UM6p CC 2024 - Concours admission au cycle préparatoire au diplôme d'ingénieur- Questions 1 à 5

[Musique] bonjour à tous aujourd'hui on va s'intéresser à ici un concours d'entrée le concours d'entrée auuss préparatoire au diplôme d'ingénieur de l'Université de Mohamed 6 donc au Maroc hein tuas un concours avec 25 questions qui sont assez sympa c'est niveau vraiment de des terminales marocaines parce que vraiment c'est au-dessus de notre programme français hein je vous montre les 25 questions on va les faire par 5 alors ça va assez vite hein donc il y a 25 questions à chaque fois donc il faut choisir laquelle des quatre propositions est la bonne hein il y a pas besoin de fournir donexlication moi évidemment je vais les donner et donc voici les 25 questions donc il y a un peu de tout he il y a des parties entières voyez que par rapport au au bac donc français il y a pas ça au programme vous avez ici des formes indéterminé avec des racines carrées encore une partie entière avec des sommes des polynômes des racines doubles des intégrales don pas mal d'intégrales pas mal d'Arc tangent vous voyez ici les systèmes équation différentielle du second ordre avec ici fonction réciproque une limite la 14 qui est très difficile ici y a une question 15 avec un produit qui est pas facile non plus mais on reconnaîtra les sommes de Ran de l'arct tangente pas mal de complexes ici avec quelques questions de probabilité une question 24 avec ici une question assez difficile sur une intégrale et puis après des questions une question sur les complexes donc voici un petit peu le sujet je mets le lien pour ceux qui veulent s'entraîner alors moi j'aime bien ce genre de concours donc on est parti on va faire faire les questions par 5 parce que ça serait trop long une seule vidéo hein donc on commence alors je vais faire deux deux versions une version très rapide he comme si on était au concours parce qu'il fallutait et après j'essaierai peut-être de rentrer dans les détails pour justifier vraiment les choses donc on est parti première question je rappelle aussi que calculett et smartphone sont interdits donc il faut se débrouillerin vous aviez du papier brouillon donc on peut écrire on peut faire des calculs voilà toute fonction périodique est non constante alors ADM une limite en plus infini n'a pas de limite en plus infini est linéaire ou est dérivable on commence tout de suite avec une première question assez rapide toute fonction périodique est no constante al je prendre un exemple fonction périodique que vous connaissez sinus ou cosinus donc ça ressemble à ça je trace une partie de la courbe au début pas très bon voilà et on voit bien plusieurs choses tout d'abord si je prends cet exemple là cette fonction elle n' pas de limite donc déjà à limite c'est faux alors linéaire non plus vous voyez bien que cette fois pas la courbe d'un fonction linéaire donc ça évidemment le C faux dérivable celle-ci est dérivable donc je vais essayer de trouver un exemple de fonction périodique qui n'est pas dérivable il suffit que je prenne par exemple une fonction al on va prendre simple une fonction comme ceci en triangle voilà donc vous voyez que elle est non dérivable à chaque pointe ici et donc vousz trouver un exemple de non déabilité ça veut dire que comme il y a une seule réponse exacte c'est forcément la B qui est la bonne donc une fonction périodique non constante met pas de limite alors je démontrerai ça si vous voulez en fin de vidéo he mais vous voyez que là le jour du concours il faut aller vite donc on répond tout de suite nadz pas limite et on passe à la suivante et pour ceux qui ça intéresse je ferai des explications quand j'aurais fait les C donc maintenant la deuxième on est sur la partie entière et on vous demande l'yp donc l'yp pour X appartenant à R + étoile de la partie entière de e de X plus la partie entière de 1 sur x alors il faut savoir que la partie entière on la note maintenant plutôt comme ceci hein