【麻省理工】公開課《經典力學》 P22 - 22. 十六至二十四課複習

你看到這裡的是週一你將要面對的主題 明顯地 我在一次考試 中無法涵蓋所有這些主題 所以我必須在週一做出選擇 今天我 也必須做出選擇 我無法在任何深度上對所有這些主題進行充分的探討 所以我將會 蝴蝶飛過他們身上 有些我甚至不會觸碰 然而 未被覆蓋的部分 今天很可能會出現在試題中 你會遇到很多方程式 幾乎每一個 我能夠想到的方程式都會出現在你的試題上 週末還有特別輔導 你可以於週六和週日到網路上查證 我們先從完全非彈性碰撞開始 完全非彈性碰撞 我們有質量 質量為 m1 的物體與質量為 m2 的物體 這是一個一維的問題 這個物體的速度是 v1 這個物體的速度是 v1 而這具有速度v2 它們碰撞後 一起移動 因為這就是完全非彈性碰撞的含義 它們的速率 為v' 如果系統沒有受到淨外力 動量必須守恆 因此我現在有 m1 v1 加上 m2 v2 必須等於 m1 v2 加上 m2 乘以 v' 一個方程式 一個未知數 v' 立刻就可以得出 你可能會說 天啊 你應該把箭頭放這裡才對 不過 如果 是單維碰撞的情況 你可以不加箭頭 因為符號會自動顯示 照顧好那個 動能並未守恆 碰撞前的動能等於 一半的 m1 乘以 v1 平方加上一半的 m2 乘以 v2 平方 碰撞後的動能 等於二分之一乘以m1加m2乘以v的平方 你可以輕易證明這始終成立 即使在完全非彈性碰撞中也少於此值 總是有動能被破壞 並以 熱能的形式釋放出來 現在我們來做一個彈性碰撞 我現在加上 完全彈性 但彈性本身已足夠 因為這意味著動能 能量是守恆的 我從相同的初始條件 m1 v1 m2 v2 開始 但現在之後 碰撞發生時 m1 可以往這個方向走 也可以往那個方向走 我不知道 但這可能 這是 v1 prime 這可能是 v1 prime 然而 m2 始終會朝這個方向進行 那就是 清楚 因為如果你被物件一從後方擊中 碰撞後你當然會朝這個 方向移動 同樣地 我們不需要在上面加上箭頭 因為這些標誌 在一個維度的情況下照顧它 這將是正的 然後 它可能是…… 你可以將其作為你的慣例 如果它朝這個方向發展 那麼結果 將是負的 因此 如果你發現v1'減去某個值 這表示它彈回來了 因此 如果系統沒有受到外力 我們就可以應用動量守恆定律 內部力量是沒有問題的 好的 現在我們有 m1 v1 加上 m2 v2 m1v1' + m2v2' 等於動量 守恆現在我們得到動能守恆 因為我們知道這是完全彈性碰撞 二分之一 m1 v1 平方 二分之一 m2 v2 平方 這是碰撞之前的能量 碰撞之後 一乘以二分之一 m1 v1 平方加上一乘以二分之一 m2 v2 平方 兩個方程式與兩個未知數 從理論上來說你可以解出v1'和v2' 除了可能需要花費較多時間之外 在考試中 當遇到這樣 的問題時 通常會遇到一種情況 即 m1 被設為 m2 或者 m1 比 m2 大很多 或者 m1 比 m2 小很多 就像敲打一樣 籃球落在乒乓球上或乒乓球落在籃球上 我將為您做一個非常簡單的範例 即現在假設 m1 等於 m2 而我 會稱它為 m 我甚至會通過讓 v2 為零來簡化問題 因此第二個 物體是靜止的 一維碰撞 一個撞上那個物體 非常特殊 動量守恆現在變得簡單多了 m乘以v1 沒有v2 等於m v1的變化量加上m v2的變化量 動量守恆 動能的一半 m v1 平方等於 m v2 側 一半 m v1 側平方加上一半 m v2 側平方 注意現在我失去了 我這邊的m 這非常方便 這裡我失去了我一半的m 甚至這 也很容易解決 如果你將這個方程式平方 你會得到一些東西 看起來非常相似 如果你將其平方 就會得到 v1 平方等於 v1' 平方加 v2' 平方加兩倍的 