二年級提分好課《瘋狂數學》學渣逆襲，思維訓練無死角 P3 - 2-2 數數圖形

哈嘍各位同學 歡迎大家來到方老師的瘋狂數學課堂 那今天這一課的話呢 我們繼續來學習一個比較有意思的支點 就是數數圖形啊 這個的話也是考試當中經常會考到的一種類型的問題 我們來看一下啊 我們現在的話呢 其實呢 已經認識了比如說像線段對不對 然後呢 角以及三角形 包括長方形等等的這些基本的一個圖形 但是當這些圖形重疊的交在一起的時候呢 就構成了一個什麼呢 就構成了一個相對來說呢 比較複雜的這樣的一個幾何的一個圖形啊 那如果我們要想準確的來計算出這些圖形當中 它所包含的某一種基本圖形的一個個數呢 那就需要去仔細的觀察了 靈活的運用有關的知識和思考的方法 而且要掌握數圖形的規律 咱們才能得到最後的一個結果 所以今天的話呢 我們是一堂這個方法課 今天也是一堂規律課 今天也是一堂咱們數圖形的課 教你如何觀察 如何去找到它的規律 我們要準確 而且要迅速的去計算出這個圖形啊 必須注意以下兩點 這兩點的話呢 是咱們特別需要去注意的 首先第一個點是什麼呢 就是我們必須要弄清楚這個圖形的特徵和它的一個變化的規律 對吧 這個很重要啊 就圖形的一個特徵 它有哪些特點 對啊 我們可以就說那個啊 然後第二個是圖形的 它有哪些這個變化的一個規律呢 這第一個圖形的特徵 第二個呢 圖形的變化規律 特徵之間的變化啊 第二個要按照一定的這個順序來數 做到不重複不遺漏 對 這是一個非常重要的點 第一個點是不能重複來數啊 你不能說我數過一次之後還再數一次 這個肯定是不行的 對吧 第二個就是咱們呢 也不能夠就說去遺漏 如果說你遺漏了這個就少數了 就說不能多數也不能少數 所以說我們要叫什麼 這個按照一定的順序來數 就是有規律的去數 對吧 從上到下 從裏到外啊 然後分類討論等等的一些思想 對不對 我們來看到底應該怎麼來數呢 比如說首先我們來看這第一題啊 第一題數出下面有多少條線段 那很多同學可能就會說 老師啊 這道題不是很簡單嗎 來啊 多少條線段呢 我們這個ABBCCD對吧 你看啊 三條線段 如果說你也是這樣做的 那就大錯特錯了 同學們啊 這裏面豈止是三條線段 不止三條線段 那麼我們首先第一個的話呢 我們用這個數的方法來數好不好 第一個我們用常規的方式啊 第一種方法我們可以用常規的方法 就是你會怎麼去數呢 對不對 我們看看常規的方法能不能數出來 怎麼數的啊 比如說我們看一下 123 是吧 那就是三條 然後呢 還有什麼呢 還有沒有肯定有啊 比如說AC對吧 然後呢 BDAD對不對 所以的話呢 就是3加3啊 用常規的方式呢 咱們可以數一下啊 就是3加3會等於六條 就是你一條一條去數 在保證咱們不遺漏 然後呢 也不重複的情況下 咱們呢 可以數出這個六條 數出六條 那有沒有什麼比較好的方法呢 來第二個方法的話呢 我們就說啊 來黃老師呢 我教你一個啊 就我們第一個方法的話呢 你可能哈 就是如果說你用常規的這種數的方式呢 你很有可能會怎麼樣的 你很有可能就會多數了 或者漏數了 或者當咱們這個點呢 特別的多的時候 比如說啊 你第一種常規的方法 你碰到簡單的還好 你碰到這種難的呢 比如說我這裏有12345 你看就這麼多端點的時候呢 你首先呢 你真的你都要數這個數亂掉了啊 數亂掉了 所以說咱們呢 要教大家一些方法啊 