【麻省理工】公開課《經典力學》 P13 - 13. 單個對象的動量分析

記得在課程早期 我們測量了從步槍中射出子彈的平均速度 那是因為我們具備非常快速計時的能力 在過去 快速計時是不可能的 人們以非常精細的方式測量子彈的速度 我們所學過的所有工具 現在都可以應用在這個我們稱為彈道擺的裝置上 我們有一個擺錘 這裡懸掛著一個非常重的物體 我稱它為方塊 你可以在這裡看到 這個單擺的長度是 l 我們的約一公尺 我稍後會給你們精確的數字 我們有一顆質量為小m的子彈 子彈以速度v射入 完全被吸收 並停留在裡面 這是一種完全非彈性碰撞 接下來 擺錘將帶著子彈以速度 v' 移動 子彈就在這裡 動量是守恆的 因此我們明顯有 mv 等於 m 加 m 乘以 v 的質變 因此 如果你能測量v' 那麼你就能測量子彈的速度 也就是v 我們如何測量v' 我們等待擺槌停下來 假設在這裡 速度為零 當它在這裡時 它的速度是v' 這裡有動能 沒有重力位能 我可以將這個位置定為u等於零 但這裡 如果高度差是h 那麼所有的動能都轉換成了重力位能 所以我們應用定理 即功與能量定理 或者你也可以說這同樣有效 你可以說我們應用的是機械能守恆 這時的動能 也就是二分之一乘以（m加m）乘以v的平方 現在完全轉換成了重力位能 也就是 m 加上 m 乘以 g 乘以那個 h 而我們失去了 m 加上 m 所以 v 的導數就是 2gh 的平方根 因此你只需要測量 h 就能知道 v' 而一旦知道 v' 就能得知子彈的速率 但現實並沒有那麼簡單 這很難測量h 我可以讓你看到這一點 假設這個角度 角度θ 在停止時只有兩度 然後 h 也就是 l 乘以 1 減去餘弦 θ 在我 這裡所選擇的尺寸下僅為 0.6 毫米 對應長度為一米 那就是全部了 你甚至無法看到它 它是無形的 更不用說準確地測量它了 那麼我們現在該怎麼辦呢 好吧 我們將不會測量 h 而是會測量 x 我稱這個為x等於零 而當擺槌停止時 我稱那個為x 對於兩度角 x約為3½公分 你可以輕鬆地進行檢查 因此 與h相比 你在這個方向上會得到巨大的位移 如果使用小角度近似 你最好相信它 二度是非常小的角度 那你可以證明 這純粹是幾何數學 我就讓你自己證明吧 也就是 x 平方除以 2l我希望你證明這個結果 你從餘弦級數的展開式開始 而且你是在某處把它切斷了 這並不是那麼難證明 換句話說 v'平方 也就是2gh 現在可以被約為2g乘以x平方除以2l 也就是 g 乘以 x 平方再除以 l 因此子彈的速度 v 也就是 m 加上 m 除以 m…… 我把 m 帶下去…… 乘以 v 的導數 但 v 的導數現在是這個的平方根 所以我得到這裡的 x 乘以根號 g 除以 l 以一種非常巧妙的方式 通過將 x 放入其中 我們現在可以對子彈的速度進 行相當準確的測量 因為我們 可以相當準確地測量x值 可能x的不確定度只有幾個毫米 超過3 5或4或5公分 我們將測量這種子彈的速度 我們之前做過這件事 我們應該會得到一個不會差太多的數字 我認為我們得到的大概是每秒200到250公尺 我會給你這個實驗的輸入資料 子彈質量為2 ± 0 2 克對不起 我沒有提供所有以國際單位制為單位的數字 你當然需要將它們轉換為國際單位制 擺長為1 13公尺±2公 分我們無法確定 它的準確度約為2公分 那塊巨大物體的重量 我認為是3 200克 也就是3 2公斤 誤差約為2克 因此我們對質量的不確定性為10% 我們在長度上有一個2%的不確定性 在塊的質量上我們有可忽略的不確定性 