【北京理工大學】《工程流體力學》精品課 P22 - 23. 3.1.1 作用在平板上的力

前面我們討論了流體淨壓牆的分佈規律 以及流體淨壓牆的測量方法 那麼現在我們來討論流體作用於固臂上的力 那麼這就是我們的第六節 作用於平面的淨壓力 那麼流體作用於固臂上的力呢 那麼由於固臂分平面和曲面 因此我們也分兩部分來討論 首先我們來討論作用於平面上的淨壓力 那麼流體淨質狀態作用於平面上的壓力 我們來看這張圖 這個圖呢 右邊是一個閘門 那麼這個閘門的左側是深度爲H的淨質狀態的水 那麼我們來看一下這個水作用在這個閘門上或者水壩上 那麼它的作用力有多大 那麼我們來看這個力呢 首先我們來看壓牆分佈 那麼根據前面的知識 我們知道壓牆應該等於邏輯H 那麼這樣呢 就是在任意一點處 深度爲H的地方 那麼它的壓牆應該等於邏輯H 然後我們讓這個壓牆乘以一個小微圓面積 那麼這個小微圓面積對於單位寬度的水壩來說 它就是dH 那麼壓牆乘以小面積 那麼就得到了這個在微小面積上的壓力 然後我們把這個壓力積分 這個積分沿着它的深度往下積 也就從零到大H 那麼這個積分的積出來呢 我們來看它等於二分之一邏輯H平方 那麼這個就是靜止狀態下的液體水 對水壩的作用力是這麼大 那麼下邊我們來看這個式子呢 我們給它變一下形 那麼它又可以寫成是這個作用力呢 是等於邏輯 然後把這H分成二分之H 然後這個一呢就是水壩的寬度 那麼這個H呢就是水深也就是高度 那麼這時候我們來看邏輯乘以二分之H 二分之H是什麼呀 二分之H就是這個水壩的中心 我們把它叫做形形 那麼邏輯乘以二分之H 就是形心處的壓強 對吧 然後一乘以H 一呢就是它的寬度 H呢就是它的高度 寬度乘高度就得到它的面積 因此靜止狀態下的水 對水壩的作用力 又變成了形心處的壓強乘以面積 那麼這樣呢 我們看 靜壓力就是形心處的壓強乘以作用面積 那麼這個呢 結論太好了 這個結論太好了 那麼這個結論是不是有普遍性 是不是具有普遍性 那麼我們下邊呢 來深入的討論一下 那麼首先我們來看 作用在平板上總壓力的大小和方向 我們看這樣一個問題 我們這個平板呢 它的形狀是任意的 它的面積位A 把這個平板呢 給它放在水裏邊 放在水裏邊 那麼這時候呢 就是這個這塊平板 那這塊平板呢 它的形狀是任意的 是任意的這麼一個形狀 那麼這個平板呢 它與這個水平面夾角是α 夾角是α 那麼現在呢 我們就要問這個靜止狀態下的水 對這個平板有多大的作用力 它的作用力有多大 那麼在這兒呢 我們來看在這個平板上呢 我們找一個小的微圓面積 也就對應到這兒 那麼這個小的微圓面積上 它的壓強是P 那麼這個P值呢 就等於羅技H 對吧 就等於羅技H 那麼這個壓強乘以小面積 我們得到的就是微小的壓力 壓強乘以面積 就是微小的壓力 那麼壓強呢 壓強呢 等於羅技H 那麼乘以dA 那麼這個就是微小的壓力 那麼我們再來看這個H 因爲這個板子是斜着放的 任意放的 那麼這個H與這個Y有什麼關係呢 那麼在這兒我們看到 H就等於Y乘以sinα 那麼就是這個 對吧 那麼這樣的我們就得到 作用在小微圓面積上 它的壓力是這麼大 那麼好了 那麼作用在整個的平板上的壓力 有多大呢 那麼無非是對上面這個式子進行積分了 對吧 那麼積分出來 我們對上面這個積分 那麼這個積分呢 密度是常數 g是常數 