那麼我們第一個方法就是可以採用分類討論的 思想分類討論就分情況唄 對不對分類討論啊 分類的一個方式 那怎麼分類呢 比如說我們以A作爲起點 第一個類就是咱們的以A作爲起點 以A作爲起點的話呢 有哪些呢 就是AB 然後ACAD用端點的這種方式呢 咱們來確定首先確定第一個點了 確定了第一個點之後 咱們第二個點不就知道了嗎 然後以B作爲起點來看一下 如果說是以B作爲起點 我們是不是就可以得到這個BA對吧 然後呢 BCBD 然後呢 以C作爲起點會得到什麼呢 以C作爲起點 咱們就是這個CA CB 然後呢 這個CD對吧 那以D作爲起點呢 就是DA 然後呢 這個DB 然後呢 DC 好 那麼我們來看一下啊 那麼我們來看一下 那這裏的話呢 它加起來是幾條線段呢 它加起來的話呢 是12條線段對吧 這12是怎麼得到的呢 咱們呢 每一個頂點的話呢 它會有就每一個頂點 它會對應三條線段 ABACD對吧 所以說12條怎麼來的呢 每一個頂點會對應三條線段 有幾個頂點呢 有1234 有四個頂點 三乘四 爲什麼一個頂點對應三條線段 是因爲除了這個頂點以外 還剩下三個頂點 那12條 那我們一開始算出不是六條嗎 哎 爲什麼這裏12條呢 是因爲你這裏呢 有重複了啊 有重複 你看啊 AB BA是不是重複了呢 對不對 然後ACCA是不是重複了呢 ADDA是不是重複了呢 BCCB是不是重複了呢 BDDB是不是重複了 CDDC是不是重複了 所以每一條 我們這個12條的話 它其實重複了幾次呢 重複了兩次 對吧 因爲以A作爲起點的時候 AB和BA是一樣的 AC和CA是一樣的 AD和DA是一樣的 所以重複了啊 那重複了幾次呢 我們發現每一條線段都重複了兩次 都重複了兩次 所以我們再除以二 三乘四除以二就等於六 所以說用這樣的方式行不行呢 也可以 對不對 也可以啊 也可以 那還有沒有其他方法呢 第三個方法 我們來講講 就是一個這樣的方法 就是打槍 打槍的方法啊 而且從左右來打 怎麼打呢 從A打到B 從A打到C 從A打到D 從B打到C 從B打到D 從C打到D 那這樣子的話呢 打槍的方法 從A打出來有三條線 從B打出來的話呢 有兩條線 從C打出來的話呢 一條線 所以的話呢 我們就是六條 這叫打槍的方法啊 打槍法 所以其實你看啊 我們一個題呢 他的方法呢 真的是不爲一 而且方法挺多的啊 關鍵是你用什麼樣的方式來做 對吧 你看從A打槍 一二三 從B B不能回答啊 因爲回答的話重複了 所以呢 C D兩個 那C一個就可以了 D的話呢 沒法打 好 用我們剛剛講的方法來做一下這道題 你覺得哪個方法簡單呢 對不對 我覺得打槍法比較簡單 對不對 所以的話呢 我們可以用打槍法的思想的來做一做啊 我這裏我這道題當中的話呢 我重點來講一下這個打槍法 打槍法怎麼打呢 首先從A開打唄 從A打的話呢 幾條呢 從A從左往右來打 就是打槍 而且是隻能往一個方向 不能夠往回去打的啊 如果說往回打會重複 所以A來打的話呢 是一條 兩條 三條 四條 對不對 所以呢 A的話呢 是四條 從B來打 B的話呢 不能往回打 往回打就重複了啊 一條兩條 畫錯了 一條兩條三條 所以B的話呢 是打了三次 那C呢 只能往後打啊 一 二 兩次 第一次 是不是 所以就是四加三加二加一 你給他相加就得到最後答案了啊 就是四 這裏呢 有十條線段 明白了嗎 你給他畫一畫就行了 對不對 