dans pas mal de domaines donc avec ce symbole là que je trouve assez jolie voilà donc je le dis pour ceux qui sont habitués à ce symbole ça donne ceci donc la partie entière alors il faut donc l'ymphe déjà on va essayer on vous propose quatre hein donc on va procéder par éliminationin donc l'yphe c'est le plus petit alors prenons par exemple si je prends des exemples si prends x = 1 la partie entière de 1 ça fait 1 la partie entière de 1/ 1 ça fait aussi 1 donc déjà hein pour x = 1 on trouve un nombre qui est 2 ça veut dire que déjà ça peut pas être 3 et 4 on veut l'INF donc ça doit être infé égal à 2 d'accord alors est-ce qu'on peut trouver plus petit bah évidemment on va chercher des nomes non entier donc si vous prenez alors on va essayer de prendre juste à côté d'un 0,9 la partie entière de 0,9 ça fait 0 quand vous inversez 1 09 on est à peu près sur du 1,1 donc ça la partie entière ça vaut 1 donc la somme ici vaut 1 et donc ça veut dire que l'INF ne peut pas être égal à 2 il reste qu'une seule proposition c'est le 1 encore une fois ça a été très vite la trisème question alors ici on a HX il faut que ça tende à une limite finie en plus l'infini donc déjà vous voyez que ça çaattend évidemment vers plus l'infini donc ici dans l'exercice donc x t vers plus l'infini donc je vais considérer d'ailleurs que X est strictement positif parce que faire des petites factorisation ici hein bien on a un premier truc ça dépend de Alpha ici si alpha est négatif ça ça tend aussi vers plus infini ça veut dire qu'on aurait une forme plus infini plus infini ça tend vers plus infini donc il faut absolument que ceci tend vers plus l'infini he sans le moins donc ça veut dire que Alpha doit être strictement positif ça c'est une première chose donc alpha est strictement positif ça veut dire que maintenant on a une forme indéterminée donc on va utiliser l'expression conjuguée je multiplie en haut en bas par la même chose avec un plus alors ça bien sûr on peut le faire quasiment de Têt c'estd qu'en bas vous aurez √ X3 + 2x2 + 3 + alpha X √ X + beta et en haut vous aurez le carré donc j'enlève ici ceci hein j'ai et multiplier donc par la même chose avec un plus donc j'ai a - B X a + b donc a² - b² ensuite j'ai moins donc le carré de Alpha x donc alpha car x² et la racine carrée sans j'ai ceci voilà maintenant il faut que ça ça tende vers une limite finie donc on va regarder un petit peu les dominants en haut et le dominant en bas donc on regarde le x³ le x³ qui est en haut c'est quoi j'ai donc 1 - alpha carré et des x³ j'ai donc 1 - alpha² x³ d'accord c'est le dominant d'ut en bas si on factorise alors on peut factoriser dans les racines là on factorise par X3 al je vais vous le montrer comme ça vous verrez un petit peu ce qu'il en est et le dominant en bas serait de X puissance 32i avec un coefficient ici quand x t plus infini çaattend vers 1 + alpha d'accord 1 + alpha donc si on fait ce rapport et bien ça sera de x^ 32i à condition que ça soit non nul donc si je veux que ça tende vers une limite finie ça veut dire que 1 - alpha caré doit être égal à 0 d'accord ça veut dire que Alpha carré est égal à 1 mais comme alpha n'est pas égal à -1 he je l'ai déjà dit alpha était différent de -1 parce qu'Alpha est strictement positif c'est veut dire que Alpha est égal à 1 donc on a déjà trouvé la valeur de Alpha et on ceci alors encore une fois il faut que ça tende vers une limite finie donc là on a du carré en haut du 32i en bas donc on va avoir un problème c'est parce que le le degré du haut est plus haut donc ça veut dire qu'il faut pas qu'il me reste ce x² donc beta 2- beta doit être égal à 0 de façon à ce qu'on ait plus ce terme et dans ce cas en haut ça tend vers 3 et en bas ça tend vers donc x pu 3/2 et ici on a du 1 + ça tend vers 2 2 hein enfin ça tend vers plus infini parce que là on a un coefficient 2 et ici on a du x^ 3/2 donc ça fait du 3 sur plus infini ça fait bien une limite qui est nulle donc ici ça fait beta = 2 on regarde les propositions alpha = 1 beta = 2 c'est la proposition une et on a terminé vous voyez que celle-ci elle peut se faire vite hein alors on n'est pas obligé évidemment de rédiger tout ça vous pouvez vous contenter hein donc de faire peut-être la factorisation ici et après de d'analyser ça sans faire la suite donc on voit bien que lui doit disparaître lui doit disparaître ça veut dire alpha é= à 1 beta égal à 2 et on a terminé la question 4 c'est la plus jolie des 5 première mais on peut la faire astucieusement sans rentrer dans les calculs pour ceux que ça intéresse je ferit raisonnement c'est quelque chose qui mérite quand même d'être regardé on a donc du 1/ n³ somme pour Kant de 1 à n des k fois les parties entières de KX et ça c'est donc notre suite un en fait c'est un de X et moi je vais vous proposer un raisonnement qui est simple on va Esser et bien d'éliminer donc je vais prendre une valeur de x qui est simple je prends x = qu'est-ce que ça donne pour x é= 1 j'ai donc alors ici ma suite un alors c'est pour ça que j'aurais bien aimé qu'elle s'appelle un X donc ça c'est un 1 j'ai donc 1 sur n³ Somme pour k de 1 à n des k FO partie entière de K mais k étant un entier il est sa partie entière donc ça veut dire qu'ici il vous reste 1/ n³ somme pour à N des k²r d'accord partie entière ici de K k² somme des k² somme des k²r vous devez connaître hein rappelle rapidement que la somme des entiers de 1 N donc c'est nn + 1 sur 2 et la somme des carrés à connaître alors ça débute à peu près pareil nn + 1 2n + 1/ 6 donc ici ben voilà regardez en haut on aura n n + 1 2n + 1 sur 6 et comme j'ai n Cu devant ça fait sur 6³ maintenant la limite de tout ça quand n plus l'infini donc quand x vaut 1 en haut c'est du 2N Cu en bas du 6n³ ça fait donc 1/ je trouve limite qui est 1/ maintenant regardez ce qu'on propose alors déjà la première proposition il y a du N dedans ça c'est impossible donc ça n'est pas la a c'est sû ensuite la réponse do être donc 1/ si je remplace X par 1 donc en remplaçant X par 1 ça ferait donc ça n'est pas la B en remplaçant ici X par 1 ça fait un demi ça n'est pas la C et donc il y a que la dernière qui me permet d'avoir la bonne limite pour X égal 1 et donc on a voyez assez rapidement en connaissant juste la somme des carrés assez rapidement on a éliminé trois propositions reste donc juste la dernière voilà voyez que ça a été encore une fois assez vite alors en fin de vidéo quand j'auris fait la 5è je vous montrerai vraiment le raisonnement qui permet de montrer x é= 3 c'est un très joli raisonnement invite évidemment à aller regarder ça 5è question un peu une degré 6 on vous parle de Racine double donc déjà on regarder racine double ça veut d'abord dire qu'on a une racine simple donc ici on voit bien alors P 0 ça fait 0 d'accord he mais pour une racine il faut que la dérivée s'annule aussi donc je vais calculer la dérivée ça sera fait ça fait 6x 5 + 20x4 + 4x3 30x2 - 8x + 8 déjà on voit bien que 0 n'est pas RAC P prime donc déjà 0 ne peut pas être une racine voilà RAC double ça veut dire qu'on est r√ P et √ P prime et qu'on est pas r√ P second alors je vais commencer par les racines les plus simples hein P de 1 c'est simple parce que on fait la somme des coefficients donc ça fait 1 + 4 + 1 - 10 - 4 + 8 on regarde on a donc - 14 + 14 ça fait bien 0 bah on ge P Prim 1 donc 6 et 20 26 4 - 30 - 26 - 8 + 8 ça fait aussi 0 alors attention parce qu'elle pourrait être racine triple donc il faudrait un petit peu aller voir plus loin donc on a le choix on peut aller regarder P secondes P secondes ça fait donc 30x alors vous nêtes pas obligé d'écrire parce que vous pouvez faire juste le coefficient VO si vous voulez P seconde de 1 l'avantage avec 1 c'est que il y a juste les coefficients donc ça fait 30 + 80 + 12 - 60 - 8 et on voit bien que P 1 ne fait pas 0 donc 1 et Racine double et donc c'est forcément la bonne réponse on a eu de la chance hein 1 et√ 2 pour ceux qui ont