Was liegt dem größeren Winkel gegenüber?

Also, wir haben beim letzten Mal bewiesen, dass in einem Dreieck die größere Seite von zwei Seiten dem größeren Winkel gegenüberliegt. Also, wir haben ein Dreieck, wir betrachten zwei Seiten, eine von den beiden Seiten ist größer als die andere und die liegt auch dem größeren Winkel von beiden gegenüber. Und jetzt beweisen wir, das ist nicht komplett das Gegenteil, aber sozusagen fast das Gegenteil, also, dass dem größeren Winkel auch die größere Seite gegenüberliegt, okay? Dem größeren Winkel liegt die größere Seite gegenüber. Okay, also, am besten schreibt man sich immer erstmal hin, was zu zeigen ist. Zu zeigen, in einem Dreieck liegt dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber. So, okay, was machen wir als allererstes, bevor wir anfangen mit dem Beweis in der Geometrie? Sonst habe ich auch wieder das Mikro bereit hier. Was machen wir als allererstes? Ja, eine Skizze, genau. Also, wir brauchen ein Dreieck mit zwei unterschiedlich großen Seiten, ne? Warte mal, dass das hier stimmt, ich bin gerade ein bisschen verrückt. So, okay, so, da haben wir ein Dreieck. Dann bezeichnen wir natürlich erstmal die Ecken mit A, B, C und die Winkel mit Alpha, Beta und Gamma. Das ist klar, die Reihenfolge immer gegen den Uhrzeigersinn, das ist so die typische mathematische Orientierung, die man hat. Und der Ecke A liegt die Seite A gegenüber, der Ecke B die Seite B und der C genauso. Okay, so, jetzt haben wir unser Dreieck. Jetzt können wir vielleicht versuchen, mal mit den neuen Bezeichnungen, die wir eingeführt haben, das, was wir zeigen sollen, formal auszudrücken. Also, was ist unsere Voraussetzung und was sollen wir zeigen? Wir beziehen uns auf zwei Seiten, da können wir uns einfach zwei aussuchen, würde ich sagen. Wir haben ja drei im Dreieck gegeben, werden wir jetzt mal probieren. Gucken wir mal, ob online vielleicht das jemand geschrieben hat. Voraussetzung A größer B, sagt Hux47. A größer B, ist das die Voraussetzung? Was würde dir sagen, die Seite A ist größer als die Seite B? Ist hier ein Vorschlag. Hier steht gerade der Vorschlag im Raum. Die Voraussetzung ist, die Seite A ist größer als die Seite B. Was sagt ihr dazu? Darf man das jetzt schon sagen, weil wir wissen ja noch nicht, welches die größere Seite ist. Es kann ja auch sein, dass, könnte man auch sagen, die Seite B ist größer als die Seite A. Das wissen wir ja noch nicht, oder? Ja, genau. Also, überhaupt müssen wir uns auf zwei Seiten einigen. Der Satz geht ja nur über zwei Seiten. Wir haben drei Seiten im Dreieck. Okay, wir könnten sagen, wir beziehen uns mal auf A und B und lassen C. Ignorieren wir einfach. Würdest du dann sagen, die Voraussetzung ist, die Seite A ist größer als die Seite B? Wenn man das jetzt schon sagen darf, dann ja. Okay. Aber ich bin mir nicht sicher, ob man das jetzt schon machen darf. Warum bist du dir nicht sicher? Genau. Hier drüben, Moment, warte kurz. Also ich hätte gesagt, man braucht jetzt erstmal die Voraussetzung, dass eben ein Winkel größer ist als der andere. Also zum Beispiel, dass Alpha größer ist als Beta. Okay. Wir brauchen, die Voraussetzung ist ja eigentlich, dass ein Winkel größer ist als der andere. Also in einem Dreieck liegt dem größeren Winkel die größere Seite gegenüber. Das heißt, wir wissen schon, welches der größere Winkel ist. Das heißt, in dem Fall sagen wir mal, Alpha ist größer als Beta. Und dann wollen wir zeigen, dass dann auch die Seite A größer ist als die Seite B. Also formal ist in unserem Fall zu zeigen, aus der Tatsache, dass ein Winkel größer ist als der andere, folgen wir auch, dass die Seite, die diesem Winkel gegenüber liegt, größer ist als die andere Seite. Das ist genau andersherum, wie das, was wir das letzte Mal gezeigt haben. Da sind wir davon ausgegangen, die Seite A ist größer als die Seite B. Und haben dann geschlussfolgert, dass der Winkel Alpha