給他畫一畫就行了 你看咱們從四開始 四加三加二加一 好 我們來看一下例題二 例題二的話呢 就是數一數呢 這個圖中的有多少個類角 多少類角 那我們看一下啊 就是數數多少類角 這個應該怎麼去數呢 我這裏的話呢 如果說你去數啊 你這樣去數的話呢 對吧 你去數角的話呢 其實是不太好數的 當然我們也可以用剛剛講的 這個打槍法來數也可以 但是呢 我總覺得不太好數 那麼好 我們第一個方法的話呢 用打槍 我們就是一個一個來數啊 比如說AB AC AD AE 你發現以A作爲起點的話呢 咱們如果是一個一個去數的話 那就是四對不對 然後從B開始 BC BD B1 那就是三對吧 然後呢 從C開始的話呢 就是二 從D開始呢 就是一 我們先把這個答案給它算出來啊 那數的話呢 大家應該會數有幾個角呢 你數一數應該是十個角 對不對 應該十個角 那這道題的話呢 咱們呢 數角不太好數的情況下 我們其實可以數什麼呢 今天方老師呢 教你第二個方法啊 叫做標數法 標數法 什麼叫標數法呢 什麼叫標數法 標數法的話呢 就是角不好數的情況下 我們就從這個射線開始 我們第一步啊 就數一下有幾條射線 數幾條射線看看啊 我們發現那幾條射線呢 一條射線 兩條射線 三條射線 四條射線 五條射線 你看那這裏的話呢 有五條射線 有五條射線的情況下 我們從幾開始加呢 從幾開加呢 從四開加 等於十個角 那有的同學可能就會有疑問了 方老師 我這裏爲什麼不從五開加 爲什麼是從四開加呢 來同學們啊 這道題的話呢 我要給大家講一個握手原理了 握手原理 講一個背後的本質的東西啊 爲什麼不從五開加 爲什麼是從四開加 這道題我給大家講講背後的原理 什麼原理呢 叫做握手原理 握手原理啊 我們假定這裏有A B C D E五個小夥伴 對嗎 那他們之間的話呢 要兩兩進行握手 因爲每兩個小夥伴握一次手 就會形成一個角 你比如說A和B握一次手 形成了一個角 A和C握一次手 形成了一個角 所以A B C D E 這五個人之間兩兩進行握手 我們看一下啊 那A握了幾次呢 一次 兩次 三次 四次 你發現A的話呢 他只能握四次 因爲他自己呢 不能跟自己握手 他自己跟自己握手的話呢 是不能形成角的 所以爲什麼從四開加呢 不從五開加呢 對不對 再看一下B B的話呢 A和B呢 已經握了一次手了 所以說不能再重複握啊 一次 兩次 三次 所以B的話呢 握了三次手 C呢 C的話呢 也不能去重複握啊 跟後面的握 就握了兩次 D呢 握了一次 E呢 已經沒有辦法握了啊 握了十次的手 那麼就是十個角 好的 那麼回到我們原體當中 我們如何去握手呢 首先A和B握一次手 A和C握一次 A和D握一次 A和E握一次 所以A的話呢 握了四次 再看B B和C B和D B和E 三次 C 兩次 D 一次 然後呢 E的話呢 零次啊 是不是 所以說四加三加二加一 用這樣一個握手原理的話呢 大家是不是更好理解了呢 所以碰到這樣的題呢 我們不要去 不要去就是說 用這個死算的方式 或者一個一個去算啊 有方法的 好嗎 記住標數法 數射線就可以了 好 我們來看這個題 你看這個題 如果你一個一個數 你是不是頭都要大了呢 我們需不需要一個一個去數呢 對不對 你看這麼複雜 咱們如果一個數能數出來嗎 根本是數不出來的 所以呢 就用方老師呢 教你的這個方法叫做標數法 對吧 我們不要去數 它有多少個角 對吧 