v1' 與 v2' 的乘積 並比較這個方程式與那個方程式 它們幾乎完全相同 只是這個項不同 所以這個項必須為零 但我們知道 v2 的導數不為零 它被踢了 和 因此它將繼續進行 那麼這意味著 v1' 等於零 而如果 v1' 等於 等於零 你會發現v2'等於v1 這就是經典的情況 一 個球撞到另一個球 這個球沒有速度 它以一定的速度撞上去 它們的質量相同 碰撞後 這個靜止不動 而這個則開始移動 超過速度 著名的牛頓擺 你經常會看到它與擺錘一起出現 它就是 8 01首頁上的標誌 當我們在課堂上討論過這裡的示範時 我已經給你看過了 好的 我們繼續 來做點什麼吧 現在我們來談談扭力、角動量、旋轉 並來討論一下阿特伍德機器 阿特伍德機器是一種巧妙的裝置 可以相當準確地測量 重力加速度 這裡有一個滑輪 滑輪的質量為 m 具有 半徑為 r 的實心圓盤 繞點 P 無摩擦地旋轉 半徑為 r 這裡有一條繩子 靠近無質量處 我們忽略質量 質量 m2 在這裡 質量 m1 在這裡 假設 m2 比 m1 大 那麼這會朝這個方向加速 這也會朝這個方向加速 而這會開始以角速度旋轉 速度ω 這將是一個函數 現在我們要做的第 一件事就是畫出受力圖 這個的受力圖很簡單 m1g向下 T1向上 對於這個 我們有m2g向下 我們有T2向上 滑輪的情況稍微複雜一些 這就是點 P 如果這裡有張力 T1 它會向下拉動滑輪 所以這是 T1 而這是 T2 它正在拉動滑輪 因此有 T2 它有質量 所以重量是 mg 滑輪上所有力量的總和必須為零 否則它會自己加速 向下移動 而事實並非如此 因此必須有向上的力量 我會稱之為N 而這個力N必須抵消所有這三個力 以便使它們平衡 必須是T1加上T2再加上毫克 我們在後續計算中將不再需要它 但從某種意義上說 必須有一個力量來固定它 因此 我們現在要計算繩索不打滑的情況下的加速度 這表示滑輪處有摩擦力 而不是這裡有摩擦力 否則繩索就會滑動 繩索就會滑動 如果沒有打滑 表示繩索移動一公分 輪子也會轉動一公分 也表示在沒有打滑的情況下 輪胎周圍轉動了1釐米 這意味著繩子的速度 v r…繩子的速度必須 等於滑輪的角速度乘以半徑 r 這就是無滑動的含義 因此 加速度是繩子速度的導數 A 等於角加速度 ω 據 點乘以 r 也就是 α 乘以 r ω 是角速度 α 是 角加速度 這是條件 這是重要的條件 用於 防止滑動 那麼讓我們現在從第一個物體開始 寫下牛頓第二定律 我稱這個方向為物體 一的正方向 這個方向為物體二的正方向 這對我來說比較簡單 所以我們得到 T1 減去 m1 g 等於 m1 A 一個方程式 我不知道 T1 是多少 我不知道 A 是 這個的第二個方程式 我稱之為正方向 m2 g 減 T2 必須等於 m2 A 第二個方程式 已經增加了一個未知數 所以我需要更多 當然我需要更多 我也必須考慮滑輪 滑輪上的淨力為零 這就是為什麼它會保持固定 但會旋轉 因為這個力T2 比 T1 大 相對於那點 P 有一個扭力 和力矩被定義為 r 與 F 的叉積 相對於點 P 的力 矩大小 就是這個位置向量乘以這個力 那就是黑板上的力矩 黑板上的東西我稱之為正向 這個力產生的力矩是向外的 黑板上我將這稱為負值 由於這個角度是90度 我直接 得到相對於點P的力矩等於圓柱體的半徑 圓柱體的半徑是 那個滑輪的力矩是 T2 這是正的部分 而負的 部分是半徑乘以 T1 注意這兩個力的方向相反 透過 P 點 不會對扭矩做出貢獻 而現在這等於該點 P 的轉 動慣量乘以角加速度 但因為沒有滑動 角加速度等於加速度除以半徑 由 r 所以是點 P 的轉動慣量乘以 A 除以 r 但因為這是一個繞其質心旋轉的圓盤 我知道轉動慣量 慣性 我查了一下如果你在考試中讀到它 