sich auch mal einen Blick wagt in die Historie der Mathematik und schaut, was man so früher gedacht hat und womit man sich beschäftigt hat. Aber von den Formulierungen her und von den Konzepten her würde ich sagen, bietet sich für unsere Geometrieveranstaltung eine modernere Fassung einer Geobase an. Und die würde ich gerne jetzt mit euch gemeinsam besprechen. Also für unsere Veranstaltung werden wir einige grundlegende Begriffe und einige grundlegende Axiome und Sätze auch annehmen, die wir nicht weiter hinterfragen, sondern das ist die Grundlage und auf dieser Basis arbeiten wir weiter. Und das stelle ich euch vor und warum mache ich das? Wir werden in der Veranstaltung geometrische Beweise führen und es ist immer die Frage, was darf ich denn da verwenden? Und da muss man gucken, was weiß ich denn eigentlich schon? Und das ist unglaublich schwierig, wenn wir jetzt in der Hochschullehre anfangen mit Beweisen, ohne vorher geklärt zu haben, was die Grundlage ist, dann ist man sich nicht sicher, ja irgendwie habe ich den Satz des Pythagoras jetzt schon oder habe ich nicht oder habe ich die Konkurrenzsätze am Dreieck schon oder habe ich sie nicht? Weiß ich, was eine Mittelsenkrechte ist oder weiß ich es nicht und so weiter. Und dann kommt man ins Schwummern und dann besteht die Gefahr, dass man irgendwelche Zirkelschlüsse macht, also dass man Dinge beweist mit Aussagen, die man eigentlich noch nicht bewiesen hat oder die man gerade beweisen sollte und so weiter. Also da muss man ein bisschen aufpassen. Deswegen habe ich mir gedacht, es ist ganz gut, wenn wir am Anfang mal das klären. Was setzt man denn voraus und dann können wir da immer reinschauen, wenn wir was beweisen. Guten Morgen, Strawberry later. Und ja, das habe ich jetzt mal zusammengeschrieben und das schauen wir uns mal an. Und das ist die Grundlage für die Beweise. Und anschließend machen wir heute auch noch zwei geometrische Beweise, um zu zeigen, wie verwenden wir diese Geobase. Okay, jetzt gucken wir mal unsere Geobase an. So, unsere Geobase, das ist die Grundlage für unsere Geometrieveranstaltung und wir haben hier oben erstmal Grundbegriff. Ich habe ja gesagt, wir brauchen immer Begriffe, wir definieren andere Begriffe, deren Ausgangsbasis wiederum andere Begriffe sind und so weiter. Und am Anfang haben wir aber Grundbegriffe, von denen wir jetzt annehmen, die gibt es halt. Und erstens legen wir mal fest, Ausgangspunkt ist eine nicht leere Menge, e die Ebene genannt wird. Also wir haben eine Menge, wir gehen also wieder darum zurück auf den Mengenbegriff, den wir voraussetzen. Wir haben eine Menge, die Ebene genannt wird und die ist nicht leere. Und die Elemente der Ebene nennen wir Punkte. Wir bezeichnen sie mit Großbuchstaben a, b, c und so weiter. Also Grundlage unserer Geometrie ist die Ebene, die eine Menge ist von Punkten. Und wir stellen sie uns natürlich so vor, wie wir uns die Ebenen mit Punkten vorstellen. Aber eigentlich sagen wir hier gar nichts über die Anschauung. Das könnte auch irgendwas sein, Ebenen und Punkte. Wir stellen uns halt die Ebene vor, so wie sie uns aus unserer Erfahrung intuitiv klar ist, mit den Punkten als Elementen der Ebene. Und drittens, es gibt noch eine weitere nicht leere Menge, g, deren Elemente Geraden genannt werden. Diese werden mit Kleinbuchstaben bezeichnet, g, h, i und so weiter. Also die Grundbegriffe