但是我們可以數什麼呢 數一下它有多少條射線啊 數一下有幾條射線 我們來數數看 一條 兩條 三條 四條 五條 六條 七條 八條 你會發現總共相加起來的話呢 是八條射線 那八條射線從幾開始加呢 是從八開始加嗎 不對 記住了啊 他自己不能跟自己握手 所以他這裏呢 雖然是有這個八條射線 但是我們是從七開始加的啊 就七加六加五加四加三加二加一 那加起來這個最後答案得多少呢 很多同學就又疑惑了 是不是 你怎麼樣能快速的去算出這道題的答案呢 我們可以用首尾相加的方式 一加七等於八 二加六等於八 五加三等於八 這裏呢 三個八相加再加一個四就是二十八了 所以說咱們就是有八條射線 我們從七開始加 明白了嗎 爲什麼不從八開始加呢 因爲自己呢 不能跟自己握手 他只能跟剩下的七條射線去握手 對不對啊 好 我們繼續來看 來數一數這裏面有幾個三角形 其實的話呢 數三角形的個數的話呢 咱們是沒有學過的 講道理啊 我們剛剛只講了數有多少條線段 數有多少個角 對不對 但是呢 我們沒有數有多少個三角形 但是呢 我們可以去聯繫一下啊 其實啊 這道題當中數三角形的個數 我告訴你 它就等於數角的個數 只不過這些角呢 它不是普通的角 它是我們的頂角 對吧 來跟着方老師來看一下啊 比如說我們來看這裏有個頂角 那這個頂角對應的是不是就是左邊的這個三角形呢 你看右邊 右邊也有個頂角 這個頂角是不是對應的是右邊這個三角形呢 再看這個角 這個頂角是不是對應的是這個三角形呢 所以說你會發現咱們這裏的話 一個頂角對應的是一個三角形 那麼我們只需要去數一下 它這裏的話呢 有多少個頂角不就可以了嗎 對不對 可能啊 你還不太好看啊 你還不太好看 但是如果我把下面ABCD給它遮住 遮住了以後是不是 我們就數角的個數就很簡單了 數角應該怎麼數呢 數角的話呢 我剛說了不要去數角 我們應該數有多少條射線 對嗎 比如說這裏是1234 那有四條射線 有四條射線的話 我們從幾開始加呢 是從四開始加嗎 想一想從幾開始加呢 咱們自己不能跟自己握手 所以說有四條射線 咱們從三開始加 三加二加一會等於六個三角形 那有同學老師 我不去數角可不可以 我數線段行不行呢 數底下ABCD有多少條線段可不可以 也可以啊 也可以 因爲一條線段對應的就是一個三角形 那麼來數一下啊 123 有三條線段 那你看一個三角形 兩個三個四個五個六個 打槍的方式也可以也就六個了 對不對 所以說各種方式都行 但是答案是六個啊 好 我們就來看數一數下面圖中有幾個三角形呢 那這個的話呢 就比較難看 但是相當把這個頂角的放到這邊來了啊 有幾個三角形是不是一樣的 數一數有多少個頂角不就可以了嗎 怎麼數頂角呢 1234有四條射線 從幾開家快速的告訴老師有四條射線 咱們從三開始加三加二加一啊 六個三角形 好 我們繼續往下看 來看這道題 這道題的話呢 是數一數有幾個三角形呢 你看啊 咱們這道題的話呢 跟剛剛的前面的那個題有什麼不一樣的點呢 他不一樣的地方 就是說在這樣一個圖形的基礎上 咱們中間再加了一個線段對不對 那加了一個線段會變成什麼呢 會變成什麼呢 來我們首先的話呢 就來看一下 首先如果說沒有加線段的話 沒有加這條線段的話呢 咱們來看這裏有多少個角呢 我們先畫一下啊 比如這是O對不對 然後呢 這是A這是D 沒有這條線段的話呢 有多少個三角形呢 很簡單是不是啊 我們剛剛其實已經算出來了 