這幾乎可以忽略不計 所以如果我想現在知道速度是多少 子彈的速度 我可以計算m加m除以m是多少 我可以計算g除以l的平方根 因此 我得到 4.7 乘以 10 的三次方再乘以 x我們必須測量 x 現在 如果你觀察整個過程中的不確定性 我們將 會測量x 這可能不是3½公分 可能是4或5公分 但我們測量的不確定性可能是一到兩毫米 設為0 2釐米 所以這還不是我們的實際數值 這樣就會有大約 2 除以50 等於 4 除以 100是 4% 這就是 4% 約百分之四 因此 我認為我們在 考慮所有不確定因素後 可以將子彈的最終速度準確度達到約15% 那麼我們來試試看吧 無意諧音 我們可以讓你看到那裡的鐘擺 非常迅速 而且設計得非常巧妙 當鐘擺開始擺動時 它會移動一個小物件 那就是這樣 我認為我可以再把它打開 我認為這樣很好 有一個非常小的雨刷 就是這個黑色的雨刷 當擺動桿擺動時 這為5公分 這為10公分 刮水器將停留在最大延伸處 當擺動桿回擺時 好的 當我們射擊子彈時 總是會有些風險 我這裡有槍機 把螺栓放進去 子彈放進我的口袋裡 有一顆 對的 子彈在這裡 我上膛了 一切準備就緒 對吧 所以你可以看著那裡然後看到這個巨大塊體的擺動 子彈會被這個塊體吸收 你準備好了嗎 三 二 一 零 我會說是5 2公分 看起來大概正確 所以x觀察值大約是5 2公分 而且我們已經知道15%的不確定性 所以現在我必須計算4 7乘以10的三次方4 7的三次方 乘以…… 我當然會用 MKS 所以是 0.052 也就是每秒 244 公尺 我記得上次我們有過類似的情況 所以子彈的速度大約是每秒244公尺 它略低於音速 即每秒340公尺 我們上次也得出了相同的結論 好的 我們在子彈擊 中木塊前擁有動能 你可以計算出有多少動能 因為你知道現在的速度和質量 動能是二分之一mv平方 你也可以計算當 子彈在這裡被吸 收時所具有的動能 這非常簡單 那是總質量的一半 m 加上m 乘以 v 乘以平方 你現在也知道了 所以到時候你可能會驚訝地發現 如果比較這兩者 那麼所有可用的動能中有99 94% 碰撞前的物質被摧毀 並因此轉化為熱能 當然 這確實發生了 熱能就是在那個塊體中產生的 現在我要轉向衝量的概念 這與我們剛才所做的並非完全無關 一個衝量就是給某人一腳 這就是衝量的含義 我們的子彈給這個方塊一個衝擊力 它給了它一腳 衝動 衝量是一個向量 它 被定義為在一段時間內 f dt 的積分 例如從零到 Δt 現在 f 等於 ma 也就是 dp dt 我們已經多次看到 動量的變化率 所以我可以將其代入這裡 因此 我發現從零到Δt的積分 dP/dt 這讓我進入動量的領域 我現在只是對dP進行積分 從某個初始動量pi 到某個最終動量pf 因此 這只是最終動量減去初始動 量 所以衝量所做的 就是改變動量 有一股力作用在某物上一段短暫的時間 這可能稍長一些 如你將看到的火箭所示 這會使它的動量發生變化 如果我們有一個物體掉到地板上…… 所以我們有一個質量為m的物體 然後我們把它掉到地板上 並讓它下落一段距離h 那麼它將以一定 的速度墜落到地面 我們知道它已經向下運動 速度為 這等於√(2gh) 如果這是一個完全彈性碰撞 當然取決於物體的質量 也取決於地板的質量 可能是超級碗或大理石 如果幾乎完全彈性 球 就會以相同的速度彈回來 如果這真的是一次完全彈性碰撞 那麼你就可以看到衝量 那顆球被給予…… 2 當球碰到地面時 那顆球被給予 地面對球施加了一個衝量 而且這個衝量等於 2mv 