4017兩堆棋子拿取 | 高斯 小學奧數知識點視頻 | math olympiad #數學奧利匹克

這個視頻裏,咱們玩一玩兩堆棋子的拿棋遊戲。 這次,每人每次必須得從一堆裏拿, 不過每次能拿任意多個,隨便拿幾個都行。 如果兩堆分別有兩個和四個球, 拿到最後一個球的算贏, 讓你先拿,你能贏嗎? 還是從最簡單的情況開始看, 要是一堆棋子有零個, 另一堆棋子有一個, 你先拿,能贏嗎? 當然能了,把這一個拿走不就好了。 那要是零個和兩個呢? 也簡單,把這倆都拿走就行了, 該誰拿誰贏。 如果再多一些,零個和好多好多個呢? 都沒問題,反正可以拿任意多個, 一口氣都拿走就好了, 全都是先拿就贏。 接着,那少的這堆,增加點,變成一個。 如果另一堆也是一個, 那不管怎麼拿,都會變成零個和一個的狀況, 只能變成勾,那就得打叉。 一個和兩個,從兩個裏面拿走一個, 就能變成一個和一個的狀況了, 可以變成叉,就打勾。 同樣的,一個和很多個, 只要從很多個裏面拿到只剩一個, 就能留下叉的情況,打勾。 繼續,如果是兩個和兩個, 只能從一堆拿, 可以變成一個和兩個, 或者零個和兩個, 只能到勾,那就打叉。 兩個和很多個, 都可以變成兩個和兩個,打勾。 所以兩個和四個的情況, 先拿的人贏。 觀察一下,打叉的是一一二二這樣的情況, 都是兩堆相同的情況, 那三三是不是也打叉呢? 試一下,三三可以拿成二三, 一三或者零三, 這三種都是勾, 所以三三果然應該打叉。 看來,所有兩堆相同的情況, 都是打叉的, 也就是說,只要每次留下一樣多的兩堆, 就能獲勝。 比如有十個和二十個, 規則還是一樣,你先拿, 咱倆誰能獲勝呢? 當然是你啦, 只要你先從二十個裏面拿走十個, 留給我十個和十個, 然後我從這堆拿幾個, 你就從那堆拿同樣多, 這樣就能保證獲勝啦。 這種獲勝方式利用了對稱性, 也就是每次都留給對方兩邊一樣的結果。 要做到這樣, 只要等着看對方出什麼招, 照着他學就好了。 總結一下,可以利用對稱性解決到問題中, 只要想辦法每次都留給對手對稱的情況, 對手怎麼做,就學他對稱着做, 就能獲得最終的勝利。 現在問題來了, 如果這兩堆分別有一百個和兩百個球, 還是隻能從一堆拿, 每次可以拿任意多個, 誰拿完最後一個誰贏, 讓你先拿,你能贏嗎?