小學數學寒假提分必看的《數學思維拓展訓練》，適用二年級學生 P6 - 二年級春季06-週期問題初探

哈嘍同學們大家好 來我們看週期問題 那什麼叫週期大家知道嗎 週期 週期就是 重複出現 對不對 啊就有個東西它反覆的出現 對吧 那生活中有沒有周期呢 有很多 在我們現實生活中 有很多跟週期相關的 比如說一個星期有幾天呢 有七天我們就星期一 星期二星期三星期四 星期五 星期六 星期天 然後又到了星期一 對不對 還有呢 春夏秋冬 對吧還有月份啊對對對 1月2月3月這樣一直下去到12月 又到1月 好 所以我們生活中有很多週期的現象 那我們可以說是四季 對吧 還有星期 啊等等等等等等 都是週期的 那如果今天是星期四 注意看啊今天是星期四哈 再過七天 會是星期幾你知道嗎 今天星期四 再過七天 哎非常棒還是星期四爲什麼 因爲我們七天又一個週期呢是不是 不行你可以試一下哈你看一下 你拿拿出 日曆家裏的日曆看一下 今天星期四再過七天又星期四 那再過14天呢 還是星期四啊 因爲什麼 因爲717的7 2714對吧 好那如果再過21天呢 還是星期四 28天呢 還是星期四 35天呢 還是星期四沒完沒了的 星期四是不是 ok 那如果再過8天呢 那就是星期五了 你七天是星期四 八天就是星期五了對吧 那如果有人在 賣東西啊說賣寶我的賣寶我的賣寶我的 賣寶我的賣寶我的賣寶我的 那按照這樣的規律第57啊56個字 是啥呢 那這個他有周期嗎他的週期是幾啊 非常棒他的週期是不是三呢 所以我們是不是可以從第一個字開始 三個三個一組 是不是 那大家知道第56個 是在第幾組裏面嗎 好那大家看一下 三個三個一組有什麼特點啊 每一組的都怎麼 都一樣每一組都一樣 每一組裏面都是賣包的是吧 好那我們把56怎麼樣 先除以3來大家除一下 13的3 26 38 24 所以首先有18組 還剩了什麼 兩個 對不對所以第56個 他會在第19組那邊 因爲前面有18組賣包的 他是第19組的第二個 那第二個是誰啊第二個都是包 爲什麼 因爲他的特點是 我們每一組都一樣 我們分的每一組都一樣 每一組都一樣 所以我不管你是第幾組 反正他第二個都是嗎 都是包都是包都是包都是包 能理解嗎 好這就是我們要研究的週期問題 對不對 那週期問題的話 我們今天會先認識一下什麼叫週期 然後呢再看看他在 呃實際生活中有哪些應用對不對 好我們先認識一下來 週期問題 比如說這12345這五個裏面 他們有什麼共同點呢 大家看完之後仔細觀察一下第一個 abc abc abc 點點點 就是按照 abc abc abc 這樣一直下來啊 第二個菱形圈圈菱形圈圈菱形圈圈 菱形圈圈菱形圈圈點點點 第三個呢右下左上 右下左上右下左上 第四個呢雙圈三角星雙圈 框 雙圈三角星雙圈框 對吧啊這是第四個第五個呢 134512134512134512 我們發現像這樣的一些數 一些圖像一些事物 按照週而復始的規律循環出現 這種特殊的規律問題我們稱之爲週期問題 好那第一個裏面有周期是幾啊 非常棒週期是三啊 大家可以跟我一樣 把它用小括號擴起來 大家看每個週期有什麼特點 每個週期裏面都是abc 對吧 而第二個的週期是幾 最小的週期肯定是2 兩個就一循環了是不是 菱形圈圈菱形圈圈菱形圈圈菱形圈圈 這樣一直下去 好那第三個是幾個一組啊 