球的動量發生了改變 它最初是向這個方向移動 現在則是向這個方向移動 所以改變量是 2mv 因此 球受到了一個衝量 現在 如果碰撞是完全非彈性的 那個球就會像番茄一樣黏在那 裡我把一個番茄扔到地上 它會…… 一接觸地面就完全沒有速度了 那麼 當然 衝動只會是mv 因為那樣它就不會再彈 回來所以沒有…… 動量的變化就會比較小 這裡有兩個外觀相同的球 它們的質量為0 1公斤 所以質量 m 等於 0.1 公斤 我會將它們掉落 從大約 1.5 公尺的高 度這會使它們接觸地面時具有一定的速度 約每秒5 5公尺 因此動量的變化是 2mv 衝量等於 2mv 大約是 1.1 單位是千克米每秒 也就是如果碰撞時間是 delta t 秒 那麼作 用在這個球上的平均力就是在與地板碰撞期間的平均力 衝量除以時間差等於平均力 因為記得 這就是我們對衝量 的定義 所以如果我們知道衝量就能大致了解平均力的大小 而我將要掉落在地板上的球 我們已經進行了高速攝影 我將向你們展示使用不同球的高速攝影結果 但儘管如此 我們是用這顆球做到的這是我馬上要放到地上的一顆 就是這顆 這個撞擊時間只有兩毫秒 很難相信在兩毫秒內 整個碰撞過程發生了 所以如果你現在代入兩毫秒 那麼你得到的平均力是550牛頓 請想像一下 這個球的質量是0 1公斤 重量是1牛頓 在碰撞期間 它的重量增加了550倍 真是驚人的重量增加 它在撞擊期間所承受的平均 加速度是550倍重力加速度 人們打網球 而且他們的速度可以達到每小時數百英里 這些速度遠遠超過我們這裡的 是這裡的十倍 因此重量的增加也更顯著 現在 如果碰撞是完全非彈性的 也就是說如果是番茄或雞蛋的話 而這個不會彈起 平均力量仍然大致相同 原因是衝動將會減半 但如果衝擊時間也減半 衝量也減半 那麼當然 力 平均力 將會相同 非常高 但持續時間較短 所以我想要展示……哦 我現在想讓你看看這兩個球 其中一個幾乎是與地面完全彈性碰撞 這是否是完全彈性碰撞呢 這不僅取決於這個球是 否是彈力球 也取決於地 板的狀況 這不是一塊很好的地板 這不是大理石 所以當我放下這個時 它不會彈到這裡的這個點 所以這不是完全彈性的碰撞 但它幾乎完全彈起 因此它處於完全無彈性與完 全有彈性之間 完全沒有問題對吧 一點都沒問題 現在 看這個 注意看 看起來很像 但其實不一樣 這個完全沒有彈性 掉到地上後會發出砰的一聲 你只會看到一點點彈跳 就這樣而已 因此衝擊時間非常短 以彈回來的那個來說是兩毫秒 而那個撞出聲音的則是一毫秒 它們的平均重量 它的重量是正常情況下的約550倍 我想向您展示快速攝影 的結果 不是這同一顆球 而是我們另外一顆球的結果 讓我拿出來 而且這是一個以每秒 四公尺速度下落的球 每一幀是一毫秒 所以你會看到一把尺 並顯示有公分刻度 所以你會看到它在四毫秒內移動 它會移動一公分 所以它的速度是每秒2 5公尺 它會掉到地面 然後我們可以計算它接觸地 面並再次彈起所需的毫秒數 這不會只有兩毫秒 會稍微久一點 但同樣令人印象深刻地短 好的 我們會讓它變得相當黑暗 為了獲得良好的品質 我將關閉其中五個 我會把電視調到二 現在我要開始了 對 這樣就可以了 希望這樣能順利進行 好的 球下來了 這些標記的單位是公分 因此有一把以公分為單位的尺 這是一公分 我倒帶一點 因為我們稍微來晚了 好的 我們重新開始 注意當它經過這個標記時 一、二、三…… 你看到大約一厘米的距離需要四毫秒 所以是每秒2 5公尺現在我們來計算撞擊時的毫秒數 一、二、三、四、五、六 