Ôn thi chuyên Toán- Bất đẳng thức- Bài 8: Phương pháp 2-4-3

Kỹ thuật 243 này bắt đầu từ ông Cossi Cossi đưa ra một phương pháp quy nặp kiểu Cossi Nghĩa là đầu tiên chứng minh cho 2 số, sau đó chứng minh cho 4 số, 8 số, 16 số và cứ nhân vô cùng lên như vậy Sau đó thì từ một số n làm đó thì lại lùi lại Thế nên mình áp dụng trong trường hợp chứng minh bân thức 3 số thì bây giờ chúng ta sẽ làm như thế này Muốn chứng minh một bân thức Cossi theo phong cách 3 số như thế này Thì bước 1 mình sẽ chứng minh cho trường hợp 2 số Sau đó mình dùng 2 số đi chứng minh 4 số Sau đó chúng ta dùng 4 số chúng ta đi chứng minh 3 số Nghĩa là để chứng minh một bân thức 3 số Ví dụ như bài 5 này này Thì đầu tiên mình sẽ đi chứng minh cho 2 số Xong dùng 2 số chứng minh cho 4 số Sau đó lại dùng 4 số chứng minh cho 3 số Chẳng hạn khi chúng ta gặp bài 6 này nhé Người ta không hỏi nhiều người ta hỏi thẳng cái bài 6 này thôi Thì đây là một bài 3 số Thế thì một trong những phương pháp mình có thể nghĩ đến là Bây giờ chúng ta sẽ đi chứng minh 2 số Sau đó dùng 2 số chứng minh 4 số Sau khi có được 4 số rồi chúng ta lại dùng cái 4 số đấy chứng minh 3 số Thì đấy gọi là kỹ thuật 243 Ví dụ bây giờ chúng ta bắt đầu với ví dụ 1 trước vì nó dễ Như thế này Tất nhiên bân thức Cossi này thì đơn giản rồi Bân thức này cũng đúng với mọi AB đúng không? Việc chúng ta chứng minh 2 số là một việc rất đơn giản đúng không? Bây giờ chúng ta dùng 2 số để chứng minh 4 số Chúng ta áp dụng 2 số nhé Thế thì về trái này lớn hơn bằng Áp dụng Cossi cho 2 cái này Là 2 căn của AB Cộng 2 căn của CD Đây là áp dụng Cossi 2 số lần thứ nhất Sau đó chúng ta lại đặt 2 ra Đặt 2 ra và chúng ta áp dụng Cossi 1 lần nữa Áp dụng Cossi 2 số 1 lần nữa cho căn AB và căn CD Thì cái này sẽ lớn hơn bằng 4 Nó hốn là căn bậc 2 của căn AB Và nó chính là 4 căn bậc 4 của ABCD Cái này chính là vế phải đúng không? Cái này chính là vế phải Việc chúng ta dùng 2 số chứng minh 4 số là một việc cực kỳ đơn giản Đây, đối với trường hợp dùng 4 số chứng minh 3 số Người ta có 1 cái kỹ thuật rất hay như thế này Đó là người ta thay đê Bởi chung bình cộng hoặc chung bình nhân Nhớ nhớ nhá Tức là người ta có 1 kỹ thuật rất hay là Chuyển từ 4, chúng ta dùng 4 chung bình 3 là Người ta thay đê bằng chung bình cộng hoặc chung bình nhân Thế thì chúng ta dùng thế nào cũng được nhá Ví dụ như ở đây, chọn Chọn đê bằng chung bình nhân đi Chung bình nhân tức là căn bậc 3 của ABC Tất nhiên chúng ta chọn là chung bình cộng cũng không vấn đề gì nhá Thì khi đó Chúng ta từ cái bản thức bốn số này chúng ta có A cộng B cộng C cộng căn bậc 3 của ABC Thì sẽ lớn hơn hoặc bằng 4 Căn bậc 4 của ABC Nhân với căn bậc 3 của ABC Đây đúng không Thế thì khi đó Cái này cái này này Mình rút gọn đi Rút gọn đi thì bằng gì 4 Căn bậc gì Căn bậc 4 của ABC nhân căn bậc 3 của ABC Đấy nhá X, căn bậc 3 của X Thì nó sẽ là căn bậc Căn bậc 3 của gì X mũ mấy Căn bậc 3 của X mũ 4 Thế cho nên là Nó sẽ là căn bậc 4 của Của căn bậc 3 của ABC tất cả mũ 4 Vậy thì giả nước đi nó sẽ chính là Căn bậc 3 của ABC Đấy Cho nên là nhá Cho nên là chúng ta có view Giờ thử cái căn bậc 4 