沒有這條線段的話 咱們是六個三角形 六個三角形 剛剛已經求了啊 那如果有這條線段的話呢 誒怎麼辦呢 有這條線段的話呢 我們是不是相當於擴大兩倍了呢 爲什麼這麼說 因爲首先原來的這個大的還是不變的 但是你中間加了一條線段之後 還有一個有一個點是什麼呢 就是我們上面的這個 是不是他也是六個三角形的呢 對嗎 一二三三加二加一也是六個三角形 所以說如果你加條線就六加六等於十二個三角形啊 等於十二個三角形 它是擴大兩倍 上面的話呢 憑空啊又出來了一個啊 好那咱們繼續往下看啊 繼續往下看 那來看這個題是不是一樣道理呢 對不對 是不是一樣道理呢 我們加了這條線段的話呢 我們先不求 先不求 我們先求一下 就是說原來的大的有多少個 然後呢 你再加了一條線段以後又變成了什麼情況 我們對比一下 比如說原來的這個啊 大的三角形什麼情況呢 就是咱們可以按一下 這是一個頂點啊 這裏對吧 來看一下啊 好 123中間有三條線段 123對不對 好 你看是不是這樣的一個道理 比如說這是O 這是A 這是B C D E 那方老師呢 問你一個問題是 這道題當中 這個圖當中 它有多少個三角形呢 對不對 方老師就問你這麼一個問題 就這道題當中 這個圖當中 它有多少個三角形呢 很簡單嘛 咱們的話呢 是數三角形的個數嗎 不是數三角形的個數相當於數角 數角相當於數射線 對不對 就是有一個轉換關係啊 所以說這個不要忘記了 12345有五條射線 那有五條射線的話呢 從幾開加呢 從幾開加 從四開加 4加3加2加1等於十個三角形 所以原來的這樣一個大的三角形是十個 現在呢 在中間加了一條線段 加一條線段 你下面的話呢 是三角形嗎 下面這個根本不是三角形 對不對 他問的是有多少三角形 所以他只是會增加上面的這一塊 而且增加的上面這一塊的三角形的個數呢 跟下面的三角形個數完全一模一樣 爲啥呢 你看啊 我們一樣的道理 如果是O咱們這A這B這C這D這E 那是不是跟咱們這個是一樣的呢 所以的話呢 他也是增加了十個 也是增加十個 那所以10加10等於20個對不對 20個三角形啊 好 那咱們繼續往下看啊 來看一下這個題 數一數下圖當中有多少個長方形 對吧 有多少長方形啊 但這個題的話呢 是不是也一樣的道理呢 你知道題是數長方形的個數嗎 不是 其實是數這裏有多少條線段 因爲這個長方形呢 它的寬度呢 它的寬度的話呢 是已經確定了的 是AC或者BD都一樣啊 寬度是已經確定的 現在只需要求它有幾個長就行了 求它有幾個長 其實就是求有幾條線段 就是求一下咱們有幾條線段 幾個長 對不對 幾個長 那幾個長對應的就幾個寬 對應的就幾個長方形 我們來看有幾條線段啊 很簡單的啊 一條線段 兩條線段 三條線段 然後四條線段 五條線段 六條線段 用打叉的方法啊 一個一個打 所以這裏的話呢 就幾條線段呢 那你單獨的把它畫出來是一樣的 你單獨的把它畫出來啊 對吧 那這個C 這D 中間有這個 有這個 你看有幾條線段 是不是就六條線段呢 六條線段 六條線段對應的就是六個長方形 因爲寬度是保持不變的 所以就是六個長方形 大家聽明白了嗎 好我們繼續啊 來做一個難一點的對吧 鞏固一下啊 鞏固一下 有多少個長方形呢 剛剛其實咱們做這個題的時候呢 應該可以判斷出來了啊 這道題我們並不是要求長方形的個數 或者說你看啊 你求長方形的個數是什麼呢 就是求它有多少條線段 