sind, wir haben die Ebene, deren Elemente Punkte sind und wir haben eine nicht leere Menge, g, mit Geraden. Wir sagen nicht, was Geraden sind und so weiter. Wir stellen uns die natürlich vor als Geraden, so wie wir sie uns vorstellen, als unendlich lange Linien, so wie Euclid sagen würde. Gerade Linien. Aber das ist hier gar nicht gefordert. Es könnte auch irgendwas anderes sein. Okay, das sind unsere Grundbegriffe. Ebene besteht aus Punkten und die Menge der Geraden. Und jetzt bringen wir diese beiden Konzepte, Punkte und Geraden, zusammen. Und das macht man über die sogenannten Inzidenzaxiome. Das erste Axiom, Inzidenzaxiom 0, besagt, Geraden sind Punktmengen. Aha. Zum ersten Mal werden jetzt Geraden und Punkte zusammengebracht. Oben bei der Definition waren das noch zwei getrennte Konzepte. Und jetzt, durch das erste Inzidenzaxiom und durch das 0, könnte man sagen, Geraden sind Punktmengen. Also auch Geraden sind Mengen. Man könnte also sagen, die Menge der Geraden ist eine Menge von Mengen, weil nämlich jede Gerade ihrerseits wiederum eine Menge ist, und zwar eine Menge von Punkten. Damit werden die Geraden zu Teilmengen der Ebene. Die Punkte sind ja die Elemente der Ebene. Wir haben eine Ebene und die Elemente. Die Ebene ist eine Menge. Und die Elemente in der Menge heißen Punkte. Und die Geraden sind jetzt auch Punktmengen. Das heißt, die Geraden sind Teilmengen der Ebene. Mengen theoretisch betrachtet. Wenn ihr Fragen habt, einfach in den Chat reinschreiben. Dafür ist der Chat da. Ich stelle jetzt heute ein bisschen was vor. Aber ihr könnt ja gerne rückfragen oder diskutieren oder kritisieren. Vielleicht mache ich auch mal einen Fehler. Passt mal gut auf. Das zweite Axiom, das Axiom I, Inzidenz Axiom I, besagt, zu zwei beliebigen verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die die beiden Punkte enthält. Also auch hier wieder eine Mengen-theoretische Formulierung. Die Gerade enthält ja Punkte. Ich habe also zwei verschiedene Punkte der Ebene. Angenommen, mein Tablet hier ist die Ebene. Dann habe ich hier zum Beispiel diese beiden Punkte. Und zu diesen beiden Punkten gibt es genau eine Gerade, die diese beiden Punkte enthält. Und zu diesen beiden Punkten hier gibt es auch genau eine Gerade, die diese beiden Punkte enthält. So, das zweite Inzidenz Axiom. Zu jeder Geraden gibt es wenigstens zwei Punkte, die dieser Geraden angehören. Das heißt, es ist nicht nur so, dass wenn ich zwei Punkte habe, dann automatisch eine Gerade festgelegt ist, sondern auch andersrum. Wenn ich eine Gerade habe, dann besteht die mal aus mindestens zwei Punkten. Hier wird gerade im Chat gefragt, warum ist Axiom 0 als Axiom definiert und nicht als Begriff, wie dies bei der Ebene der Fall ist. Weil hier kein neuer Begriff eingeführt wird. Unter den Begriffsdefinitionen oben wird ja der Begriff Ebene eingeführt, der Begriff Punkt und der Begriff Gerade. Und hier haben wir jetzt die bereits eingeführten Begriffe Gerade und Punkte und die werden jetzt durch das Axiom im Zusammenhang gebracht. Wir definieren aber keinen neuen Begriff, also kein Wort, das es vorher noch nicht gab. Jetzt definieren wir uns zwischendrin mal kurz was, nämlich den Begriff Kolinear. Eine Menge von Punkten heißt kolinear, wenn es eine Gerade gibt, die alle Punkte der Menge enthält. Also diese Punkte hier sind kolinear, weil es eine Gerade gibt, die alle