發射了 大約六到七毫秒 這只是一個普通的球 這些撞擊時間非常短 現在我有件非常特別的東西要給你 一件真正特別的東西 一件讓我睡不著的東西 在物理學中有很多事情讓我睡不著 不只是在物理學中 但是這……這非常特別 這非常特別 我這裡有一個籃球 不完全有彈性 但也不差 一個網球 不完全有彈性 但也不差 現在我要一起將它們垂直落下 然後這個球會以某種方式彈起來 那麼我問你的問題是 你認為如果我從這個高度掉下來 會怎樣呢 這顆網球大概只會彈到 這個高度 或者你認為 它會更低 或者你認為 它會更高 請憑直覺判斷 最壞的情況是 它可能會錯 他已經把手指往上推了 那你認為呢 網球會達到差不多的高度嗎 誰支持那個 誰支持更高的 哇 誰支持大幅提高 好的 好的 我會試試看現在 我不能保證你 這顆球在碰撞後會筆直向上飛 因為明顯地 那是不可能 的這完全沒有機會| 所以它可能會朝某個方向移動 但你會看到我原本想要的效果 那麼 就這樣了 你看到的 那顆網球確實彈得非常高 我再試一次 看看能不能讓它…… 再垂直一點彈起來 但是這非常困難 它的數值要高得多這是你應該能夠計算的東西 你可以 而且你會做到 相信我 這是第六次作業的一部 分你還沒有看到它 對了 就這樣 哦 天哪 這更好了 好吧… … 哦 你們有誰大概知道它會高多少呢 如果這個球的質量比這個球 高很多的話 當然 質量比也會 影響到這個結果 有什麼想法嗎 兩倍高嗎 你做完第六個作業時會感到驚訝的 高得多 好的 實際上你已經可以在此看 到它甚至比兩倍還要高很多 這是一個很棒的實驗 你可以自己在宿舍裡完成這件事 現在我想討論關於火箭的剩餘時間 火箭會受到引擎的衝量作用 而且這改變了火箭的動能 但在我們深入探討火箭 的細節之前 再想想這 個把物體扔到地上的概念 讓我們來談談番茄 我想要番茄是因為我想進行完全非彈性碰撞 所以番茄掉到了地板上 而且我並不是說…… 我不僅會把一個番茄扔到地上 我今天非常生氣 我會把很多這些番茄扔到地上 N 也就是南希 地上都是番茄 如果一個番茄掉到地上 動量的變化是mv 其 中m是番茄的質量 但我要把N個番茄扔到地上 因此動量的變化是 N 就 像南希一樣 等於番茄的質 量乘以速度 這是指每秒鐘 我扔到地上多少公斤的番茄 因此這是一種動量的改變 這等於動量變化量除以時間變化量 那是平均的力 因此 地板會受到向下的力 量當然 在這裡也是這樣 當球受到向上的力量時 我們在這裡計算過 地板當然也受 到向下的力量 牛頓第三定律 作用 力等於反作用力 因此 地板會感受到向下的力量 我可以把它以較為文明的方式寫下來 F 等於 dm/dt 乘以速度 如果砸到地板的番茄速度是恆定的 我們將把這個原理應用於火箭 也就是火箭排出的氣體相 對於火箭本身具有恆定速度 而這就是每秒鐘的公斤數 我把它扔到地上 這非常真實 我可以把這些番茄放在浴室秤上 如果我每秒鐘扔四公斤到浴室秤上 而且他們以每秒五公尺的速度撞上體重計 你絕對相信你會看到體 重計所承受的平均力量 約20牛頓 四乘五 如果不是番茄 而是超級彈珠 它會彈起來 那麼動量的變化就會是雙倍 因此體重計會顯示40牛頓 這確實是一件真實的事情這是一種真實的力量 你可以將其錄製下來 現在我要對你有點不愉快 我要朝你扔爛番茄 這裡是你 我這裡有一個番茄 而且這番茄一開始就沒有速度 讓我讓你稍微大一點 否則我甚至不會……我甚至不會打你 所以這就是你 因此我給這番茄某個速度 記為 v(x) 番茄打到你了 哼 也許它就停在那裡 這有可能 也許噗 