Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten

So, wir gehen zum neuen Übungsblatt und dort schauen wir uns jetzt sehr besondere Strecken und Geraden an Dreiecken, nämlich die mittelsenkrechten, die winkelhalbierenden, die Höhen oder die Geraden, die durch die Höhen definiert sind, und die seitenhalbierenden. Und interessanterweise schneiden sich die jeweiligen Strecken oder Geraden immer in einem Punkt. Also, alle drei mittelsenkrechten schneiden sich in einem Punkt, alle grünen Geraden schneiden sich in einem Punkt, alle drei winkelhalbierenden und alle drei seitenhalbierenden. Das sind alles in der Regel unterschiedliche Punkte, also unterschiedliche Schnittpunkte, aber derselbe Typ Gerade schneidet sich im selben Punkt. Und das zeigen wir jetzt mal für die mittelsenkrechten. Okay? Zu zeigen, die drei mittelsenkrechten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt. So, wie gehen wir da vor? Wie seid ihr vorgegangen? Was habt ihr als allererstes gemacht? Also, ich habe erst eine Skizze gezeichnet von einem Dreieck und die drei mittelsenkrechten eingezeichnet. Eine Skizze von einem Dreieck, schon mal eine gute Idee, wenn es um Dreiecke geht. Und jetzt sollte man vielleicht bei so Dreiecken darauf achten, nicht etwa gleichschenklige oder gleichseitige Dreiecke zu skizzieren, sondern Dreiecke, bei denen die drei Seiten unterschiedlich groß sind. So, auch gleich mal benennen. A, B und C. Wenn wir zeigen wollen, dass drei Geraden sich schneiden, wie kann man da vorgehen? Also, ich habe mir überlegt, wenn die sich schneiden, dann dürfen sie auf jeden Fall zueinander, alle nicht parallel sein. Die dürfen alle nicht zueinander parallel sein. Genau. Können wir das begründen, dass die drei mittelsenkrechten nicht parallel zueinander sind? Ich skizziere mal grob die mittelsenkrechten hier. Sieht gar nicht schlecht aus, habe ich gut getroffen, oder? Okay. Warum können die drei mittelsenkrechten nicht parallel sein? Wenn zwei von ihnen parallel wären, was wäre dann der Fall? Immer der, der das Mikro hat, muss extrem aufpassen, ja? Dann würden sie sich nicht mehr schneiden. Ja, genau. Also, wenn die zwei parallel wären, würden sie sich nicht schneiden. Aber sie können ja nicht parallel sein. Warum nicht? Wenn sie parallel wären, ich versuche jetzt den Widerspruch, ne? Wenn sie parallel wären, dann wäre irgendwas der Fall, was nicht sein kann. Ja, sie gehen ja senkrecht durch die Strecken A, B, C und C, A. Ja, wie nennt man die denn? Durch die Dreieckseiten, ne? Dreieckseiten, ja. Genau. Die mittelsenkrechten stehen senkrecht auf den Dreieckseiten. Ja. Wenn jetzt zwei mittelsenkrechten parallel wären, was würde dann gelten für die Dreieckseiten? Dann müssten die ja auch parallel zueinander sein. Genau, müssten die auch parallel sein. Geht ja aber nicht. Geht aber nicht beim Dreieck. Okay. Ist aber schon mal eine gute Bemerkung, ne? Wir müssen aufpassen. Also, schneiden die sich wirklich alle? Ja, die schneiden sich alle, weil sie nicht parallel sein können. Das können wir mal aufschreiben, oder? Die mittelsenkrechten müssen sich schneiden. Schreibt mal paarweise schneiden, weil wir noch nicht wissen, dass sich alle im selben Schnittpunkt schneiden, ne? Die müssen sich paarweise schneiden. Also immer zwei von denen schneiden sich. Ich nehme zwei von den drei mittelsenkrechten und automatisch schneiden die sich. Die müssen sich paarweise schneiden, denn wenn sie parallel zueinander wären, dann wären auch ihre jeweiligen Dreieckseiten zueinander parallel. Und das kann ja nicht sein. Okay, gut. Also, die müssen sich paarweise schneiden. Wenn ich jetzt zeigen will, dass sich alle drei im selben Schnittpunkt schneiden, dann kann ich ja folgendermaßen vorgehen. Ich nehme mal zwei von den mittelsenkrechten. Die haben einen Schnittpunkt. Und da zeige ich, dass dieser Schnittpunkt auch auf den dritten Geraden liegt. Ich habe drei Geraden. Zwei davon schneiden sich. Und ich zeige, dass die dritte Gerade auch durch diesen Schnittpunkt geht. Dann schneiden sich alle drei im selben Punkt. Also nehmen wir doch mal zwei mittelsenkrechten. Vielleicht die mittelsenkrechte von AB und die mittelsenkrechte von BC. Also G und H. Okay, den anderen können wir I nennen. Also sei S der Schnittpunkt von G und H. S ist der Schnittpunkt von G und H. Wir haben zwei mittelsenkrechten. Die schneiden sich in S. Was kann ich daraus schließen für S? Das muss man so ein bisschen in seinem Hinterstübchen kramen, was man so alles über Mittelsenkrechten bewiesen hat und über Punkte auf Mittelsenkrechten und so weiter. Also S liegt ja auf der mittelsenkrechten von G. Auf der mittelsenkrechten G. Also auf der mittelsenkrechten von AB. Dann