四個非常棒啊 右下左上右下左上對吧 所以它是4個4個4個一組 啊它的週期是4 第四個呢 週期就是5了 你要小心 你去找跟第一個一樣的是不是它 對不對 所以它一個週期裏面有5個 啊然後每一組裏面都一樣 好它呢一個週期裏面就是 6個數字 6個數字134512134512 很理解吧 好那像這種題目的話 他經常要去求第幾個 要去求第幾個 比如說他去求裏面的第10個 對吧那你就把這個數 要求的第幾個這個數除以週期的長度 我們看看它相當於分了幾組 然後餘幾 那因爲它的特點是每一組都一樣 所以比如說餘了二 那就說明是這一組的第二個 那每一組的第二個都一樣啊 我們就能知道它是幾 對不對 ok 好比如說我們隨便拿這個當例子哈 這個的週期是幾 週期是6 對吧好那我們現在要求第20個怎麼辦 我們來來看看怎麼列式的 把20個 6個分一組所以用20 除以6對吧 啊3618分了三組 還餘呢 兩個 所以我們畫了三組之後呢 還餘了兩個 那就是第四組的第二個 那其實跟每一組的第二個都一樣 對不對就是 3 懂了嗎 所以就是先除 除完之後看餘數 再去找到這個應該是幾 能理解吧 當然你要是原則上來講應該是三步的 第一步 求出週期是幾 然後給第一個週期給他畫個括號 第一個週期畫一下就行 啊第二步 總數 除以週期 看結果 啊第三步再看結果的話 看有沒有餘數 有餘數餘了幾就是第幾個 沒有餘數就是最後一個 對吧就比如說爲什麼你看 比如說他是6個一組 那沒有餘數說明剛剛好 那像6個是不是就剛好剛剛好分完 所以第6個就是最後一個 12個也是剛剛好分兩組 是不是也是最後一個對吧 好那我們來看一下這題啊 大家找找規律哈 有10幅圖 按規律排成一排 前面三幅圖已經畫出來了 是吧那你看一下你你你畫一下第四圖 然後再畫出第十幅圖好吧 來大家試一下哈 哇這這這什麼規律啊 大家看前三圖能看出來嗎 你要是看不出來的話 你可以先什麼先找到其中的一個圖 比如說笑臉 正向的笑臉他們都是笑臉哈 我們看這個正向的 正向的在第一圖裏面在哪 在左上角 到第二圖的時候跑到 右上角呢 第三圖呢 右下角 第四圖呢會跑哪去 你看他是相當於是怎麼跑的 從第一圖到第二圖 往右跑了 第二圖到第三圖又往下跑了吧 對不對 所以他就是在繞圈圈看到沒有 他應該是在繞圈圈啊 繞圈圈好到第四圖的時候他是不是跑這 繞圈圈跑到這來了 ok 好那剩下你是不是可以對應的 跑一跑了啊 啊原來在 左下角的跑到左上角嗎 對不對原來在左上的跑到右上了 原來在右上的跑到 右下 你看我畫的多標準 看到沒有 對不對你們可以看一看 你們畫的有沒有我標準啊 ok 好隨到第四圖的時候呢 我們這個正向的笑臉 他就跑這了 然後如果到第五圖他又跑哪去 就這個正向的笑臉 是不是又跑到左上角呢 對不對 到第五圖的時候他又跑到這了 這個正向的笑臉 正向的 ok 那不就跟第一圖又一樣了嗎 因爲你一共就四個格啊 你四幅圖不就一個週期了嗎 能看懂了嗎 所以他的週期是第一很關鍵出來了 週期是 四對吧 四步就跑一圈 那第十幅圖呢 我們就可以用十 除以四 等於兩組 還餘了二對吧 二四的八好 所以他跟第二圖是一樣的 他跟第二圖就是一樣的 能懂嗎 啊所以你就直接把第二圖畫出來 你看看誰畫的快了 對不對 你看我畫的多標準 ok 這樣我們就把立體給搞定了 所以找規律的時候 