đi Căn bậc 4 của X nhân căn bậc 3 của X Thì sẽ là Căn bậc 4 của Căn bậc 3 của X mũ 4 không Thế thì cái này sẽ chính là Căn bậc 3 của X Đấy Căn bậc 4 Thử căn bậc 4 đi Còn căn bậc 3 của X này Đây này nó thành cái này Thế cho nên là Bây giờ A cộng B cộng C Thế cộng với một cái Căn bậc 3 này Thì lớn bằng 4 căn bậc 3 này Như vậy đây có 4 Đây có 1 đúng không Chúng ta sẽ khử 1 B thì đây B còn 3 đúng không Cho nên suy ra A cộng B cộng C Lớn hơn bằng 3 Căn bậc 3 của ABC Và đây chính là điều phải chứng minh Đấy Đó chính là kỹ thuật Dùng phương pháp 2,4,3 Để chứng minh vấn thức Cosy 3 số Dùng 2 số chứng minh 4 số Sau đó dùng 4 số Chứng minh 3 số Bây giờ chúng ta sang câu thứ 4 Bây giờ nhé Nếu mà giả sử chúng ta Đột nhiên chúng ta gặp câu 5 Thì chúng ta làm thế nào Thế thì chúng ta có thể nghĩ như sau À câu 5 này là vấn thức Dạng 3 số Mình thử dùng phương pháp 2,4,3 để mình chứng minh nó xem sao Thế thì Bước 1 mình vẫn phải đi chứng minh 2 số Chính là cái số 4 này nhé Chứng minh cái số 4 này thì như thế nào Đơn giản, thôi biến đổi tương đương nhé Bất đẳng thức Tương đương Ở đây chúng ta Cái số 2,4,3 là 8 này Đây là 2 này mình nhân 8 lên Khử HD là 4 này, mình đặt 4 ra ngoài Và có nhân tử chung là A cộng B A cộng B nhân với A bình phương Chữ AB Cộng B bình phương Lớn hơn bằng A cộng B tất cả bình phương Tất cả mỗi 3 như này Và Điều này tương đương với Ở đây của A cộng B Nhân tử chung chúng ta đặt ra ngoài Ở đây sẽ là 4A bình trừ 4AB cộng với 4B bình nhưng mà trừ đi A cộng B tất cả bình Tức là thành Trừ đi Thành 3A bình trừ đi 6AB Cộng 3B bình Nghĩa là chỗ này thành A trừ B tất cả bình Và có số 3 Lớn bằng 0 Và điều này đúng nhỉ Với mọi AB lớn bằng 0 Như vậy việc chúng ta chứng minh 2 số Rất là đơn giản đúng không Thế bây giờ chúng ta áp dụng Bây giờ chúng ta Áp dụng Cái bân thức này Cái kết quả này cho 4 số Thì chúng ta sẽ có như này Đây Để làm câu 5 chúng ta sẽ đi chứng minh 4 số trước Với D lớn bằng 0 Thì chúng ta có A mũ 3 Cộng B mũ 3 Cộng C mũ 3 Cộng D mũ 3 Mình chia 4 này Thì bây giờ cái này lớn hơn hoặc bằng Thì cái này lớn hơn hoặc bằng Cái A mũ 3 cộng B mũ 3 này Mình áp dụng cái này nhé Thì nó sẽ lớn hơn hoặc bằng Cái này thì Cái này chúng ta hình dung là Đây là 1 phần 8 Đây là 1 phần 8 x 2 là 1 phần 4 Thành là 1 phần 4 Của A cộng B Tất cả mũ 3 Cộng với bây giờ mình áp dụng cho C mũ 3 cộng D mũ 3 Thì nó là 1 phần 4 của C cộng D tất cả mũ 3 Trên 4 như này Bây giờ 1 phần 4 mình đẩy xuống đây là 1 phần 16 Và chúng ta lại có x mũ 3 cộng y mũ 3 đúng không Chúng ta áp dụng thêm 1 lần nữa Thì cái này lớn hơn hoặc bằng 1 phần 16 Đây 1 phần 4 x 2 mình đẩy xuống đây là 1 phần 16 Đây là x mũ 3 cộng y mũ 3 Thì nó lớn bằng 1 phần 4 của A cộng B Cộng với C cộng D Tất cả mũ 3 Và cái này chính là A cộng B cộng C cộng D Trên 4 Tại vì đây chính là 6 x 4 6 x 4 mà mình đưa vào trong căn hộp 3 Đưa vào trong lũy thứ 3 thì nó thành 4 như này Mũ 4 Và coi như chúng ta đã chứng minh thành công Cái trường hợp 4 số này Đây là trường hợp 4 số Thế thì khi đó Bây giờ chúng ta muốn chứng minh 3 số Chúng ta sẽ chọn thương án như này Chọn D bằng Vì ở đây liên