你會發現它就在考試中 那是二分之一 m r 平方 二分之一 m r 平方乘以 A 除以 r 而我失去了一個 r 因此我發現T2減T1等於二分之一m A 注意我也失去了第二個r 現在我有了第三個方程式 我 我可以解出T2 我可以解出T1 我也可以解出A 你也可以做到和我一樣 如果你找到了結果 你應該總是 進行一些測試 以確保你的結果有邏輯 你應該做的就是說……確保 m2g 比大 T2 這必須做到 否則就不會加速向下 你 也應該確認T1的值比 m1g大 這也是必須的 你還應該確認 T2 比 T1 大 否則滑輪將不 會順時針旋轉 這也會很有用 雖然這只是一個小細節 檢查 將你的結果代入 m1 等於 m2 這樣應 該會得到加速度等於零 並得到 T1 等於 T2 這些都是明顯的事情 而且可以非常簡單地完成 這不會花費你超過十秒鐘的時間 如果其中任何一項未達到 那麼某處就會出現問題 你犯了錯誤 這給了你再次審視問題的機會 好的 現在我們來做另一個問題 一個物理擺的簡諧振動 我這裡有一根質量為 m、長度為 l 的桿 正在旋轉 這裡是一根垂直於黑板且無摩擦力的軸 這是桿的中心 讓這個角度為θ 相對於點 P 有一扭矩 也有一個通過點P 的力 但我甚至對那個力都沒有興趣 我知道這裡有mg 因為我要以點P為參考來計算力矩 所以我不用擔心這個力 但必須有一個力經過該點 否則 這個規尺會以重力加 速度g向下加速 如果這是唯 一的作用力的話 但是我們知道情況並非如此 它會擺動 因此 必須存在一個作用於 P 點的力 我不想知道那是什麼 但確實必須存在這樣一個力 相對於 P 點的力矩大小 這是從這裡到這裡的點 P 的位置向量 r 與這個力的叉積 因 此等於二分之一 l 乘以 mg 乘以角度的正弦值 那就是…… 角度是θ 所以就是θ的正弦值乘以 叉積中包含角度的正弦值 因此 這就是相對於點 P 的力矩 這也必須是繞點 P 的轉動慣量乘以角加速度 與我們剛才得到的沒有什麼不同 滑輪 因此 α 等於 ω 導數也是 θ 双導數 這個 ω 是角速度 這是角速度對時間的導數 而導數給出我的角加速度 這裡必須有一個負號 這很重要 因為力矩是回復性的 這種 情況和我們之前有彈簧時的情況相同 我們當時在振盪一個彈簧 彈簧的彈力為 -kx 這裡的負號所扮演 的角色完全相同 所以我可以寫下 -Iθ 雙點 現在 如果我們採用小角度近似…… 小角度近似 那麼當角度以弧度表示時 正弦值θ近似等於θ 弧度 因此現在我可以將這裡的正弦θ替換為θ 這 樣我發現 如果將這項移到另一邊 我得到θ的二倍 點加二分之一重量乘以轉動慣量關於 點P的轉角等於零 不用說我非常高興 在高濤時 因為我看到這裡有一個明確告訴我我們有 簡單的簡諧震盪的方程式 θ雙點加上一個常數乘以θ 是零 因此我們必須得到解θ 必須是某個最大角度乘以餘弦ωt加減π 這個歐米伽與那個歐米伽沒有關係 這是角頻率 這與振盪的週期 t 有關 這等於 2π 除以 ω 這是一個常數 這個 ω 不是常數 在物理學中我們使用相同的符號實在是令人遺憾的 事當物體靜止時 角速度為零 當物體在此處時 角速度達到最大值 那個omega始終是一樣的 它與完成一次振盪所需時間有關 這兩個都稱為歐米伽 都是每秒弧度 真是再清楚不過了 好的 如果我們找到 I 的值 那麼我們就可以求出頻率、 角頻率 並求出週期 所以讓我們來計算轉動慣量 關於點 P 為此 我們必須應用平行軸定理 因為你可能會被給出繞某軸旋轉的轉動慣量 關於通過質心的軸 與此軸平行 然後你必須加上質 量乘以這兩個軸之間距離的平方 以應用平行軸定理 定理 因此 這是在質心處的轉動慣量 加上質 量乘以距離的平方 而這距離是這兩個之間的距離 軸是半長l 所以這是一半l的平方 