你就抓住其中的一個圖形 看看他是怎麼動的 啊我們發現他的週期是四 走完一圈又回到原地了 好那接下來我們看第二題 下面的圖形排列是有規律的 你知道第33個圖形是什麼嗎 前33個圖形裏面有幾個圈圈呢 我們來看一下 好那大家先自己動手思考一下啊 一會就趕緊按暫停 先自己想一想試一下來 動手快 一分鐘哈一分鐘趕緊算一下 首先週期是幾 週期是幾 四是不是 圈三角框框雙三角圈 三角框框雙三角圈 三角框框雙三角 週期是四 第一步先寫出來 太棒了你們以下也看出來了好吧 那要求第33個我們是怎麼做的 記不記得 我們就會四個四個分一組 每一組裏面都是一樣的 所以我們把33 除以4 得到四八三十二八組 還餘呢幾個 所以他是第九組的第一個對吧 第33個就是第九組的第一個誰呀 圈圈 是不是肯定是圈圈啊 對不對所以是這個 啊誰是他啊是他 這是第一個問題 那很開心我們把第一個問題搞定了 那還有第二個問題呢 第二個問題是說 前面33個圖裏面有幾個圈圈 那咋辦呢 前面33個圖 我們把4個分一組分成了8組 那每一組有幾個 每一組有一個吧 所以是8乘1是吧 ok 然後最後剩的那一個是不是也是 所以再加1 等於9個 對不對啊 所以兩個問題你就要回答 兩遍 兩個問題我們就要學會回答兩遍 那我現在問了 那前33個圖裏面有幾個三角啊 有幾個圈我們說有8有9個圈圈對吧 那有幾個三角 非常棒是不是8個 那咋不一樣呢 因爲你第33個是新的那一組的第一個 所以圈圈確實是9個會多一點 而三角就只有在前8組裏面 每一組有一個 對吧第9組 最最最後剩的這一個沒有 不是他 所以三角有8個懂了吧 好通過這兩道題目我們是不是 大家對這個週期有點感覺了吧 首先你要找週期怎麼找啊 大家看這個週期你怎麼找週期啊 你就要去找到什麼 他的第一個跟他相同的 對不對 然後這時候看 前面第一就是第二個他 第二個他前面是不是一個週期 因爲從這邊開始他就要重複了 好非常棒那我們來個腦筋記得嗎 好吧來個腦筋記得嗎 那有人說老師你怎麼這麼坑呢 那這次我們就不要那麼坑嘛 對吧來 大家信不信 這是什麼 這是51乘什麼 啊 乘10 9嗎我記得好像是這樣 火柴過了哈 等於60 這很顯然不成立啊 51乘19怎麼才60呢 乘法應該很大的一個數是吧 沒關係你們試一下 移動一根火柴鍋使得等式要成立 開始動腦筋思考吧 好吧 這題可能有那麼一丟丟的坑 就一丟丟不用擔心 但是你要打破常規思維 5 4 3 2已公佈答案 這個橫線移到這來 變成什麼 60 等於60 把它跟你的好朋友分享好吧 跟你的好朋友分享啊 好了好了好了 那接下來我們看週期問題的應用 我們來應用它一下啊 應用它來來來來來看過來 大家知道題目快快快快讀題快讀題來 有一列數 按照這樣的方式排列 週期是幾 非常棒週期是3 把第一組用小括號括起來啊 那麼第20個數是幾 這20個數的和又是幾 來算一下 我們首先用肉眼觀察法看出來週期是 3眼睛一瞄我就看出來了 是不是那要求第20個怎麼辦還記不記得 非常棒20 除以3我們三個一組 有6組368對吧 還餘了兩個 所以第20個 就是第7組的第2個 那你每一組都一樣啊 那每一組的都一樣 每一組的第2個是不是也就一樣 對啊所以就是 3對吧所以第20個是3 能理解嗎 好這是第一個問題啊 那第二個問題大家注意一下 這20個數和又是多少 