quan đến toàn là phép cộng Thế nên mình sẽ chọn trung bình cộng chứ mình không chọn trung bình nhân nhé Thông thường người ta có 2 lựa chọn 1 là trung bình cộng 2 là trung bình nhân Thì tùy theo Tình huống thực tế mà mình có thể chọn Chọn D là trung bình cộng A cộng B cộng C Trên 3 Thì chúng ta sẽ có Chúng ta sẽ thu được gì? Chúng ta sẽ có được là A mũ 3 cộng B mũ 3 Cộng C mũ 3 Cộng A cộng B cộng C Trên 3 Tất cả mũ 3 Và tất cả các bạn này này Chiêu 4 Lớn hơn hoặc bằng Tổng của các bạn này A cộng B cộng C Lớn hơn bằng A cộng B cộng C Cộng với A cộng B cộng C Trên 3 Tất cả trên 4 Tất cả mũ 3 Thế bây giờ chúng ta rút gọn đi nhé Chúng ta cần nháp Cái chỗ x này không? x cộng x trên 3 Mà trên 4 thì nó bằng gì? x cộng x trên 3 Mà trên 4 bằng gì? 3 x cộng 1 x là 4 x 4 x khử 4 x thành x trên 3 đúng không? Nó chính là x trên 3 Nghĩa là tình huống này của chúng ta là Nó chính là A cộng B cộng C Trên 3 Tất cả mũ 3 Thế thì như vậy là Bạn này, lớn hơn bạn này Thế bây giờ chúng ta khử đi nhé Thế thì nó sẽ dẫn đến chuyện gì? Xoay ra Cái này là 1 phần 4 này Cái này là 1 phần 4 của cái cụm này đúng không? 1 phần 4 của cái cụm này Thế thì mình sẽ xoay ra làm A mũ 3 Cộng B mũ 3 Cộng C mũ 3 Chia cho 4 này Chia cho 4 Tại vì đây là 1 phần 4 của cái cụm này đúng không? Mình khử 1 phần 4 đi Thì nó sẽ thành lớn hơn 3 phần 4 3 phần 4 của A cộng B cộng C Trên 3 Tất cả mũ 3 Bây giờ mình khử 4 đi và chiên 3 xuống Thì xoay ra đều phải chứng minh đúng không? Khử 4 đi và chiên 3 xuống Thì xoay ra đều phải chứng minh Vậy chúng ta đã hoàn thành chứng minh bài 5 Với kỹ thuật 243 Thì nhắc lại là kỹ thuật 243 Là khi chúng ta cần chứng minh 1 bất hình thức 3 biến Thì chúng ta có thể nghĩ đến kỹ thuật 243 Bằng cách là đi chứng minh 2 biến Sau đó dùng 2 biến chứng minh 4 biến Sau đó dùng 4 biến lùi trở lại 3 biến Thế thì bây giờ ví dụ như câu 6 Câu 6 này nếu mà không Nếu chúng ta mà nghĩ đến cái kỹ thuật 243 này Thì bây giờ chúng ta sẽ phải làm gì? Chúng ta phải đi chứng minh 2 số trước đúng không? Vậy 2 số là nó kiểu gì? Câu 6 Trước mắt là chúng ta đi chứng minh 2 số Tức là 1 Nhưng mà ở đây chúng ta sẽ đặt cái Cái A mũ 3 B mũ 3 bằng X Và B mũ 3 bằng Y bằng Z Thế thì B mũ 3 Bằng Y Và C mũ 3 bằng Z Thì chúng ta cũng sẽ có được X Y Z X Y Z của chúng ta ABC nước 1 thì x như thế nó cũng nước 1 nhé Nước 1 Và bây giờ chúng ta cần phải chứng minh điều gì? Cần chứng minh đó là 1 trên 1 cộng x cộng với 1 trên 1 cộng y cộng với 1 trên 1 cộng z lớn hơn bằng 3 trên 1 cộng với cao nộc 3 của x,y,z Đấy Thế thì bây giờ chúng ta sẽ đi chứng minh cái bân thương này trước nha Bân thương 2 điến Chúng ta chứng minh 1 trên 1 cộng x cộng với 1 trên 1 cộng y lớn hơn bằng 2 trên 1 cộng cao nộc y Đây là kết quả mà chúng ta cũng đã gặp rồi và đã làm rồi Thì đơn giản thôi đúng không? Chúng ta sẽ làm như thế này Mình tách cái số 2 thành 1 cộng 1 có nghĩa là đây là 1 trên 1 trên 1 cộng cao nộc y cộng 1 trên 1 cộng cao nộc y Sau đó từng cái mà chúng ta ghép vào từng cái này nó sẽ thu được là tương đương với 1 trên 1 cộng x trừ 1 trên 1 cộng cao nộc y cộng 1 trên 1 cộng y trừ 1 trên 1 cộng cao