hat es den gleichen Abstand zu A und B. Also der Abstand AS ist gleich SB. S hat den gleichen Abstand von A und B. Ich zeichne mal diese beiden Abstände hier ein. Also AS ist gleich SB. Was können wir noch sagen? Und gleichzeitig liegt es ja auf der mittelsenkrechten H. Somit ist der Abstand SC genauso lang wie der Abstand SB. Genau. Und da S auch auf der mittelsenkrechten von CB liegt, gilt auch, dass CS hat dieselbe Länge wie SB. Vielleicht noch so mit hinschreiben. Also wir wissen, S ist der Schnittpunkt von zwei Mittelsenkrechten. Wenn ein Punkt auf einer mittelsenkrechten liegt, hat er denselben Abstand von den beiden Endpunkten der Strecke. Also wenn S auf G liegt, auf der mittelsenkrechten von AB, hat S denselben Abstand von A und B. Und S liegt ja auch auf H, hat also denselben Abstand von C und B. Was können wir daraus schließen? Willst du weitermachen? Ich hätte jetzt einfach angenommen, S liegt nicht auf I. Also auf der mittelsenkrechten I nicht. Und es wäre dann aber ein Widerspruch, weil wenn die Länge von AS gleich der Länge von SB ist, und die Länge von SB gleich der Länge von SC, dann ist ja der Abstand von S zu A zu B und zu C gleich lang. Ja, also wir können ja durch die beiden Gleichungen hier oben sagen, AS ist gleich SB und CS ist gleich SB. Also muss ja AS gleich CS sein. Genau. Und dann muss S auch auf I liegen, auf der mittelsenkrechten von AC. Ja, also S Element I. Es liegt auf der mittelsenkrechten von AC, weil es denselben Abstand von beiden Punkten hat. Du hast jetzt angefangen mit, wir machen einen Widerspruchbeweis. Angenommen I geht da nicht durch und dann zeige ich, dass es da doch durchgeht. An der Stelle kannst du sogar auf den Widerspruch verzichten, weil du kannst dich einfach vorwärtsarbeiten und dann kommst du raus bei S Element von I. Somit schneiden sich die drei mittelsenkrechten in einem Punkt. Und das ist die Begründung. Wir haben den Schnittpunkt S von G und H. Der Schnittpunkt S hat von den drei Punkten den gleichen Abstand. Also muss S auch auf I liegen. Und demnach schneiden sich G, H und I im selben Punkt S. Kann man vielleicht nochmal hinschreiben. Also schneiden sich G, H und I im selben Punkt S. Was ist denn das für ein Punkt? Welche Bedeutung hat dieser Punkt? Das ist der Mittelpunkt des Umkreises. Warum ist das der Mittelpunkt des Umkreises? Ich weiß nur, dass der Umkreis die Eckpunkte vom Dreieck mit einbezieht. Also dass die auf dem Umkreis liegen. Ja, genau. A, B und C. Weil S ja den selben Abstand zu A, B und C hat. Welche Bedeutung hat denn der Abstand hier im Kontext des Umkreises? Der Radius. Genau. S ist der Mittelpunkt des Kreises. Und diese blaue Strecke hier ist der Radius. Jetzt weiß ich nicht, ob das mit meiner Skizze hier hingehauen hat. Ich habe jetzt wirklich grob skizziert. Aber jetzt müsste... Naja, das geht nicht. Das haut nicht hin. Dafür war es eine Skizze. Also der Punkt S ist der Mittelpunkt des Umkreises, weil S den selben Abstand hat von A, B und C. Und diese Strecken, die blauen Strecken, die ich reingezeichnet habe, haben die Bedeutung des Radiuses im Zusammenhang mit dem Umkreis. Okay. Gibt es noch Fragen zu diesem Beweis? Ja? Oh, guter Punkt. Müssen sich die Mittelsenkrechten im Dreieck schneiden oder kann der Schnittpunkt auch außerhalb liegen? Kann sich jemand eine Situation vorstellen, in der der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten außerhalb liegt? Du nix. Nee, nicht? Dann sieht das Dreieck wieder so aus. Ja, wie sieht das Dreieck dann aus? Also ich bin mir nicht sicher. Aber wenn ich B weiter hoch mache, dann... Ja, ich skizziere mal hier einen Kreis drumherum. Auch eine Skizze, ne? Bitte nicht lachen. Okay. So, das ist der Kreis, ne? Jetzt liegt ja der Punkt hier im Dreieck. Wie muss ich das Dreieck verändern, damit dieser Punkt außerhalb des Dreiecks liegt? So, dass es quasi überhalb von dem mittleren Kreis liegt. Genau. Also ich könnte jetzt A und B ja beide auf der Kreislinie nach oben schieben. Also A hierhin und B hierhin. Dann ist das hier dieses Dreieck. Hat denselben Umkreis und denselben Mittelpunkt demnach. Also müssen sich die Mittelsenkrechten außerhalb des Dreiecks schneiden. Das ist etwas, das ihr auch versuchen könnt anzuwenden, wenn ihr so eine Frage habt. Nehmt die Situation so, wie sie ist und versucht sie zu manipulieren gedanklich. Und zu schauen, könnt ihr sie so hin manipulieren, dass ihr eure Frage beantwortet könnt. Und wenn euch das nicht gelingt gedanklich, dann könnt ihr GeoGebra nehmen. Weil GeoGebra, deswegen haben wir das auch in dem Übungsblatt eingeführt, könnt ihr wunderbar die Situation manipulieren und schauen, was passiert. Was wäre, wenn Fragen beantworten?