過程要寫啊不要直接寫個結果3 啊你必須有列的這個式子 沒有列的這個式子 扣分 列式子 那這20個數怎麼辦呢 他有幾組 他前面有6組嘛是吧 每一組3個 然後最後再來兩個對吧 好我們看看每一組 每一組裏面都是二三四的 每一組裏面加起來多少 2加3加4等於9 每一組都是9 那有6組6組6組就是54 完了嗎 沒有他還有兩個沒兩個 來我們看 第7組的第一個肯定是2 第二個肯定是3 所以加2加3 等於59 這纔是我們的正確答案 所以這20個數的和 是59 你說對了嗎 哇那你太棒了 那說明你對這個逐期問題還是理解 已經比較深了對吧 我們把每一組搞清楚 其實就是分組啊每一組搞清楚 然後有這些邊邊角角的多餘的也算一下 就完事了 好再來一道來 例題4 波波肚子餓了 就對媽媽說 我要吃火鍋 吃火鍋吃火鍋吃火鍋吃火鍋吃火鍋 那麼波波說的第28個字是什麼呀 這時候大家看看週期週期是幾啊 可是老師我不確定了呀 週期是五五還是三那裏面這個 幾個一循環幾個在一起在循環幾個 三個嗎 吃火鍋 吃火鍋哦 吃火鍋 你說老師那前面兩個字我要咋辦呢 我要啊 去掉 對吧他要問第28個字 我們先把前兩個字去掉 所以其實就是問 從吃火鍋這開始的第26個字 能懂嗎 因爲前面兩個字沒有參與這個週期 沒有參與這個循環 所以我們把它單獨拿出來 我們只考慮吃火鍋吃火鍋 所以你要問波波說的第28個字 其實就是從吃火鍋的吃開始的第26個字 能理解吧 哦那26個的話三個一組 三個一組三 八二十四所以有八組 大於那兩個 那從吃開始吃火鍋吃火鍋每一組都等於 都是一樣的 每一組的第二個都是火 所以第一個問題就出來了 是火 對吧火鍋的火 好 那前28個字有幾個火啊 首先我要有火嗎 沒有 所以這火是不是在這 26個字裏面 那26個字是八組再加兩個 啊那八組裏面每一組有幾個 每一組一個 兩個裏面是不是也有一個 對吧吃火 所以就是 九 哥 啥事呢 啥事呢能懂嗎 這八組裏面每一組一個 最後的話第27個字也是 對吧也是就完事了 好所以這種題目就不要憑感覺 你算出來多少就是多少好吧 那這道題目就比之前的相當於是這種母題 我們前面這種母題 對吧典型的題目再加了一個什麼 拓展 辨識加了個干擾項 怎麼幹擾項他多前面加了兩個字 像這種你就要把這個干擾的這個 兩個字給先減掉能懂嗎 非常棒好我們看看立題5 那剛剛都是一行我們覺得不過癮 我們來個兩行的 表格中的每行文字都是循環出現的 第一行是貓和老鼠 貓和老鼠貓和老鼠四個字不斷重複 第一行的週期是四 第二行是熊出沒熊出沒 熊出沒這個字讀沒哈在這讀沒 這個讀音字啊之前 在其他地方是沒沒有的沒 現在讀沒出沒 那麼 我們把這叫第一列 這叫第二列數的是列哈 第三列第四列點點點 第36列 從上往下分別是哪兩個字啊 那這咋辦呢 可是老師這暈菜呢 不用着急我們分兩行來看看對吧 我們先算第一行再算第二行不就行了嗎 第一行週期是4 我現在想想知道第幾個 想知道第36個是吧 所以我就用36 除以4 剛好排了9組 也就是說第36個字 正好是第9組的最後一個字 誰啊 老鼠的鼠 因爲它每一組 都一樣 是不是 好類似的大家把第二行揪出來 第二行是什麼 週期是3 所以用36除以3 等於12組 所以第二行他們跑了12組 剛好到對最後一個字末 所以最後就是 數 末 你做對了嗎 