Punkte enthält. Wenn wir ein Gegenbeispiel, die drei grünen Punkte sind nicht kolinear, weil es gibt keine Gerade, die die drei Punkte enthält. Okay, und mit dem Begriff können wir jetzt noch ein drittes Inzidenzaxiom formulieren. Es gibt wenigstens drei Punkte, die nicht kolinear sind. Das heißt, in unserer Ebene gibt es mindestens drei Punkte, die nicht kolinear sind. Ansonsten könnte man sich vorstellen, dass die Ebene vielleicht nur aus einer Dimension besteht. Wir fordern das, damit wir zumindest mal tatsächlich auch die Ebene aufspannen, so wie wir uns das vorstellen. Ah, man hätte ja schon in der Begriffsdefinition sagen können, dass Gerade Punktmengen sind, wurde ja bei der Ebene auch gemacht. Ja, da hast du recht. Ja, also wir haben halt in den Begriffsdefinitionen oben zunächst mal gesagt, wir haben eine Ebene und eine Ebene ist eine Menge. Und die Elemente da drin heißen Punkt. Das brauchte man sozusagen überhaupt, um den Begriff Punkt zu definieren, musste man sagen, das sind die Elemente der Ebene. Also wir haben sozusagen für die Begriffsdefinition Punkt den Begriff Ebene verwendet. Für den Begriff Gerade brauchte man das aber nicht unbedingt dann auch nochmal zusätzlich zu sagen, sondern, ja, aber vielleicht hätte man das auch als Alternative machen können, ja. Also ich bin bei dir, hätte man vielleicht auch oben gleich sagen können, die Geraden sind auch Punktmengen. Okay. Aber vielleicht gibt es da auch noch andere Positionen, also gerne dann auch kommentieren. Gut, also das sind die Inzidenzaxome, die jetzt Punkte und Geraden miteinander in Verbindung bringen, oder die beiden Mengen, die oben definiert wurden, getrennt voneinander, Ebene und Geraden. Geraden sind Punktmengen. Zu zwei verschiedenen Punkten gibt es genau eine Gerade, die beide Punkte enthält. Jede Gerade hat mindestens mal zwei Punkte. Und es gibt wenigstens drei Punkte, die nicht kollinear sind, das heißt, die nicht auf einer Gerade liegen. Okay. Was wir auch noch brauchen, ist den Begriff des Abstands. Abstände brauchen wir auch und jetzt kann man da ganze Vorlesungen drüber machen, machen wir aber nicht, sondern in unserer Geometrieveranstaltung setzen wir voraus den Begriff des Abstands. Und da verwendet man in der Regel die Axiome, die man benutzt, um sogenannte Metriken zu definieren. Aber ich habe es jetzt hier nochmal Abstandsaxome genannt. Und zwar, da gibt es das erste Abstandsaxom. Zu je zwei Punkten a und b gibt es eine eindeutig bestimmte, nicht negative, reelle Zahl d. Also ich habe zwei Punkte a und b. a und b, zwei Punkte a und b. Und zu diesen beiden Punkten gibt es eine eindeutig bestimmte, nicht negative, reelle Zahl d, der Abstand der beiden Punkte. Das sag ich dann auch zweitens, die Definition Abstand, die Zahl d heißt Abstand von a und b. Und d ist gleich 0, genau dann, wenn a gleich b ist. Also wenn die beiden Punkte identisch sind, ist d gleich 0. Bedeutet, wir wollen, dass der Abstand 0 ist, wenn die beiden Punkte gleich sind. Die haben dann eben den Abstand 0. Außerdem soll gelten für den Abstand, für zwei beliebige Punkte a und b gilt, der Abstand von a zu b ist derselbe wie der Abstand von b zu a. Also das Ganze ist symmetrisch, könnte man sagen. Wenn ich von a nach b laufe, hat es den gleichen Abstand, wenn ich von b nach a laufe. Okay. Und das dritte Axiom, die sogenannte Dreiecksungleichung für drei