難易度京大以上!?2024阪大理系数学を初見で満点取れるのか？【実況プレイ】

はいどうも皆さんこんにちはスターリーの 高野ゲトです9艇大ウィーク5日目は大阪 大学ということでゴールデンウィーク間は 高野塾イズム塾長である僕が毎日旧帝国 大学の最新年度の入手を丸1年分実況 プレイしていきますゴールデンウィークも いよいよ終盤戦ですが事件生の方は後悔し ないよう最後まで周りの事件生に差をつけ ていきましょう急艇代の問題は両も難問 ぞりであるということはもうご存知だと 思いますが今日もその入試問題を楽しみ ながら実況プレイしていきますそもそも 実況プレイって何かって言うと僕がね初見 の問題を解きながらただ考えたこと思った ことっていうのを話していくっていうもの なんですけど入試問題解くのってねゲーム みたいで楽しいんですよねだって勉強通し て集めてきた武器を使って入試問題って いうボスを思考錯誤しながら倒していく のってもう完全にゲームと一緒じゃない ですかしかも僕自身がね初見の問題にどう いう風にアプローチしているのかその思考 プロセスを皆さんと共有できるので勉強に もなるしもう一石日重な企画なわけです そしてで今回プレイしていくのは2024 年大阪大学の理系数学大阪大学といえば 以前コラボした積分サークルを排出した 大学ですが今年はただでさえ難化した兄弟 以上に難化したとの噂です数学は5問で 150分高塾イズム塾長の何かけて楽しみ ながら問題という敵を倒していき ますはいそれでは大阪大学の実況プレイ やっていきましょうどんな問題が出るか 楽しみですねまずは第1問からえ数3の 極限ですねはい自然数nに対して関数 fnxをこのように定めますよとで1が 方程式fnx=0はただ1つの実数解を 持つことを示せとまよくある問題ですね かこ2がえその実数回Nと置く時この極限 値を求めてくださいでかこ3がNanの 極限を求めてくださいとまこの時点でか2 番の答え0で確定しますよね0だからこそ それにNかけたものの極限求めてください とか3が機能するのでまか2どうせ0に なるんだなっていうのはま分かるんです けどその前にまずは括1番からねまかこ1 番はもう徹底基礎講座で何回も扱ってる ような話ですよね実数回を考えていくけど fnxよくわかんないから微分して増減を 調べようとま微分は楽勝でえ-2NEの NX-3333x かはいまあパっと見負ですねまNがね自然 数っていうことはこいつが1以上っていう ことが言えてまsinx3-1から1の 範囲ってことはパっと見ふってことを言う ためには最大でもえ1/3とでこっちがま EのNX上っていうのは単調増加なので -2N倍したら単調減少ってことはどんな に大きくてもXが0の時の1ですねだから -2N以下だから-1/2以下って言える ので言えますね証明できるとこれより -1/2え+1/3で-1/6以下 すなわち負だっていうことが言えるわけだ から単調現象ですよとじゃあとはただ1つ の実数解を持つっていうことを言えるため にはえある時点で正である時点で負であれ ばその間にその実数回anがありますよと 今回はxの定義0以上なのでままずは0を 代入しますか0代入すると1-1/2+1 だから3/2だねであとはこのねfnxを xね無限に飛ばしてあげればいいわけです よね無限に飛んだ時に負であればまどっ かしらのタイミングでねあの正から負に 切り替わるタイミングがあるって言えます からねそうするとまEの無限上をマイナス 倍してる時点でマイナス無限ですねcos 13は高々-1から1の間を振動するので マイナス無限よって台が示されましたよと まか1番はね徹底基礎講座でも何回もやっ てるまあの典型問題とでか2番がまこの 極限を求めてくださいってことかま そもそもanって何っていうことを考える と1-1/2ENAN+cosananか =0これを満たすえ解がanというわけで おそらく0に収束するわけですよねま0に 収束しなかったらこいつがマイナス無限に 発散しちゃうのかだからこれをねまだから 1+cosananってまどうせ0から2 の範囲を振動するわけですよねでこのan っていうのが0に収束しなかったらNan がとんでもないことになっちゃうっていう 話をしてあげれば良さそうですねだから これよりえEのNAN上っていうのがま 移行して2倍すればいいから2倍する ところの1+cos1anと ということでまこれlog取ってあげて an=っていう風にすると1/倍のlog 21+cos13Nという風になりますね だから結局ここの部分 が挟めるわけですねこれがlogま1/ logまこのcos13Nが1の時cos えlog4ですねから1Logうんこれ0 になっちゃうななのでこのねcosan anが-1にはならないってことは一応 言わなきゃいけなくてだからここX無限 