它會滴下來 但不管怎樣 x方向的速率已經消失了 所以它以速度vx撞向你 然後x方向的速度等於零 這可能會造成混亂 你會感受到一個力 如果我一直在往你們身上丟這些番茄 你們將會感受到這樣的力道 而這股力道 當然是指這個方向 你得到所有這些番茄 並覺得這是一種力量 但現在看看這個問題的對稱性 這裡 速度從vx變為零 但當我扔出番茄時 必須 將速度從零增加到vx因此 出於明顯的原因 我必 須感受到這個方向的力 想像一下 這就像你射出子彈時的反作用力 所以我感受到相同的力 但方向是這個 而這 就是火箭的原理 一枚火箭正在噴出番茄 嗯 嚴格來說並不是番茄 它正在這個方向噴出高溫氣體 然後火箭會在那個方向感受到一個力量 那是火箭的基本概念 而它排出氣體的速度越高 所產生的反作用力也就越大 它每秒噴出的公斤數越多 MDT 就越高 作用在火箭上 的力量也就越大 而這作用在 火箭上的力量就稱為火箭的推力 因此 如果我們在太空中有一枚火箭 這裡就是火箭 火箭噴出氣體 其速 度為u 相對於火箭是 固定的 這是 化學能的燃燒 化學物質被燃燒 它以一定的速度噴出 接著火箭會受到一個力量 我們稱之為推力 而這個推力是由這個公式給出的 如果你知道每秒噴出的公斤數 以及你所稱 為u的速率 這將告訴 你該火箭的推力是多少 如果以土星火箭為例 這些 火箭曾用於登月任務……土星 對於土星火箭 速度 u 約為每秒 2.5 公 里所以氣體以每秒 2.5 公里的速 度相對於火箭排出 而且這種氣體釋放的速度驚人 每秒15公噸的物質 MDT約為每秒15 000公斤 簡直難以置信 這將為其提供推力 約3500萬牛頓的推力 這當然比火箭的重量還要大 否則 火箭永遠無法升空無與倫比的推力 我在作業第六題中也給你一個 不錯的問題 關於土星火箭 的你會再次看到這些數字 這些是四捨五入的 因此火箭從引擎獲得衝量 有一個力量作用在火箭上一段時間 我們稱之為點火時間 但當它們燃燒燃料時 火箭的質量減少 因為燃料被消耗掉了 因此 在燃燒期間的加速度會增 加因為質量減少了 這使得情況變得有些複雜 計算在點火期間 所獲得的速度變化 你書裡寫的 奧尼安 我覺得這個推導有點複雜 我也看了其他書終於在基普勒的物理學書中找到一個 而且他的推導過程…… 我會以一般性的方式來說明 我已經把它放在網路上給你們 應該會在今晚出現 所以你可能不需要做太多筆記 我只會重點指出其中的關鍵問題 完整內容都在網路上 吉普勒這樣做完全 是從你的觀點出發的 你坐在26 100室 看著這枚火箭升空 讓我們保留這個方程式 這就是火箭的推力 除了火箭的情況外 我們會稱之為 u 這是排出氣體相對於火箭的速度 而這就是我們所稱的推力 因此 讓我們現在考慮一個在時間 t 的火箭 從你的參考框架來看 你正坐在那裡……我使用v 的符號 這是你的參考框架 它以速度v向上移動 火箭的質量是m 現在我們來看一下時間t加上Δt 火箭的速度已經增加到v加上Δv 質量是m 讓我這樣做……不 不要用顏色 現在質量是m減去Δm 這裡有一點排氣 那是在相對於火箭的速度u下噴出的 相對於火箭的u 所以在26 100中 u會看到 這小塊質量delta m的速度 你會發現這等於 v 減 u 如果火箭的速度大於u 從你的參考框架來看 你可能會看到排氣向上運動 如果排氣的速度 火箭的速度更大 從你的參考框架來看 你會看到它往下掉 這在科學中已經解決了 現在我要比較這裡 的動量與那裡的動量 我們假設沒有外力作用在它上面 在宇宙某處 這枚火箭正在燃燒 