【Numberphile】“無限”究竟有多大？Infinity Is Bigger Than You Think

我們將打破一條規則。我們將違背數感俱樂部的一條規則。我們將談論某個不是數字的東西。 我們將談論無限。 那麼，無限。現在， 正如我所說， 無限並不是一個數字，對吧？它是一種想法。它是一種概念。它是關於無限的觀念。 無盡的，永無止境地持續下去。 我想每個人都熟悉無限的概念，連小孩都懂。你從一、二、三、四、五開始數起。 是的，你可能只有五歲，但你已經開始思考，我能想到的最大數字是什麼？然後你開始想…… 哦，已經20歲了。人一老，就會這樣想。 也許是一百萬。它永遠不會結束，對吧？因為你可以不斷地再加一。 所以，無限的概念就是數字永遠持續下去。 但我會告訴你其中一個更…… 關於無限的驚人事實。無限有著不同的類型。某些無限比其他無限更大。 讓我們來看看。第一種無限稱為可數無限。 我不喜歡「可數」這個名字。布萊迪給了我一點提示，嗯，就在那裡。因為如果你在談論…… 無限，你無法計數 無限，你能做到嗎？因為它會永遠持續下去。我觉得這名字太糟糕了。 我比較喜歡稱之為可列舉的。我們能列出這些數字嗎？好的，我們來列出簡單的數字。一， 二 三，四。我們還有多少時間？ 十分鐘。好吧，五分鐘， 六。因此，你可以列出所有的整數。這稱為可數的。我更喜歡稱之為可列舉的。 至於整數呢？所有的整數。這也包括所有負數。所以有零。我們就這麼定吧。 但有一和負一。有二和負二。有三和負三。 那也是一種無限。從某種意義上來說， 它大了兩倍。因為看起來數字多了一倍。 但它也是無限。它們都是無限，而且都是同一種無限。它們都可以被列出來。 更令人驚訝的是，這些分數也可以被列出。但你必須稍微巧妙一點地處理這件事。 讓我們試著列出這些分數。我將畫一個長方形。一除以一。這是一個分數。 可以。我們來算一除以二。 三分之一。四分之一。 第七。好的，繼續往下。我們來看下一列，頂部放兩個。二比一。二比二。 三分之二。四分之二。我們來做下一個。一又三分之三。二又三分之三。六分之四。 七分之四。這會一直持續下去，我們可以不斷地繼續下去。因此，我這裡製造了一個無限的分數矩陣。 不過，如果我想製作一個像這樣的清單的話， 如果我一列一列地來的話 你會遇到問題的。如果你一排一排地來，我就這樣對付你。 有一個。一半。三分之一。四分之一。五分之一。六分之一。七分之一。我會一直這樣繼續下去，永遠也到不了第二行。 我無法這樣列出它們。不能這樣列。你這樣列永遠到不了第二行。 這是列出它們的方式。比那稍微聰明一點。 你負責對角線。 現在，我可以保證 每個分數都會出現在其中一條對角線上，並且你會按照對角線的順序逐一列出它們。 所以那是第一條對角線。 然後你列出第二條對角線。就在那裡。然後你列出第三條對角線。 然後你取第四條對角線，以及第五條。 因此，最終你會列出每一個分數。每個分數都出現在一條對角線上，而你會將它們一一列出。現在，如果你取 所有的數字，對吧，那就是整個數線。我們來試試看。看，我要畫出來。 這是一條連續的數字線。這些都是你的.wallet。 你中間有一個零，然後會得到一、二、三，但它還有一個第三個。 它將包含圓周率 π、自然對數的底 e，以及所有的無理數。 你能列出來嗎？你要怎麼列呢？從零開始，然後是壹，但等一下，我們漏掉了一個二分之一。 所以我們放進了半個。等一下，我們漏掉了一個四分之一。我們已經放進了一個四分之一。 我們漏掉了 0.237。那麼，你該如何列出實數呢？ 結果發現你做不到。 而且事實上，令人驚訝的是，我可以向你展示，即使我們討論的是如此簡單的事物，我們仍然無法將它們一一列出。 複雜得如同無限。 做吧，兄弟。我們需要紙。 這裡我們需要無限多的紙張，我想。 這是一個很大的話題。 想像一下，我們能夠列出所有的十進制數字，怎麼樣？我們實際上做不到，但假設我們能做到。那會是什麼樣子呢？ 我們先從所有零點幾的小數開始。讓我們選一些小數：1、2、1、小數點、小數點、小數點、小數點、小數點、小數點。 下一個。假設下一個是 2, 2, 1。再下一個呢？ 呃，3、1、1、1、1、1、1、2、9，再來一個，呃，0、0、1、7、6。 現在我要開始了 造一個數字。這就是我要造的數字。我會把這裡的對角線拿來用。 我要拿這個數字，還有這個數字，以及這個數字，還有這個數字，以及這個數字。 好的，接下來我會 記下來。那我剛才算出的數字是多少？是零點 1, 2, 1, 0, 1. 某樣東西，某樣東西，某樣東西。 現在，這是我的規則。 我要從那個數字開始，創造一個全新的數字。 這是我要製作的數字。如果它有1，我就把它改成2，然後 如果它包含2， 或者任何其他情況，我會把它改為1。 那我們來試試看。我將把這個轉換成 零點。所以如果它是 1，我就把它變成 2。如果是其他任何數字， 我要把它變成1。所以那會是1。 我要把這裡的 1 改成 2。 我要把那個改成1。我要把那個改成2。這是我的規則，我創造出新的東西。 那並不出現在清單上。這個數字與清單上的其他所有項目都完全不同，因為 這不是第一個數字，因為從一開始就不同。 不是第二個數字，因為在第二位上它們不同。 不是第三個數字，因為第三位數字不同。 不是第四個數字，因為第四位數字不同。 這不是第五個數字，因為在第五位上它不同。 你弄出了一個不在那個清單上的數字。 因此，你無法列出所有的小數位數。 在這種情況下，它是不可數的。它是無法列舉的。 這意味著它是一種全新的無限類型。 更大的無窮大。 當然可以，詹姆斯，因為我們只需要繼續玩你的遊戲就行了。 並把它們加入清單中。 如果我們一直這樣做，難道最終不會到達嗎？ 但你卻可以再創造出一個不在該列表中的數字。 因此，提出這個概念的人是一位名叫康托爾的德國數學家。 康托大約生活在二十世紀之交。 他因此遭人嘲笑。 對於存在不同類型的無窮大這一概念， 他被稱為騙子。 而他被稱為……那是荒謬的，那是被稱為的。 而可憐的老康托爾當時受到同輩們極其不公正的對待。 並且他在晚年大部分時間都在精神療養院中進進出出。 最終他死在了那裡。 在他生命的最後階段，這一點終於得到了承認。 這是事實。這一點已被承認。 他得到了他應得的所有認可。 現在他排在第四位。 現在他位居第四，這是至高無上的榮譽。 喬治·康托爾