っていうのを代入せずに例えば適当に何で もいいのかな3とか入れればcos1で あの-1になることないかだから3代入し ますか FN3っていうのはえ1- 21Eの3N+cos1とこれが負であれ ばいいんだけどまcos1っていうのは1 よりちっちゃいっていう風に言えば2- 1/2Eのま3乗以下まEは2.7とかだ から明らか0より小さいですねはいま こんな感じで3より小さいってことが 言えるわけだからえこのね21+cos1 変なの1+cos1みたいな感じにして あげてまここ定数定数でNで割ったらえN を無限に飛ばしたら当然0に収束するの で挟み打ちの原よりanが0に収束します よとでかこ3が極限値NANを 求めよまこいつ かanが0に収束する ならこの右辺が4に収束ということでEの NAN上が4に収束するわけだからNは log4に収束するかこ3log4だから 2log2です ねまこんな感じですかねうんまとりあえず この2番か3番でやりたいことっていうの はanって結局何だっけっていうことを 考えながらまかこ2はねanが0に収束し なかったらどうなっちゃうのって考えれば まあ自然な発想でかこ3はNanここに いるのかでanが0に収束したらどうなる かなってことを考えればまそんなに難しく ないまあの徹底基礎講座ね受行されてる方 だったら確実に点数取りたいそんな1問 ですねでは続いて第2問え複素数ですねえ アベを複素数とし複素数Zに対してまこの ように置くとアベはこれかつこれを満たし ながら動きますよとアベここですねこれと これかでか1がえF1+Iが取り値の範囲 を求め図せよとで過2がそれが0である時 アベの値を求めてくださいと うんまあそうですねとりあえずF1とか Fiこれ図形的な解釈難しそうなんでま 複素数平面って言われたらまずは図形的 解釈を試みますよねでもZ2乗とかあっ たらちょっと難しそうだなっていう風に 感覚的に思ったのでF1-3代入するとえ 1+ア+ベ-3だからア+-2 かこれの絶対値が1位かでIを代入すると と-1+I+-1だからえI+ベ2かこれ が3位かこれを満たすアベのもでF1+I これ計算するとえ1+Iの2っていうのは 2iか今あの複素数平面の回転を考えまし た1+Iっていうものを2乗すると長さが 2になってま45°ねまた回転するわけだ から2かでえ22 +えこうF1+Iっていうのが2i+ア倍 の1+I1+Iア+ベとこいつが取る値を 求めてくださいていうことなのでまこれ= Zみたいに置いてあげてこれを満たすアと ベこれが複素数ですねアとベが存在する ようなこのZを考えてあげてくださいって いう話ですよ ねうん まよくわかんないですけど図形的解釈は 難しそうだなっていうのとアとベこいつを 考えるのは難しいのでま直感的に思った ことていうのがア+ベ-2とIア+ベ-2 っていうのをま別の文字例えばまXYで いいですかねXYとかっていう風に 置き換えてあげちゃえば えまxとyの動きっていうのが単純化さ れるのでまZの動きっていうのを追い やすいかなっていう風に思いますねこれ あのベクトルとね同じ発想でありますよね なんかこう2aベクトル+bベクトルが1 でaベクトル-2bベクトルの大きさが1 の時まこういうね条件が与えられてる時に この中身の部分をまCベクトルDベクト ルっていう風に置くといいよねみたいな これは徹底基礎口座でやってるのでまこれ と同じ感じですよねそうするとえこれ=ラ Xこれ=Y差を取るとベが消えるのでi- 1 アま1-Iアがx-Yかということで両辺 に1+Iをかけることによってだから 1/2+Iをかければいいのかアは1/2 +I下X-Yとでベはって言ったらまア+ ベ-2=ラXなわけだから ラx- アア+2となのでえっとXの係数が 1/2-IXでYが1/2+IY+2って いう風になりますねうんということでここ にアとベベッとベベと代入してあげれ ばXYだけの関係式になりますね2i+1 +Iかるとえ1+Iのは2iなわけだから I倍 のラx-Y+ベまベはこいつですねこいつ ということでこれ計算するとえLXの係数 はI+1/2-なんで1/2+iラXでY の係数は-Iとこれだから+1/2-I かラYで定数項が2iと2からま2倍で くっときますか2倍の1+IとこれがZ ですよとということでこのラXとラYがま 絶対値が1以下と絶対値が3以下という ことは1以下の半径1以下の円こっちは 半径3以下の円っていうのをね動いていく わけだからま1文字固定です ねこれなんか今年の兄弟の問題に似た問題 ありましたねあの別でね実況プレイしてる ので是非そちら見て欲しいんですけどだ からこの 問題京都大学の今年の問題のまレベル アップバージョンみたいな感じの問題だ なって思いますねでラXが半径1の円ま 絶対値が1以下なでね半径1以下の円を 