größer ist als der Winkel Beta. Okay. So. Und wir machen wieder ein, zwei Spaltenbeweis. Im Übrigen machen wir jetzt nur noch bei diesem Aufgabenblatt zwei Spaltenbeweise. Die haben wir gemacht, um euch deutlich zu machen, dass man immer bei den Beweisen aufpassen muss, was man voraussetzen darf und was man in jedem Schritt als Begründung verwendet. Und ab dem nächsten Aufgabenblatt lösen wir uns ein bisschen davon. Da sind wir dann schon Beweisexperten und da beweisen wir dann ohne zwei Spaltenbeweis. So. Also, das ist unser Beweis, unsere Beweisstruktur. Was können wir denn jetzt hier als allererstes reinschreiben? Was wissen wir denn? Oder was können wir voraussetzen? Ja, hier? Alpha ist größer als Beta. Genau. Alpha ist größer als Beta. Das sind so Voraussetzungen. Wir wissen, dass Alpha größer ist als Beta und wollen dann zeigen, dass A größer ist als B. Genau. Also Nummer eins. Alpha ist größer als Beta und das ist die Voraussetzung. Okay. Was können wir jetzt machen? Wie seid ihr vorgegangen, als ihr den Beweis versucht habt zu führen? Hat jemand eine Idee? Okay. Das ist zugegebenermaßen ein etwas schwierigerer Beweis von den Beweisen, die wir gemacht haben. Also es ist jetzt nicht einfach so, dass man hier irgendwie, keine Ahnung, eine Winkelhalbierende reinzeichnet und dann irgendeinen Konkurrenzsatz anwendet oder so. Sondern man verwendet hier eine bestimmte Beweisstruktur, die wir auch schon mal angewendet haben. Nämlich, wir versuchen mal einen Beweis mit Widerspruch. Also wir gehen mal von dem Gegenteil aus von dem, was wir zeigen wollen und führen das zu einem Widerspruch. Man geht von dem Gegenteil aus von dem, was man zeigen will und zeigt, dass das nicht sein kann. Wenn man gezeigt hat, dass das nicht sein kann, dann war die Annahme, dass das Gegenteil korrekt ist, falsch. Und damit ist das, was man zeigen will, richtig. Was ist denn das Gegenteil von dem, was wir zeigen wollen? Das Gegenteil wäre ja, dass die Seite B größer als die Seite A ist. Passt. Also B größer als A, ist das das vollständige Gegenteil? Dass der Winkel Beta größer als der Winkel Alpha ist? Ne, das brauchen wir nicht zu sagen. Also wir wissen, Alpha ist größer als Beta. Das setzen wir voraus und wollen jetzt zeigen, A ist größer als B. Wir zeigen, dass A größer ist als B, indem wir zeigen, dass das Gegenteil nicht gelten kann. Was ist das Gegenteil von A größer B? B größer A ist fast richtig. Wir müssen alle Fälle mit dabei haben, die im Gegenteil sozusagen enthalten sind. Hast du eine Idee? Ansonsten gehen wir weiter. Gibt es noch ein paar Ideen? Wow. Also das Gegenteil von A größer B ist A nicht größer B, also kleiner gleich B. Genau. A kleiner gleich B oder B ist größer gleich A. Nicht nur größer. Das Gegenteil von A größer B sind eigentlich zwei Fälle. Entweder A kleiner B oder A gleich B. Das wäre ja auch denkbar. Also A gleich B müssen wir auch noch mit betrachten. Also wir gehen jetzt mal davon aus, dass A kleiner gleich B ist. Und das ist unsere Annahme. So, angenommen A kleiner gleich B. Und das führen wir jetzt zum Widerspruch. Und gut, dass du das so gesagt hast. Warum? Wir haben jetzt festgestellt, es gibt jetzt eigentlich zwei Fälle in dem Gegenteil von dem, was wir zeigen wollen. Nämlich A kleiner B und A gleich B. Die beiden betrachten wir mal getrennt. Fall 1, A gleich B. Okay. Fall 1, A gleich B. Okay. Und die Begründung ist, wir machen jetzt eine Fallunterscheidung. Okay. So, A gleich B. So, was ist denn, wenn A gleich B ist? Wir haben jetzt ein Dreieck und die beiden Seiten A und B sind gleich lang. Dann ist das Dreieck entweder gleichschenklig oder gleichseitig. Musst du das so formulieren? Also, du hast vollkommen recht. Ja, stimmt. Aber muss man sagen, das Dreieck ist entweder gleichschenklig oder gleichseitig? Ach so, nö. Also ist ja egal, wie lang C ist. Richtig. Also dann wäre es mindestens gleichschenklig. Ja, okay. Das