我查表得知繞棒中心旋轉的轉動慣量是多少 垂直杆與軸垂直 其值為十二分之一 m l 平方 加上四分之一 m l 平方等於三分之一 m l 平方 因此 我現在知道p的值是什麼了 現在我可以求出角頻 率ω的值 我會在這裡進行計算 以便我們保持所有內容的完整 在黑板上 所以這個符號 這是omega平方…… omega平方等於一半的m g除以三分之一的m l平方 我少了一個l 少了一個m 這很常見 在重力中總是會遺失你的m 因此 這是三又二分之一克除以l 一次振盪的週期是二乘 以π除以omega omega是這個值的平方根 所以那就是 成為根號三分之二乘以l除以g 這就是這個規尺 振動的週期 我們在課堂上曾經研究過類似的情況 而且我們甚至測量了週期 發現與理論預測有 非常好的一致性 現在你可以問 動能是多少 這根桿的旋轉週期會隨著時間而改變嗎 旋轉的動能是二分之一 i 乘以角速度的平方 請記住 線性動能是二分之一 m 乘以速度的平方 當你進行旋轉時 m 會變成 i 而 v 會變成 ω 因此 旋轉的動能等於二分之一 i 乘以 ω 的平方 你會在考試中看到這個方程式 這是關於那點 P 的 i 你清楚θ是時間的函數 所以ω等於dθ/ dt因此你可以找出ω是多少 你知道P的i是多少 我們剛算出 所以你知道在任何 時刻的旋轉動能是多少 它會改變 當它停止時將為零 而當它到來時將達到最大值 這是一種從重力位能持續轉換為動能的過程 這裡的重力位能達到最大值 而動能也在此達到最大值 因此 這顯然會隨著時間而改變 旋轉的動能 我認為問題8 1是個很好的例子 說明如何在我 們擁有橢圓軌道的情況下應用開普勒定律和牛頓的萬有引力定律 軌道 這裡有一顆行星 質量為m 半徑為r 它並沒有自轉 也沒有大氣層 我承認 這有點人工化 我們發射一顆衛星 衛星在此獲得的速度稱為 v零 就在這裡的表面 以及這個20度的角 我們被告知最遠的點距離是五個行星半徑遠 那麼如果我試著描繪橢圓軌道 假設速度是瞬時的 達到這個點 這表示這個點也必須是軌道上的一個點 如果我試著畫一張草圖 那麼這個橢圓軌道看起來會像這樣 大概就像這樣 接著這個距離是五單位 我稱這個點為A 也就是離中心最遠的點 顯然衛星會墜落 回到這顆星球 但這與我們無關 當我畫這個橢圓時 我假設行星的所有質量都位於橢圓內部 例如 就在這裡 實際上並非如此 因此只有這一部分 橢圓的這部分是現實的 當然 這部分不是 您被要求僅根據的資訊來計算v零的值 五個質量和二十度以及在質量上的速度 我可以在此加上這裡的速度 在A點 當它距離最遠時 我甚至可以再加上半長軸 的長度 即2A 所有這些都隨著初始條件自動產生 條件以及它延伸五倍行星半徑的知識 角動量 l 等於 r 與 p 的叉乘 此物體的角動量是守恆的 在軌道上 質量為小m 但僅當相對於該點的角動量時才成立 我不知道我那一點叫什麼 看起來我把它稱為p 我幾乎看不清楚 暫時叫它c好了 所以這個物體在這個軌道上的角動量相對於任何一點都不守恆 但這只是相對於此點的守恆 因此 此時相對於 點c的角動量是位置向量 即大寫R 乘以速度 但我要把它乘以20度的正弦值 所以這是 m 這是 mv 對吧 所以在這裡我們得到一個 v 零 在這裡我們得到一個大寫的 R 而我們 計算20度的正弦值 R乘以mv 這裡的角動量也必須如此 角動量在黑板上的事實與我無關 我只想知道其大小 當物體在這裡時 角動量 是位置向量 長度為5r 速度是a的v 但角度現在是 90度 因此角度的正弦值為1 所以我得到m乘以va乘以5r 我失去了我的小m 我有一個含有兩個未知數的方程式 我不知道v零是多少 也不知道v的a是多少 我需要另一個方程式 嗯 這些是保守力 我們處理 的是重力 所以機械能必須守恆 