nộc y lớn bằng 0 Đây là cái động tác cũng hay nhé tức là chúng ta có 2 bạn mà bên này có 2 bạn mà bên này là số 2 Vậy mình tách thành 2 bạn và mỗi bạn đi với 1 bạn tương đương Bây giờ mình nhân chéo nhân chéo và thu được cái mẫu là chung như thế này Thế thì nó sẽ thành là Cái này lên đây và cái này lên đây thì 2 số 1 khử đi Còn can xy chữ x đúng không? thì mình đặt được can x ra ngoài Đặt được can xy ra ngoài thì nó là can y chữ can x Còn mẫu là tích của 2 cái này Nhưng mà Nhưng mà nó có 1 cộng can xy này nó sẽ có ở đây Đây 1 cộng can xy và y thì tương tự chúng ta sẽ có là can y nó phán vị của cái này này can y nhân với can x chữ can y chỗ này là 1 cộng y nhân 1 cộng can xy lớn bằng 0 Thế thì chỗ này sẽ tương đương Có 1 điều là 2 cái nhân tử ở này là 2 nhân tử chung nhau mà nó dương thì mình được nhân chéo lên mình nhân chéo lên đi thì đây là không cho nên mình nhân chéo lên thì nó vẫn mất đi và ở đây có can x chữ can y là nhân tử chung mình đặt can x can x chữ can y ra ngoài Thế thì lúc nãy nó còn là can y trên 1 cộng y can y trên 1 cộng y trừ đi cái chỗ này là vì nó là can y chữ can x mà mình đặt là can x chữ can y cho nên chỗ này có dấu trừ cho nên nó trở thành là can x chia cho 1 cộng x lớn bằng 0 tương đương ở đây mình nhân chéo lên nhân chéo lên và 2 cái mẫu này là dương cho nên mình bỏ qua thế thì nó sẽ thành là x can y chữ cộng can y chữ đi y can x chữ can x lớn bằng 0 tương đương ở đây chúng ta có can x chữ can y chỗ này nếu mình ghép 2 này với nhau và có nhân tử chung là can xy can xy nhân với x chữ can y cho nên là mình rút can x chữ can y ra chỗ này còn là can xy và vì mình đặt can x chữ can y ra chỗ này là can y chữ can x cho nên chỗ này chúng ta phải trừ 1 lớn bằng 0 cái này lớn bằng 0 là đúng rồi này còn đầu bài xy lớn bằng 1 thế thì cái này là dương thì cái này luôn đúng rồi và chúng ta đã chứng minh xong cái bấn tức 2 số này sau khi chứng minh xong 2 số thì bây giờ mình sẽ đi chứng minh 4 số bằng cách áp dụng 2 lần thì chúng ta sẽ thu được cái 1 trên 1 cộng x cộng với 1 trên 1 cộng y cộng 1 trên 1 cộng z cộng 1 trên 1 cộng với bây giờ mình áp dụng luôn mình không phải để qua 4 số nữa mình chọn con t chọn con t là can vực 3 của xy mình chọn can vực 3 để cho nó giống cái này cho nó dễ chịu hơn thì áp dụng bất ẩn thức cos áp dụng cho cho bất ẩn thức 4 số theo con cách 2 lần của 2 số thì nó sẽ lớn hơn bằng 4 trên 1 cộng can vực 3 của à đây là can vực 4 đây là can vực 4 của à đúng rồi can vực 3 đây là 4 can vực 4 của can vực 4 của gì nào xyz và cái số t này đúng không xyz và can vực 3 của xyz thế nhưng cái này chúng ta vừa phản xạo lúc nãy rồi đây nó là tình huống này cho nên nó chính là 4 trên 1 cộng với can vực 3 của xyz đấy rất tuyệt vời nhé là vì 2 cái này bây giờ giống nhau đây là 1 đây là 4 cho nên khử 1 cái thì đây còn 3 và chúng ta thu được biểu phải chứng minh như thế này từ đây chúng ta suy ra biểu phải chứng minh chúng ta thu được cái quả này đấy thì qua cái ví dụ này thì chúng ta học được cái kỹ thuật 243 để đi chứng minh các bản thức dạng 3 số đây là 1 kỹ thuật khá là hay và chúng ta cần lưu ý nó