コイントスには偏りがある【物理論文解説】

はいこんにちはえ今回 はコイントスの確率についての論文の解説 をしていきたいと思いますえコイントスで 表が出るか裏が出るかっていうのはなんか 50%50%確率的に半々になるものの イメージの代表的な例ですよねただこ れってよくよく考てみたらすごく不思議な 話でそもそも物理学的にはコイントスで表 が出るか裏が出るかってのはこの最初に 投げた時の条件によって決定の時に決まっ てるはずなんですねえ実際にえ狙った面 だけをせる装置もこのようには存在します えなので人間がま実際コイを投げて大体 確率的に半々に見えるというのはこの人間 の実際のですね投げる時のブレなどに禁し てるわけですなのでコイントスって思っ てるより複雑で繊細な問題なんですねえ ちなみにポイント数皆さん興味ありますえ 僕はですめちゃくちゃ興味ありますえなぜ なら僕は最近はってるポケモンカードでね えすごくポイント数が重要になるからです ちなみにこのコインもねポケモンカードで 使うやつなんですけども例えばポケモン カードでこのつが重要になるシえいくつか か例あげますねえエテボースのえ特性猿技 でえダメージが入るか入らないか決まっ たりとかあるいはえ海塗料の技海掘り トンネルで相手の山を何枚削れるか決まっ たりとかあとなんだえラッキーの特性 ラッキーボーナスでえ追加でサイドを 取れるか取れないか決まったりとかするの でめちゃくちゃね重要なわけですえなので 今回はね熱を入れてポイントの話をして いきたいと思いますさて今回え実際に紹介 するロムはこちらですねダイヤコニス ホームズモントゴメリーのえ3が2007 年に出した論文なんですけどもちみこの ダイアコニスという人はですねえこの チャンネルでシャッフルについてのね動画 を出したことがあるんですけども シャッフルのその混ざり具合の確率ですね えその先生と同じですえその時も出てき ましたえ元マジシャンの数学者ですねえこ いうの面白い研究たくさんやってる方なん ですねさて今回はこの論文で主張がこれ ですポイント数は我々ね確率が半々だと 思っているけども実際には偏りがあって 最初に向いていた目えつまりこう準備する 時にセットした時のこの上を向いている面 の方がわずかに出やすいとその数値はま約 51%であるという結果ですね実際にこの 論文の中ではえコントスの物理学的な モデルを考えてえこういう値を算出してる わけなんですけどもこれを本当に統計的に ですねえ検証するにはすごく膨大な数の ポイントスが必要だったんですけども実際 にですね2023年にアセル大学の研究 チームがえ統計的にこれ本当に調べたん ですねまださ前の論文なんですけど アーカイブ上にアップされていますなので 今回はまこの話をですねセットでしていき たいと思いますえこの辺のね話でも満足し た人はいると思うんですけどもその人に 向けてえ注意点がありまして今回考えてる 状況ってのはポイント数をしてこの手のひ の上に落とすていう状況を考えてますえ つまりなんかよくあるね硬いテーブルの上 に落とすとか考えていませんえどうしてか というと実際に硬いテーブルの上とかに 落とすとそのくるくるねえそのテーブルの 上で回っちゃったりするんですねそうする とコインの形状とか重量のによって大きく ね語が出てしまうのでま今回はそういうの はえ興味ないとえあるいはですねえ例えば そのコインが本当に対象的でもえコインが 机に当たってまた跳ね返ったらですねより ランダム性が増してま物理学ではね なかなか手に追いない問題になってしまう ので今回のこの話ではえそういったものは 考えずにコイントスをしてえ手のフにえ手 の平の上に落とすという状況を考えてます えこれはね余談なんですけど実際にコイン がねくるくるくるってなった時に手の面で 倒れるか裏の面で倒れるかってのは本当に ね縁の状況にえすごく依存していてなんか 手品用ではですねえその縁にちょっと最高 して必ず狙った面がですねえ倒れて上に なるようなコインも存在するらしいですね なので今回はそういう状況はえそういう 状況になるようなものは考えないとえし ますまちなみにねポケモンカードとかでは ねなんかそのプレイマットの上に落とすん ですけどまプレイマットの上でねその 大きく離れたりとか回転したりとかっての はあまりないのでまえこれはね個人的なえ 感覚ですけどもおそらく えプレイマットに落とす場合でもですね これと同じような状況まつまりねえ最初に 向いていた面の方がまわずかに出やすいの かなとはね思ってますはいではえ具体的な 話をしていき ましょうでは実際にこの論文の中身に入る 場合に重要な先行研究についての話をして おきましょうえこれはですねケラーという 人が1986年に出した論文なんですけど その論文の中ではポイント数は回転数が 十分大きい時ににはえ50%になるって 言ってるんですねもうなんだ50%じゃ ねえかと思ったかもしんないんですけど このルムの中では重要な家庭がですね置か れていてそれが今ここにねえ図で書いた ものなんですけど回転軸がこの綺麗に