或者我們所使用的 用來說明系統的總能量是守恆的 系統的總能量是動能加上位能 必須被保存 在這裡必須和那裡一樣 這裡的總能量是多少 動能是二分之一 m 乘以 v 零的平方 這裡的位能是負的 m mg 除以它到中心 的距離 也就是大寫 R 這就是這裡的總能量 這裡的總能量不可能改變 因此必須是二分之一 m v 平方減去 m mg 但現在距離等於5r 除了我失去了我的小東西之外 我有一個第二個方程式 我沒有加入任何未知數 所以我有兩個方程式 有兩個未知數 v零和v的a 你可以解出它們 你可以找出兩者 有趣的是 你也可以找出 半長軸 因為系統的總能量也是負的 m mg除以 2a 這個方程式也出現在你的考試中 因此 如果你知道 v 零或 v a 那麼你就可以…m 會被消去 你也可以計算半長軸 好的 多普勒位移 我們來解決多普勒效應的問題 首先 電磁輻射的多普勒效應 例如 光、無線電波、X射線 有一顆恆星相對於我們移動著 與之相關的 速度 v 由於我們處理的是電磁 辐射 我們不需要問恆星是否相對於我們移動 但我們是 相對於恆星移動 這個問題在相對論中是毫無 意義的問題 你就在這裡 你正在接收一個頻率 f 的導數 這裡是這顆恆星 這顆恆星以某種速度移動 假設這速度為 v 這角度為 θ 那麼我們方向上的速度分量就是 v 乘以 cosθ 我們稱之為徑向分量 無論恆星是朝我們移動還是我 們朝恆星移動都沒有差別 如果恆星的速率遠遠大於 比 c 小 那麼你將得到的 f' 等於 f 乘以 1 加上 v除 以c 再乘以 theta 的餘弦值 這個方程式在你的考試中 c 為每秒三萬公里 如果餘弦θ為正數 物體正在接近 你會觀察到更高的頻率 如果餘弦θ為負值 物體正在遠離 徑向分量是遠離我們的 頻率較低 在光學天文學中 我們無法測量頻率 我們只能測量波長 波長與頻率之 間的關係 λ 等於光速除以頻率 因此我們可以將這個方程式中的 f 替換為 c 除以 λ 而 f' 則為 c 除以 λ' 當我們這樣做 同時也利用這個 近似值 當x遠小於1時 1除以1加 x約等於1減x 這是泰勒級數中的首項 擴展後 你會發現現在 λ' 變成 λ 乘以一減……有一個負號 加號變成了負號 因此 時間除以速度乘以餘弦θ 請注意這裡有徑向速度 這裡也有 如果λ' 大於 λ 物體正在遠離我們 我們稱之為紅移 物體正在退行 如果λ' 小於波長…小於λ 我們稱之為藍移 因為在此時波長變短 朝向光譜的藍端移動 光譜 這裡它變得更大 並 向光譜的紅色部分移動 藍移 表示該物體正在向你靠近 在我們討論這個問題的講座中 我們以λ′/λ等於1 00333為例 如果將其代入此方程式 你會發現v cosθ等於-100 每秒公里數 這代表什麼意思 你只知道徑向速度 你永遠無法得知角度的資訊 那徑向速度是每秒100公里遠離我們 或者我們正在移動 每秒100公里遠離恆星 這在相對論中是相同的情況 如果我們將此應用於聲音 就會得到一個非常相似的方程式 假設你靜坐不動在26 100 而我將聲源移動到你那裡 但你沒有移動 然後你會得到一個類似的方程式 f' 你將聽到的頻率 等於 f 時間乘以v除以v的聲音乘以餘弦θ 而聲音的速度大約是340 每秒幾公尺 在室溫下 換句話說 如果我將某物在你所 在的平面上繞著圓圈旋轉 當物體來到這裡時 你就在這裡 你聽到的最高頻率 f' 比 f 大 當它遠離你時 你聽到的頻率會降低 比 f 小 當物體在這裡且角度為90度時 當餘弦θ為零時 你會發現f'等於f f'等於f 所以當我旋轉某樣東西的時候……假設我以每秒3 4 公尺的軌道速度來旋轉它 只是為了得到一個軌道速度 好的數字 那麼這就是0 01 所以如果它出現在你面前 你會聽到一個增加的聲音 當聲音遠離你時 