動量必須守恆 動量在時間 t 等於 m 乘以 v 這非常簡單 這就是時間 t 時間 t 加上 Δt 的動量 是整個系統的動量 包括排出的氣體 如果我告訴你動量是守恆的 你不能忽視排出的廢氣 動量的守恆是整個系統的動量 火箭的動量會改變 而且排氣的動能將會改變 但系統本身不會 因此我們將計算質量乘以速度 質量減去微小質量乘以速度加上微小速度 加上動量變化的Δm 其速度為v減u 這有多大呢 當然 這裡有 mv 加上 m 乘以 Δv 這裡你看到的是 Δ( mv)這裡你看到的是 mv 然後你會得到 -uΔm 而這裡的 Δ(mv) 會與那裡的 -Δ(mv) 抵消 而且這個名詞 ΔmΔv 是兩 個極小數字的乘積 我忽略這個 因此這是 t 加上 Δt 時的動量 而這是時間 t 時的動量 所以動量的變化 Δp 這必須為零 因為動量是守恆的 就是 m Δv 減去 u Δm m Δv 減去 u Δm 我可以對這個方程式求導 所以我在左邊得到 dp/dt dp dt 將會是零 因此我得到零等於質量乘以速度變化的率 但速度變化的率就是火箭的加速度 減去 u d m d t 而且這是火箭的推力 所以你看到這裡的東西是 非常容易消化的 那個馬 也就是… 這是火箭的加速度 這是火箭在時間 t 的質量 等於火箭的推力 以及這等於u乘以dm除以dt 有些人稱這個為火箭方程式 現在 這是真的 如果系統沒有受到外力作用 有趣的是包括一次從地球發射的實際情況 如果你有一次從地球發射的實際情況 然後火箭是朝這個方向上升 但重力卻正好是相反的方向 換句話說 只有當你從地球垂直發射時 才會有這樣的推力* 而且你會得到這樣的引擎 在這種情況下 這個方程式必須進行調整 然後你會得到 ma 等於推力質量減去重力質量 只有在你從地球垂直發射的情況下才可能 現在你必須做一點點調整 我就讓你自行調整 需要幾個積分 才能將其轉換為火箭的最終速度 燃燒後的速度與初始速度相比 而這部分我將留給你 但你會發現我在網路上 留下的筆記中詳細說明了 然後你會得出一個非常著名的方程式 火箭的最終速度減去火 箭的初始速 度等於負的u 乘以火箭最終質量 除以初始質量的對數 這是指完全沒有重力的情況 僅在從地球垂直發射的情況下 這裡也有一個術語 即減去gt 只有在從地球垂直發射的情況下 當我觀看自己的講義時 發現在 熱情之下 我錯誤地在減號周圍加 上了括號 這會造成很大的誤導 因為這可能會讓你產生錯誤的印象 這裡涉及的是一個產品 這 並不正確 因此 括號應該 不會出現在減號的周圍 這 個項是負的u對數乘以mf m 除以 i 減去 gt 讓我們現在更詳細地看一下這個方程式 以便 對它有更深入的了解 假設我們從地球垂直發射 但我們沒有火箭 這有可能 所以這個術語不存在 你看到什麼那就是速度等於初始速度 我們之前在 8.01 v zero 中提過這 個這是初始速度 - gt 哈 我們在第一次講課時就得到這個結果 完全符合這個方程式 如果你沒有火箭 你得到的就是 v 等於 v 零減 gt 如果你將物體垂直向上拋出 而我們進行了垂直發射 所以看起來很好 我們從地球出發 現在我們的初始速度是零 火箭靜止在那裡 我們點燃火箭 T 是火箭的燃燒時間 我來記下來 T 是燃燒時間 初始速度為零 因此 現在這個最終速度… …如果我們希望這個最終速度具有任何物理意義 為一 個正數 這個東西就必須是正的 而且你會說 那麼 這怎麼可能呢 因為這裡有一個負號 那裡也有一個負號這怎麼可能變成正數呢 好吧 別忘了最終質 