コインの平面上に乗っていてその周りを 綺麗にくるくるするって言ってるんですね ただ実際にコイン塗装してみれば分かる ようにそんな綺麗にですねコインは回って いません実際にはコはぐらついたりとか あるいはですねえ回転をしていたりします こういう方向に例え例えば今言ってる回転 ってえ何が例としてあるかって言うとえ ピザの記事をま作る時にくるくるくるって 上に投げる瞬間あるじゃないですか投げた ことはなくても見たことはあると思うん ですけどあれって向いてる面はずっと同じ でもえこういう方えこういう方向の回転は してますよねだからああいうのが実際には コイントスではあるよねというのがえ大事 になってきますえそれがですね実際にこの 論文の中身の話になってくるんですけど じゃあ実際コインってどういう動きをし てるかってのを物理学的にですねえ記述し ていきたいと思いますまつまりこういう風 な綺麗な回転はしてないって言ってるん ですねじゃあ実際に大事になるベクトルを 書いていきたいと思いますえまずこの図が 見やすいようにですね遠上向きのベクトル を書いてみ ましょうはい中心を通るようにえラージ系 ベクトルと書いていましたこれが遠足のま 上を表すやつですねえあとはこのコインの 法線ベクトルかけましょうこの面に対して 垂直な ベクトルはいスモールNベクトルと書いて おけましたでさっきコインは実際には グラつきやこういうねまた別の回転もあ るって言ったんですけどそういうのも全え 全部含めて記述できるものって物理には あるんですねそれが核運動量ですえなので 1つですねえ適当な方向にえ核運動 ベクトル書いてみ ましょうはいラージMベクトルとえ書いて おきましたこれが核運動量ベクトル です でこの核運動ベクトルについて大事な話が ありますそれは何かと言うと最初にコを 弾いてからそれ以降ですね空中ではこの核 運動量は保存されますえなぜなら空中では もうトルが働かないのでこの核運動量は 物理学的に保存されるとえつまり一定に なり ますそしてこの図の中でですねえ動くもの がありますそれがこのNっていう法線の ベクトルでどういう動きをするかと言うと この法線ベクトルと核運動ベクトルの間の ナス角これプサイと書いておきましょう ギリシャ文字のプサイで書いておきました ちょっと見にくいです ねはいプと書きましたえこれはですね合体 の力学を考えるとこのプサの角度は一定な ままこの核ドルベクトの周りをこの角度 行ってるままこうやってくるくるくるくる 回り ますはいこうね角度がプの塩水を作るよう にくるくるくるくる回るとえそういうのを 差運動っていうんですね再三 運動この再三運動こそがですねえ最初に 向いていた面の方がわずかに出やすいと いうえことの鍵を握っていますえその 詳しい話をこっちでやっていき ましょうでは続きの話をやっていき ましょう今ここで話した動きをですねえ 具体的に面上に図していきたいと思います えこれがねすごく分かりやすいんですよね え状況としては今これ半径が1の9を書い てるんですけどこのコインの周りを半径が 1の9がですね覆ってると考えてください で今えスタートはですねコインはこうやっ て表向きを向いていて綺麗に法線ベクトル が延長方向にあるとしましょうそうすると この半径1のQでカポッとこのコインを 終った時に最初にえ法線のベクトルが ぶつかってる場所はちょうどここの頂点 とこですよ ねその点をNと書いておきましょうと同じ ようにこの過とえ半径が1の9で覆った時 に核運動ベクトルがぶつかる場所それをm と書いておき ますはいMでこの法線ベクトルってのは この球面上を動きますよね実際には動いて いて北半球にいる時にえキャッチされれば それは最初が表だったら表だしこの南半球 にいる時にキャッチされたらそれは裏向き になりますよねなのでこの図で法線のこの え法線ベクトルがぶつかる点の位置が北 半球にあるか南半球えであるかでえ表と裏 を考えればいいわけですじゃあ実際にこの えNはどういう動きをするかというとそれ はさっき話したようにこの中心からNに 向かって線を引く中心からMに向かって線 を引くのえ間の角度債この角度が一定な ままえ周りを再三運動するんでしたねなの で こんな具合に動くとちなみにこれだけ間の 角度サが小さいとどのタイミングで キャッチしても実はコインは表向きで キャッチされますねだってこのNの点って いうのはずっと北半球にいるわけなのでえ 全然ですねえ1回もこの反転が行われて ませんなんとなくねグラグラグラグラして はいるかもしんないけども普通にそのまま えキャッチしてしまうっていうなんかその イカ様みたいなまその適当にミたらなんか ね回ってる見えるかもしんないけどなんか グラグラしてるからただ実際には全然反転 されてなくてえどこでキャッチしてもです ねえずっと表向きのままということになり ますえなのでもっとですねえ角度が大きく ならなきゃだめですねえじゃあMの場所が 例えばここだとし ましょうえちょっと同じキワド気持ち悪い んだこれM1M2にしようはいそうすると