你聽到的頻率會減少1% 我這裡有一個產生大約1 500赫茲的聲源 我可以把它轉動 每秒轉一次 這樣就能讓它轉兩次 以這個速度 當聲源靠近你時 你會聽到頻率增加百分之二 而當聲源遠 離你時 則會聽到百分之二的減少 你能聽到多普勒效應嗎 它總是如此 在講堂裡很難聽清楚 因為牆壁會產生反射聲 當聲音朝你來時 你能聽出音調比它遠去時更高嗎 你說的是什麼 好 滾動的物體 我們來滾動點什麼吧 沿著山下滾去 經典問題 在考試中經常會看到這類問題 我們拿了一個球 然後把它滾下斜坡 這是斜坡 角度是β 這裡是球體 它是一個球體 它是一個實心球體 它有質量 m 半徑為 r 和 這是一個實心的球體 這是這個球體的中心 我稱這個點為 P 我盡可能地動用了所有力量 這裡有魔導 在這個階段P 正常來說 當物體在表面滑動時會產生摩擦力 這就是摩擦力 摩擦力與正向力的總和稱為接觸力 這就是接觸力 與斜面推回球體的力相對應 但我們通常會將 其分解為沿斜面方向和垂直於斜面方向的分量 因此 這個物體所受到的只有這三種力量 我可以問你現在 這個物體沿斜坡下落的加速度A是多少 我也可以問你…… 是摩擦力 我會問你 在純滾動的條件下 什麼是純滾動 意思是說 如果這個輪廓這裡移動了1公分 那麼 重心也移動了一公分 這意味著速度 中心的這速度 v 在任何時間都是 ωr ω 是隨時間變化的角速度 這就是純滾動的狀態 在任何時間點 如果我有一個旋轉的球體或圓柱體 周向速度 永遠都是 ωr 它可能靜止不動 只是這樣旋轉 像這樣滑動 地心不動 則圓周速度始終為ωr 但如果中心 也以相同的速度移動 這時我們才稱之為純滾動 如果你對其求導數 由這一點 你可以得到 A 等於角速度乘以 r 這等於αr 其中 α 為角加速度 好的 我們現在將寫下： 扭矩相對於該點C 如果我以C點為參考 那麼我將失去重力mg的作用力 力量 N 我唯一需要對付的力量就是這個 對於轉矩而言 指向C 扭力在黑板上的事實對我來說毫無關係 我只關注於 想了解其大小 那就是 r 乘以摩擦力 r 乘以摩擦力 那必須 就是該點 P 和該點 C 的轉動慣量乘以角加速度 我們已經 r次A除以r 這是其中一個方程式 我將A視為未知數 而Ff則是 一個未知數 但這還不夠 我需要更多 牛頓第二定律始終成立 中心 質心的問題 質心必須始終滿足 F 等於 ma 所以我所做的就是 現在我要來到質心 並問 有哪些力沿斜坡向下作用 我 不感興趣的是垂直於斜坡的力 只對沿斜坡方向的力感興趣 沿著斜坡下去 那一定是媽媽 這一點毫無疑問 因為那是品質特徵 質心的中心 嗯 這個是上坡 而唯一下坡的是那個分量 沿斜坡方向的重力分量為 mg sine beta 我稱這個方向為正方向 因此得到 mg sine beta 減去摩擦力等於 m 乘以 A 我的第二個方程式……我有兩個含有兩個未知數的方程式 我可以解出來 A 是一個 未知數 而摩擦力也是一個未知數 你也可以做到 我也可以 我只需要 給出結果 我不希望浪費你時間在代數上 A 加速度 在純滾動的條件下 但僅在純滾動的條件下 等於 m r 平方乘以 g 乘以 sine β 除以 mr 平方加上該點 C 的轉動慣量 而摩擦力 你可以看到 從這個方程式來看 是轉動慣量乘以 A 除以 r 的平方 我會將 A 保持不變 因為否則會變得太複雜 因此 摩擦力變成了 轉動慣量乘以 A 除以 r 平方的瞬時值 因此這裡的 A 必須代入 加速度與質量無關 與半徑無關 非常難以直覺理解 無論你拿一個球體還是其他形狀 這都沒有關係 這大小或這大小都沒關係 不管質量是多少 原因在於 正如你很快會看到的 慣性矩也包含m r平方這個項 所以所有的m r平方都會消失 讓我們先看一下與相關的β 當β等於零時 