量總是比初始質量小 因為你消耗了燃料 因此這個對數總是負數 因此 這個術語總是正的 只要燃燒任何燃料 現在當然 為了使這個速度成為一個 實際的、有物理意義的值 這個詞必須消滅這個詞 必須比這個詞更大 否則火箭根本無法升空 你可能一直在噴出燃料 而且火箭會靜靜地停在那裡 因為向上的推力實 際上不夠將其抬起 因此在垂直發射的情況下 第一個項必須戰勝第二個項 讓我們用一些數字來舉個例子 始終會提供一些見解 我們的燃燒時間大約是100秒 初始速度為零 而且讓我們以u為每秒 1000公尺的情況為例 這比土星火箭還要慢 但仍然相當大 每秒一公里 因此 排出的廢氣相對於 火箭的速度是每秒一千公尺 而最終質量與火箭初 始質量的比率是0 1 所以90%都被燒掉了 耗盡的燃料 燃燒結束時只剩下10% 因此現在我們 可以計算 如 果這是從地球發射 垂直發 射向上 我們可以計算這個 項的大小 對這個值取對數 乘以負的u 然後我們發現最終速度…… 第一項是2 300 以及第二項 100秒 這代表十 是減1 000 所以你必須為重力場付出代價 所以你得到大約每秒1 3公里 這是該火箭的最終速度 這些是每秒公尺 而這是每秒公里 現在 如果沒有重力 那麼速度的增加 這個差異 將是每秒2 300公尺 此外 如果沒有垂直發射 但如果例如 火箭是在地球軌道上 這裡我們有火箭 並繞地球軌道運行 當然 儘管存在重力 但重力現在並沒有做任何功 因此 如果你讓這枚火箭 飛行100秒 速度的變化 也就是切向的變化 也將是每秒2 300公尺 你不能說 現在有重力 所以我們必須考慮gt項 這個方程式也是一樣的 如果你有一個物體朝這個方向移動 這項減去 GT 項也不會存在 當然 這只在處理垂直運動時才會如此 必須清楚認識到這一點 這一點非常不直觀：當燃 燒一定量的燃料一段時間後 會得到速度的固定變化 這對於一定量的燃料來說是固定的 動能的變化並不是固定的 我會給你一些數字 讓你可以立即自己驗證 這一點非常不直觀事實上 這是許多物理學家常犯的錯誤 他們認為如果你燃燒相同量的燃料 同一枚火箭在相同時間 內的動能增加是既定的 這並不正確 真正 既定的是速度的變化 假設最終速度減去初始速度 等於每秒100公尺 這只 是一個給定的數值 我有一 枚火箭 我有某種數量的燃料 我燒毀它 這就是我的速度變化 我從初速度為零開始 所以我的動能增加 就是二分之一乘以十的平方 也就是一萬 這就是我從這場燃燒中得到的結 果現在我又使用同樣的火箭| 同樣的燃料量 同樣的燃燒時間 所以我又得到結尾速度 減去起始速度還是 100 這完全一樣 但是在燃燒之前 這枚 火箭的初始速度為每秒1 000公尺 現在 動能的增加是多少 最終速度現在是1 100 這一點不容妥協 因為火箭會改變動量 使速度改變固定數量 因此現在動能的增 加量等於二分之一乘 以1100的平方 減去1000的平方 這是新的速度 而這是舊的 這個數字是二十分之一乘以200 000 這可能是焦耳 這也是焦耳 這個數字是20倍高 所以你看到速度的變化 是完全相同的 火箭燃燒的時間相同 燃料消耗也相同 但如 果火箭起始速度更高 其動能的增加會大得多 我們在26-100這裡製作了自己的火箭 這是一個非常實用的模型 並無雙關之意 但它卻相當強大 而且我想把它展示給你 因為我們對它感到非 常驕傲 作為火箭 我 們使用滅火器 二氧化碳 這項了不起的發明我這裡有…… 這枚強大的火箭 足以達到26至100的逃逸速度 我幾乎達到逃逸速度 但還是墜毀了 下週五見