ここまでくれ ば こういう形のま回転になってま裏向きで キャッチされる瞬間があるってことですね なのでまある程度この負債が大きくなくて はならないとちなみにですねこの急面の 動きで先行研究の結果が理解できるように なります先行研究で言ってるこの過程って のはどういうことかというとえこの核運動 量のベクトルが綺麗にこの赤道上にある 状況のこと言ってるんですね例えばこう いうとところじゃあこれMのえじゃケラー の論文なんでMKにしときますかこの状況 の時には法線ベクトルはどういう動きを するかっていうと綺麗 にこういう風にくるくるくるくる回ります よねえこの北極と南極を綺麗に通るように くるくるくるくる回るとえそれを考えたら えどうなるかというと今回転数が十分に 大きい状況を考えてますえその時って普通 にどっちに滞在しているかの割合北半球に いる時間と南半球にいる時間の割合いで 確率を考えてもいいですよね十分に回転 くるくるくるくるしてるんだった要するに 十分にこのえ法線ベクトルがぶつかる点が もうぐるぐるぐる回ってるんだったらその 滞在時間の割合が確率であると考えられる ので綺麗に角ヌルベクトルが赤道上にいる 時まつまりこういう状況の時ってのはこの え法線の点が北半球にいるええ時間と南 半球にいる時間がちょうど同じになるので 50%になるという結果がこの球面上で ですね理解できるようになりますえただ そういう特別な状況でない限り何が起き てるかというとこの核運動量のえベクトル の点がどこにいてもですね北半球にいるえ 割合が大きくなってますよねなのでその ことをちょっと書いておき ましょう はいえなので最初に向いていた面が出 やすいというわけ ですはいまこれで最初に向いていた面が出 やすいことは理解できたけどもじゃどう やって51%みたいな数字を算出するかと いうとえどこかまだ調べなきゃいけない とこが1箇所ありますよねそれが何かと いうとこのプサイが実際人間が投げる時に にまどう分布しているかですねえ2007 年の3人の論文はそれをですねえしっかり とえ詳細な実験でしめたというわけです そのことをちょっと書いておき ましょうはいしっかりとその間の角度負債 の分布をえま大変えだったみたいですけど しっかりと実験で調べた結果えその数値が ま約51%になると というのが2007年のえ論文のえ結果 主張になりますちなみに今回はま要点だけ なんで回転数がね十分大きくてこの北半球 と南半球のま滞在時間の割合がそのま確率 になるって話をしたんですけどえ実際の 論文の中ではですねえもっと詳細なことが 調べられてるので気になった方はですね外 欄の効果な実際の論文を読んで欲しいん ですけどもま本質部分を言うとですねえ こうなりますこういう風に再三運動して いるけども北半球にいる割合つまり最初の 面を向いている割合の方が大きいのでえ 適当にキャッチした時にはえそっちの面を 向いていることの方が大きいというわけな んですねでえ実際この1%のずれをですね え検証統計的に検証するためにま25万回 ほどですねえポイント数が必要だったそう なんですがえ最初にね言った2023年に アーカイブにアップされたえ実験の結果に よると実際ですねこのえ研究の中では48 人が集まっていろんな種類のですねえコ 投げたんですけどその投げた回数がですね えなんと35万752回ともうすごい正規 の差と思えないぐらいコイをしっかりと ですねえ突した結果え本当にこの数字に 近い実際にはですねえ50.8いう数字が 出てこのモデルの正当性がま1つねえ統計 的に実証されたということになります実際 にそのえ行われたえ実験の結果を見てみる とですねそのコインの形状によるえ差はえ ほとんど出てきませんでしたとまつまり コインを空中に投げてただ手でキャッチ するっていう状況においては別にえコイン の形状の差は出てこないえあとはですね しっかりと全部表からスタートしたえわけ じゃなくて表からスタートとか裏から スタートしたけどもそういう風なものも別 に差出てこないただ本当に最初に上を向い ていた面が出やすいという結果がえ出てき てますえあとはですねそのコインの形状の 差はないけどえ人間によるばらつきはね 大きくあったそうですま別にそれってこの 論文のねえ主張とずれるとこじゃないです よねだってプサの分布によってえ変わり うるのでえただですねその人によっては ほとんどでねえその差が出なかったりとか 人によってはこれがもう60%近いえて いう人もいたそうですというわけでですね えそんな2023の結果もえお話ししまし たがまコイントスはですねえこうやってえ 投げてテレキャする時にえ少しだけ最初に 向いていた面の方が出やすいというのがね え理解できたと思いますというわけでです ねえまたこんな面白い話はですねたくさん していきたいと思いますのでえ興味がある 方はチャンネル登録よろしくお願いします ではまた別の授業動画でお会いしましょう さよなら 届けの声を何個年でも声てなって度 だて 描き直しよ 立ち尽くす方が痛いから せ