beliebige Punkte a, b und c gilt, dass der Abstand von a, b und der Abstand von b, c addiert, immer größer gleich ist als der Abstand von a, c. Also ich habe drei Punkte, a, b und c. Und jetzt ist der Abstand von a, b, ist ja die Länge dieser Strecke, plus der Abstand zu b, c. Die Länge dieser Strecke ist größer gleich als der direkte Weg von a nach c. Also wenn ich einen Umweg über b laufe, dann ist der Weg länger, als wenn ich direkt von a nach c laufe. b könnte allerdings auch im Extremfall hier auf der direkten Verbindungslinie von a und c liegen. Und dann ist natürlich der Abstand von a, b plus der Abstand von b, c gleich dem Abstand von b, c. Also im Extremfall sind die Abstände gleich. In der Regel könnte man sagen, liegt aber, wenn b außerhalb liegt von a, c, dann ist eben tatsächlich auch der Umweg länger als der direkte Weg. Okay. Außerdem setzen wir intuitive Definitionen der Begriffe Strecke, Halbgerade und Winkel voraus. Das werden wir uns jetzt auch nicht näher anschauen. Könnte man definieren, machen wir aber nicht. Da braucht man umständliche Relationen zwischen z.B. Machen wir nicht, sondern definieren wir mal ganz kurz oder schauen wir uns mal ganz kurz an, was bedeutet Gerade, Strecke und Halbgerade. Also eine Gerade ist die unendlich lang gedachte gerade Linie. Eine Halbgerade beginnt an einem Punkt und ist unendlich fortgesetzt in nur eine Richtung. Und eine Strecke ist eine Gerade Linie, die von zwei Punkten begrenzt wird. Also eine endliche Gerade Linie. Kann man sich jetzt auch definieren, dass eine Halbgerade eine Teilmenge einer Gerade ist, eine Strecke ist eine Teilmenge einer Gerade. Da muss man etwas über die Relation der Punkte sagen. Könnte man machen, lassen wir, sondern wir setzen diese Begriffe einfach voraus. In meiner Veranstaltung machen wir es jetzt nicht so mega streng. Das ist ja auch eine einführende Geometrieveranstaltung. Wir wollen auch ein bisschen weiter kommen in dem Semester, als nur die grundlegenden geometrischen Begriffe zu definieren. Also insofern setzen wir das voraus. Und Winkel setzen wir auch voraus. Ein Winkel wird hier von zwei, könnte man sagen, Halbgeraden aufgespannt. Oder auch von zwei Geraden natürlich, aber nehmen wir mal Halbgeraden, die ja denselben Anfangspunkt haben. Und Winkel bezeichnen wir immer oder messen wir auch immer entgegen dem Uhrzeigersinn. Mathematisch gesehen ist die Orientierung, die grundlegende Orientierung eines Winkels, ist gegen den Uhrzeigersinn. Das heißt, ich beginne bei einem Schenkel und gehe gegen den Uhrzeigersinn bis zum anderen Schenkel. Und die Fläche, die da überschritten wird, überspannt wird, das ist der Winkel. Und der hat eine bestimmte Größe, Winkelgröße, die man eben misst. Der Vollwinkel hat 360 Grad, kennt ihr alles. Okay, wir sind noch nicht ganz fertig mit unserer Geobase, es geht noch weiter. Jetzt habe ich hier noch Winkelzeugs definiert. Und zwar ein Axiom, das wir voraussetzen ist, Nebenwinkel ergänzen sich zu 180 Grad. Also jetzt definieren wir mal, was ist das denn mit der Winkelmessung. Was ist ein Nebenwinkel? Ich habe zwei Geraden, die sich schneiden. Und dann sind auf derselben Seite einer Geraden die beiden Winkel, die hier gebildet werden, Nebenwinkel. Und die zusammen haben 180 Grad. Alpha plus Beta gleich 180 Grad. Nebenwinkel ergänzen sich zu 180 Grad. Das setzen wir voraus. Und was man beweisen