也就是說求線段的一個個數 因爲寬度怎麼樣呢 你看啊 你看寬度的話是一樣的 寬度是一樣的 對不對 寬度是一樣的呀 那寬度是一樣的呢 不變 我們只需要去求它有多少條 這個長的線段就可以了 來看一下 比如說標上序號A B C D E F G 我們可以用握手原理 可以用握手原理嗎 可以可以用打槍法嗎 其實打槍法和握手原理是一樣的道理 我們比如說用握手原理 看看這個A B C D E F G 它們握了幾次手呢 握了幾次手相當於就是有幾條線段 因爲每兩個點之間會形成一個線段 來首先看一下A A的話握了一次兩次三次四次五次六次 所以A的話 它是握了六次手 那麼我們再看B B的話能不能重複握手呢 不能夠 它必須得往後 因爲重複的話 咱們就不能算了 就多數了對不對 往後啊 那一條一個兩個三個四個五個 所以B的話是握了五次的手 那C D E F G還需不需要算呢 很簡單 C的話能握了幾次呢 一次兩次三次四次加四加三加二 一直加到一等於多少對不對 就是這樣的啊 最大是六就可以了 你只需要把六算出來就行了 換句話說 這裏面是七個頂點 七個點的話呢 就六六是最大的 好來我們看一下六加一等於七 五加等於七 三加四等於七 所以答案是二十一 二十一個長方形啊 好來看一下這個題數一數有多少個正方形啊 那這個題的話呢 你看啊 這裏面有很多的正方形 那有很多同學會這樣去數 怎麼數呢 一二三四五六七八九十 有十個正方形 如果說你也是這樣做的 那就大錯特錯了 那碰到這樣的一個題數正方形的話呢 我們採用的是一個分類思想 就是這個題當中 它有幾種類型的正方形 首先第一種類型的話呢 就是一個這樣一個小方格的正方形 第二種的話呢 是填字格的這樣一個正方形 我們來看小正方形有幾個 一二三四五六七八九十 小正方形有十個 對吧 我們再看填字格有幾個啊 填字格幾個呢 來一個填字格 然後呢 往右移啊 兩個填字格 三個 四個填字格呢 是有四個的一個一個去看啊 一個填字格 兩個填字格 三個填字格 四個填字格 是不是四個填字格 那或者呢 我們還可以就是說你怎麼來畫呢 我們可以畫填字格的對角線啊 看看能畫幾個填字格對角線 填字格對角線怎麼畫呢 你看我們數對角線的條數啊 一條對不對 一條對角線代表一個填字格 兩條 三條 四條 有四條對角線 說明有四個填字格啊 所以給它相加答案是14個 所以這樣的題呢 我們採用的是分類思想 分類討論的思想 再看這個題也是分類思想 首先一個小正方形有幾個 123456789 10111213 所以說一個小正方形的話呢 是13個 再來看一下 再來看一下咱們的這個 看咱們的這個填字格的話呢 有幾個填字格的話 我們就畫對角線就好了 對吧 怎麼畫呢 你看畫出一個兩個三個四個是吧 所以其實填字格的話幾個呢 填字格的話是四個 還有什麼呢 還有九公格啊 九公格填字格其實只產生在哪裏呢 只產生在這裏 一個兩個三個四個 九公格的話能產生在哪裏呢 九公格的話呢 其實就是這樣一個 這就九公格了 所以九公格是幾個呢 是一個是一個好的 所以把他們相加答案是18個對不對 所以碰到這樣的題 你就這樣做採用分類思想就不會數重 也不會數了 好那今天的話呢 數數圖形的話呢 我們就講到這哈 它其實是還比較簡單的一種數圖形的 但是呢 最基礎的思想和方法方老師呢 其實已經教給你了 那麼我們今天這一課就上到這 同學們拜拜