A也必須等於零 如果沒有斜率 就不 可能有任何加速度 當A等於零時 摩擦力也必須等於零 也為零 必須如此 這是一個你可以進行的簡單檢查 以確保內部一致性 檢查 那麼 讓我們現在來看看 I of C I of C 我查了一下表格 一個球體繞質心軸旋轉 其中我恰好記得的是二分之五乘以m乘以r的平方 如果我代入那個 在這裡 我會發現純滾動條件下的加速度是五分之七 g 乘以正弦β 我發現摩擦力 F 等於七分之二 我認為 時間乘以正弦β 這些是代入轉動 慣量後的結果 讓我們仔細看一下這些結果 如果沒有摩擦力 我們知道加速度會是 g 乘以 sine beta 我們記得這一點 沒有摩擦力的滑動物體加速度會是 g 乘以 sine beta 現在為什麼比較低呢 五分之七比一低 因為 當這個物體滾下來時 總動能是旋轉動能加上 動能的直線部分 即由於這一半的質量乘以速度 平方而產生的前進運動 當一個物體滑動時 只有 線性部分 沒有旋轉動能 所以現在線性動能必須較低 因為一些重力位能 轉變成旋轉動能 因此它必須轉得較慢 因此加速度 也較小 這完全符合直覺 它小於g乘以β的正弦值 讓我們來看看摩擦力 這是一種純滾動的情況 我們知道摩擦力永遠不可能超過可能的最大值 那是不允許的 如果摩擦力達到最大值 物體就會開始滑動 這就不再是純滾動了 換句話說 有一個必要條件 即摩擦力 為二分之七 mg sine beta 必須小於最大靜摩擦力 但最大靜摩擦力為 μs 靜摩擦係數乘以這個值 n 而這個值 n 等於 mg 乘以 cosθ 因此 這就是 μs 乘以 mg 乘以 cosβ 我失去了 mg 這並不令人驚訝 因此一個必要的條件是靜摩擦係數必須大於七分之二乘以 正切值為α以實現純滾動 而非α我 不知道我哪裡不對 貝塔 當然 這在某種程度上令人愉快 因為這是在告訴你 而我們都憑直覺知道 你會有這種感覺 你的胃 如果角度太大 如果那樣傾斜 就沒有辦法了 你將會得到純粹的滾動 當然 它會開始滾動 但也會開始打滑 例如 如果你固定摩擦係數並說摩擦係數是0 2 那就表示β角 也就是β 必須小於35度 那只是個例子 所以這看起來很直覺 請記得在其中一堂課上 我們計算了在無 摩擦的氣墊導軌上滑動的物體的振盪週期 這是一個半徑數百米的圓弧 我們這裡有一個滑動物體 它在無摩擦的情況下滑動 我們推導出週期等於 2π 乘以 r 除以 g 的平方根 就像它是一根長度為 r 的鐘擺一樣 而事實上它確實就是這樣 我們用氣墊軌道進行了這項實驗 結果與我們的預測完全一致 準確得令人難以置信 真是難以置信的準確度 然後我們改用較小的半徑進行實驗 帶著一個球 一個滾動的球 就是這個 該曲率的半徑為85公分 我們預測週期為1 85秒 這個方程式 我們進行了測量 我們發現了什麼 高得多 我們觀察到大約2 3秒 我在課堂結束 時問了你們為什麼 有些人說 嗯 半徑是 較小 那不是理由 因為角度 即位移角度 仍然非常小 這個最大角度 最大θ 是如此的 這一點實在太小了 無法解釋為何這個時期如此之長 但現在你已經知道了 因為當這個物體滾落時 動能會部分地 它部分在直線運動 部分在旋轉 部分在直 線運動 如果是滑動 則全部都是直線運動 這個術語 因此它明顯更快 現在它必須與旋轉共享 所以那就是我們發現較長週期的原因 這裡的情況正是如此 我想再強調一次 這就是你週一需要面對的問題 我無法在一次考試中涵蓋所有內容 請稍等一下 我們還有一分鐘 我不可能在一次考試中覆蓋所有內容 我必須做個選擇 我只會選其中少數幾項 我今天無法深入探討所有這些主題 我沒有提到的並不表示你不會在考試中看到它們 這個週末有特別的輔導時間表 你可以加以利用 我相信 明天早上這場講座將會是關於轉向的 祝你順利 週一見