könnte, was wir aber nicht machen, deswegen habe ich den Satz 2 genannt, Stufenwinkel sind gleich groß. Auch das setzen wir voraus. Was sind Stufenwinkel? Ich habe zwei parallele Geraden. Zwei parallele Geraden, die von einer dritten Gerade geschnitten werden. Und dann sind die Winkel, die einander sozusagen entsprechen an den beiden Geraden, Stufenwinkel. Also beispielsweise diese beiden Winkel sind Stufenwinkel. Oder diese beiden Winkel sind Stufenwinkel. Und diese beiden Winkel sind Stufenwinkel. Und die sind gleich groß. Gut, das setzen wir auch voraus, das Winkelzeugs. Also Nebenwinkel ergänzen sich zu 180 Grad und Stufenwinkel sind gleich groß. Und was wir dann beweisen können, sind Aussagen über Scheitelwinkel und Wechselwinkel. Okay. Und der letzte Bereich, den wir voraussetzen, sind die Konkurrenzsetze am Dreieck. Setze sind das auch wiederum, sind keine Axiome, die kann man beweisen. Machen wir aber nicht, das machen wir bei uns im Master. Beweisen wir die Konkurrenzsetze mit Hilfe von Konkurrenzabbildungen, die wir sehr ausführlich einführen werden. Hier setzen wir sie voraus, das heißt Konkurrenzsetze am Dreieck gelten. Und da gibt es diese vier. Der erste Konkurrenzsatz besagt, zwei Dreiecke sind konkurrent, wenn sie in der Länge aller drei Seiten übereinstimmen. Also wenn ich ein Dreieck habe mit den Seitenlängen a, b und c und ich habe noch ein Dreieck mit den selben Seitenlängen a, b und c, dann sind die beiden Dreiecke konkurrent. Das heißt, die kann ich übereinander legen und sie überlappen mich und so weiter, sie sind deckungsgleich. Zwei Dreiecke sind außerdem konkurrent, das kennt ihr aus der Schule, deswegen gehe ich jetzt noch schnell ein bisschen rüber. Zwei Dreiecke sind auch konkurrent, wenn sie in der Länge zweier Seiten und in der Größe des von beiden Seiten eingeschlossenen Winkels übereinstimmen. Also ich habe zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel. Jetzt habe ich noch ein anderes Dreieck, das hat auch dieselben zwei Seiten und denselben Winkel, der von diesen beiden Seiten eingeschlossen wird und dann sind die beiden Dreiecke konkurrent, deckungsgleich. Genau das gleiche gilt für w, s, w. Zwei Dreiecke sind in einer Seitenlänge und in den dieser Seite anliegenden Winkel übereinstimmen, sind konkurrent. Und außerdem gibt es noch s, s, w. Zwei Dreiecke sind konkurrent, wenn sie in der Länge zweier Seiten und in der Größe des Winkels, der der längeren von beiden Seiten gegenüber liegt, übereinstimmen. Das ist wichtig. Also ich habe eine Seite und dann habe ich noch eine zweite Seite und einen Winkel. Und der Winkel liegt gegenüber der größeren Seite. Also ich habe hier die Seite s und hier die Seite t, keine Ahnung, und der Winkel alpha, der liegt gegenüber der größeren Seite. Also s ist größer als t, dann muss der Winkel gegenüber der größeren liegen. Und wenn ich das auch bei einem zweiten Dreieck habe, dann sind die beiden Dreiecke konkurrent. Okay, also diese vier Konkurrenzsätze setzen wir auch voraus. Die kann man beweisen. Man kann auch beweisen, dass zum Beispiel bei dem vierten s, s, w-Satz, dass das nicht funktioniert, wenn der Winkel gegenüber der kleineren von beiden Seiten liegt. Das machen wir alles im Master. Kann auch sein, dass ich da sogar schon YouTube-Videos zu habe. Muss ich mal gucken, wer dafür daran interessiert ist. Aber genau, das kommt noch.