啊所以最後的答案是數末 啊數末 ok 太棒了 所以經過這幾道題目下來大家知道這個 週期問題它的變形對吧 我從一行的週期變兩行的 或者是加個干擾項 那他前面多兩個數 你要把這多的給減掉 ok 好那來個超級恐怖的題 思維大挑戰 讓大家嚇得稀里嘩啦 霹靂啪啦稀里嘩啦的來 2008個2相乘 二乘二乘二乘二就是乘二 加2009個三相乘 三乘三乘三的個位數字 那這咋辦呢真的要去乘嗎 等你乘完你都上六年級 是不是 不至於啊用不着啊 那這樣他只是求個位數字 所以我們就要去看 個位數字有什麼週期 有沒有什麼循環 沒有你在抱頭痛哭一會是吧 好我們先看二 二的個位就是二 那二乘二的個位呢 四 那三個二相乘呢 八 四個二相乘呢 他的個位呢 那四個二相乘是16的 所以他個位又到6了 其實就是每一次把前一個乘二 然後我只要個位對吧八乘二二八十六 然後我只要個位好 那同樣道理五個呢 如果是五個二相乘呢 那是不是把前一個又乘二了 六乘二二六十二 是不是個位二啊 這一步很關鍵能看到嗎 我這時候就不用真的去乘了 我就找到規律了 是不是啊那六個呢 六個就二乘二又得四了 對吧就把前一個再乘二 然後以此類推 所以呢我們發現他的個位數字有什麼規律啊 248624862486 週期是幾 非常好週期是4 那現在是2008個 所以我們用2008除以4等於502 組剛剛好 剛剛好 那我們每一組的四個都是一樣的 2486對吧 那你剛好是到第502組 那就是剛好是502組的最後一個6 ok 好這是第一塊啊 那第二塊就是同樣的道理 三來相乘 三三乘三 三乘三乘三 四個三相乘 五個三相乘 六個三相乘 然後我們看他的個位 一個三個位就是三唄 兩個呢 三三得九 三個三三九二十七又乘三了吧 那得個位七 對吧四個呢 七再乘三三七二十一就一 一三得三 三三得九 一次雷推 點點點 我們點了點完之後大家看看 他有啥規律啊 397139713971 週期是幾 週期又是4 怎麼這麼巧 啊週期是4 那這次還是2008個嗎 不是的不是的不是這次是2009個 所以我們2009個所以4 那肯定是502組啊 只不過這次多了 一個 對吧 多了一個 所以就是第503組的第一個 每一組都一樣所以他是3 ok 那最後要求個位數字 我們就把前面的個位6 加後面的個位3 得到總的個位9 啊就完事了 所以最後我們得到答案就是9 能理解吧 非常棒好 那我們一起來總結一下啊 第一個認識週期 什麼叫週期呀 其實就是什麼 循環出現 一定是要循環重複出現的 那他一般是無限多個的 無限多個的對吧 第二個你要求週期 那求週期的話怎麼辦呢 啊一般就去找那個循環節那一部分 使勁循環的那個 對吧 好然後第二步的話第二個我們要去什麼 求第幾個的 求第幾個的這個很重要對吧 固定的套路啊 第一步求週期 看週期是幾 週期是7啊4啊什麼的 第二步總數 除以週期 第三步看結果 那結果就分成兩種的 一種是有餘數的 餘幾就第幾個 第二步沒有餘數的 那就每組的最後一個 每組的最後一個 就是我們想要的 這種求第幾個對不對 然後我們發現他還有一些什麼 變形的變式考法 比如說我們的 有干擾項的多餘的 給你前面多加兩個 或者是兩行的 或者是數字乘法的 看各位的 等等等等啊 這些都屬於他的一些變形 變式就是變形 ok 好那我們週期就先說到這裏好吧 那大家拜拜