sinα是常數 拿出來 那麼我們得到總壓力是這樣 這個式子 那總壓力是這個式子 那麼這個式子裏邊呢 我們看它有一個Y乘以dA 對面積取積分 那麼這個積分是什麼意思呢 這個積分是什麼意思 那麼下面我們來看 如果要是如圖這個樣子 有一個面積A 那麼這個面積呢 是已知的 而且呢 這個面積上 比如說我們設想它是一塊金屬的板子 平板 那麼這樣呢 它是均值的 所以呢 它的面祕度是常數 每一個面祕度是一個常數 那麼我們來求這個平板的重心在哪 那麼要求平板的重心 我們在這如果設Yc 就高度方向 Yc是這個平板的重心 那麼我們知道要求這個重心的話呢 應該是有這麼一個平衡狀態的話 應該是分力矩等於合力矩 對吧 分力矩之合等於合力矩 那麼按照分力矩之合等於合力矩 在這我們看這個分力矩等於什麼呢 那麼這個分力矩呢 就應該是等於這個小面積上的重量 然後乘以這個力B 乘以這個力B 那麼也就是說 若乘以底A 然後再乘以Y 那麼這個是對X軸的矩 對吧 然後這個力矩呢 再乘以對整個面積進行積分 那麼我們就得到了分力矩之合 那麼分力矩之合應該等於合力矩 乘以合力乘以一個高度 那麼這就是合力矩 對吧 那麼因此呢 我們就有這邊呢 若乘以Y乘以底A 那麼這個呢 是分力矩之合 那麼應該等於是 若A就是整個的質量 乘以YC 對吧 那麼這個呢 就是合力矩 那麼因此呢 由於面密度爲常數 那麼這樣呢 我們就得到把密度給去掉 我們就得到Y底A對面積A積分等於YCA 那麼這樣呢 我們看 這樣我們看 這時候實際上我們求出來的這個YC呢 就是它的重心 那麼因此呢 我們看這一塊 我們就把它叫做是面積A對OX軸的面積矩 就是小面積對Y對X軸取矩 面積矩 對吧 那麼YC呢 去掉了密度 那麼因此YC呢 又稱作是它的形形 稱作它的形形 那麼因此這樣呢 我們看在前面那個積分裏邊 就這個積分 這個積分就叫做面積矩 就叫做面積矩 好了 那麼設YC爲平板A的形形 平板A的形形 那麼這樣呢 我們就有這個形形呢 應該等於是YC乘以A 對吧 就應該有這個 也就這個面積矩 等於YC乘以A 那麼有了這個 我們把這個帶入到合力的公式 那麼這樣呢 我們就得到作用在平板A上的力的大小 作用在平板A上的力的大小 那麼這個大小呢 就應該等於是 前面是RhoG Sineα 後邊這兒呢 就是這個積分 面積矩 這個積分 那麼這個積分呢 又等於是YC乘以A 又等於YC乘以A 那麼等於這個 那麼這時候我們再來看 YC乘以A YC乘以Sineα是什麼 我們看這張圖 那麼如果這個是YC 就是這個長度是YC 那麼這個YC乘以Sineα 就是這一點處的高度 那麼這一點處的高度就是HC 就是HC 對吧 那麼RhoGHC是什麼呢 RhoGHC就是行心處的壓強 對吧 那麼因此呢 我們又得到什麼呢 大家看我們又得到什麼呢 就是YCSineα就等於HC 那麼RhoGHC就是行心處的壓強 再乘以作用面積 也就是PC乘以A 那麼因此我們得到一個很有用的 很有很不錯的一個結論 對吧 那麼這個結論是什麼呢 就是任意形狀平面上的淨水總壓力的大小 總壓力的大小 那麼它就等於作用在行心處的壓強 乘以面積 那麼它的方向 按照淨壓強的特徵 那麼它的方向是垂直指向作用面 然後這個結論太好了 這個結論對於我們計算平板的所受到的壓力 非常有效 而且也很好記