schreiben wir mal auf, ja? Ja. Das Dreieck A, B, C ist gleichschenklig wegen 3. Okay. Was können wir jetzt folgern? Willst du gerade weitermachen? Du siehst schon, worauf es hinausläuft, ne? Ja. Genau. Und dann, das haben wir schon bewiesen, wenn bei einem gleichschenkligen Dreieck sind die Basiswinkel gleich groß, dann wäre die Voraussetzung falsch. Also dann haben wir hier den Widerspruch, weil wir ja angenommen haben, dass Alpha größer Beta ist. Ja, aber was möchte ich jetzt hier hinschreiben? Die Basiswinkel sind gleich groß, nämlich also? Alpha gleich Beta. Alpha gleich Beta, genau. Wegen 4, weil das Dreieck gleichschenklig ist. Und wegen der Aufgabe 5a, okay. So, okay, gleichschenkliges Dreieck, Basiswinkel gleich groß, also Widerspruch. Okay, ich schreibe jetzt hier einen Widerspruch, und zwar zwischen Zeile 1 und Zeile 5. Wir setzen ja voraus, dass Alpha größer ist als Beta. Und angenommen, die beiden Seiten sind gleich lang, dann können wir schließen, Alpha gleich Beta. Es ist aber in der Mathematik nicht denkbar, dass gleichzeitig Alpha größer ist als Beta und Alpha gleich Beta. Das geht nicht. Das ist ein Widerspruch. Also kann a nicht gleich b sein. Okay, aber wir haben ja zwei Fälle. Es könnte der andere Fall gelten in dem Widerspruchsbeweis. Was wäre jetzt die Annahme in der Fallunterscheidung? Nicht a gleich b, sondern a kleiner b. Genau, ich schreibe mal hier wieder Fallunterscheidungen hin. Dann mache ich nochmal so einen Pfeil hin, bei Widerspruch macht man gerne so einen Pfeil. Dann sieht man, wo der Widerspruch liegt. Gut, also a kleiner b. So, jetzt wissen wir, a ist kleiner b, nehmen wir jetzt mal an. Was können wir denn da rausschließen? Habt ihr mal eine Idee? Da müssen wir jetzt auch irgendwie den Widerspruch erzeugen. Wir haben ein Dreieck und wir wissen, die Seite a ist kleiner als die Seite b. Was können wir daraus schließen? Dass Beta größer ist als Alpha. Warum kann man jetzt daraus schließen, dass... Oder Alpha kleiner Beta, andersrum, ist egal. Warum kann man das schließen? Weil die Seite ja kürzer ist quasi. Also für mich ist es wahrscheinlich logisch, deswegen... Ja, das ist logisch. Wir haben es in der Aufgabe a bewiesen. Ah ja, stimmt. Ja, genau. Wir haben in der Aufgabe a bewiesen, in der Aufgabe Teil a, dass der größeren Seite der größere Winkel gegenüberliegt. Und wenn wir jetzt davon ausgehen, b ist größer a, dann muss Beta größer Alpha sein. Wegen Zeile 7 und Aufgabe, was ist das? 6a, oder? Genau, die 6a. Ja, okay. Aber auch das ist ein Widerspruch zu Zeile 1. Wir haben hier Zeile 1 und Zeile 8 im Widerspruch. Wir fordern ja an Zeile 1, Alpha ist größer als Beta und jetzt müsste gelten, Alpha kleiner als Beta. Geht beides nicht zusammen. Okay, also was können wir jetzt folgern? Genau, a größer als b, weil 2 hat zum Widerspruch geführt, die Zeile 2. Ich versuche nochmal, die Struktur von dem Beweis zu erläutern, okay? Also, wir wollen zeigen, aus Alpha größer Beta folgt a größer b. Wie macht man das? Man setzt Alpha größer Beta voraus und zeigt dann, dass a größer ist als b. Wir zeigen, dass a größer ist als b, indem wir vom Gegenteil ausgehen und zeigen, dass das Gegenteil nicht sein kann. Widerspruchsbeweis. Wir gehen also von a kleiner gleich b aus. Von dem Gegenteil dessen, was wir zeigen wollen. Und a kleiner gleich b gibt es zwei Fälle. Der Fall 1 ist a ist gleich b, der Fall 2 ist a ist kleiner b. Und in beiden Fällen zeigen wir, dass sich ein Widerspruch ergibt. Also weder kann a gleich b sein, weil da ein Widerspruch folgt, noch kann a kleiner b sein, weil da ein Widerspruch folgt. Also muss a größer sein als b. Der einzige Fall, der dann noch möglich ist. Wir schließen sozusagen alle alternativen Fälle aus, weil da Widersprüche erzeugt werden und zeigen dann, okay, dann kann es nur noch diesen einen Fall geben, nämlich a größer ist als b. Gibt es noch Fragen dazu, zu dem Beweis?