動くのでそれを1/2+倍するとえま√ 1/2+Iが回転だから√Xとで1/2- iの方も√1/I下√っってすることに よって結局 ここの部分っていうのが半径√1/2の円 を動くのかま何が言いたいかというとラX の動く範囲っていうのは1以下の円ですよ ね中心が0で半径が1の円とま1i-1- iとこの円の中を動くわけなんだけどこの √下√1/2+Iって何かって言うとこれ をまず√1/2倍に縮しましただから径が √2のNになってその上で√1/2+iこ れって45°書い てということで円をくるっとね45°回転 させるま結局N回転させてもNなのでこの 円を動きますよとでこっち側√1/2-i √の方も同じ理屈でえ√32のNと半径√ 3/2のNを動きますよと とするとこれを足し合わせると結局ね√ 1/+√のえ半径2√2の円を動くの か合わせると半径2√2のまNの 内側っていうことが分かるわけだから足2 1+Iっていうのを図してあげるとえ21 +Iこれえ原点からの距離2√2ですねま 1+Iあ22+2iでしたえここが1+I じゃなくてその2倍だから2+2iって いうのを中心として半径が2√2のNだ から原点を通るまこう [音楽] いうよしはいまここが4合でまこんな感じ の円の内側だね内側を動きますよ とでイコールは当然含みますねこっち イコール含んでるのでえ境界も含むとま こんな感じですかね境界を 含むまかこ1番に関してはこれ全部ねF1 FYF1+Iっていうのをアベに表した上 で絶対値の中身をラXラYに置き換えて あげてでこれが円を動くんだっていうのを 見抜くま 結構難しくないですかこれ分さあ めちゃめちゃついてますねでか2番がF1 +Iが0である時アベの値を求めようだ からF1+Iっていうのがちょうどここ です ねということはあのこのねま半径√2の円 と半径√3/2の円を動いたこいつらがえ 左側に全部突っ切って欲しいのか何が言い たいかというと√1/+I下√ っていうのと√2-Iか √このベクトルがあるわけなんだけどこれ がま21+Iっていうのを出発して左下 左下に進んで欲しいわけですよ ね つまりつまりこれが√2の1-1-- Iかあ何が何言ってるんだ私は何を言って いるんでしょうかえ方向ベクトルが-1- -iだよねでこの大きさこれを単位 ベクトル化するために√1/2で割りまし たよとこれが単位ベクトルということで 大きさがえ√だけ進んで欲しいので掛√ 1/2でこっちはえ √だけ進んでもらえればいいとまこの式を 識することによってラXとYが求まるから アベも求められるよねとまここに代入して あげればいいわけですからねまこんな流れ でしょうかえこれ約分して約分してえラX っていうのを求める とえ1+Iこれ両辺1-Iをかけることに よって1-Iかけると1-I下1+Iは2 なので1/2倍すればねからこれか 1/2-Iっていうのをするとえこれかる これは えっと -1-1-2-1か なで- i+i-1ですね おおなんか綺麗でラYがえーこれも1/2 +Iっていうのを書ければいいのかな 1/2+Iっていうのをかけてあげること によって今度はえ-1+ 1で定数が消えて-i-I-2iだから -3i かラXとラYが求まりましたじゃあとはア ベにここに代入することによってアって いうのがえ1/2+I倍 のえx-Yだから-1+3iかこれ計算 すると -1-3で-4だから -2え虚数のところは-I+3iだから 2i÷2だから+Iかでベがえ2のうわ めんどくさいア+ベ-2=ラXに代しア+ ベ-2だからラ XラX+2- -ア+2-Iかだから3-Iになるね はいこんな感じですか ねまかこ2番はねこのかこ1番で出てきた 領域を見てじゃどういう風にベクトルとし てねこのラージXラージYが進んでいくの かっていうことを考えなきゃいけない問題 だけどまこれはかなり差がつく問題かなっ ていう風に思いますねうんまちょっと他の 問題との兼ね合いにもなりますけど他の 問題がこのレベルで来てたらなかなか 厳しいセットだったかなっていう風に思い ますはいじゃあ第3問をネジレの位置です ね京都大学に続いてあてことは大阪大学 一応その第1問に関してはん第2問か さっき解いたこの大阪大学の第2問に関し ては京都大学の問題のまレベルアップバー ジョンっていうことでま結構京都大学と シンパシーの感じるセットですねじゃあ やってきますか第3問だから平行じゃない と交わらないっていうのがTノ=0とU not=0によって担保され るっていうことですねなんかパップぎるだ の定理っていうこれあの中学受験ではあの 頻繁にね出てくるこれオイラー関数って いうのが背景にある話ですねということで 無事前問正解することができましたイエイ よかったいやでも今年の大阪大学の問題 結構難しい問題ありましたね第5問はま 標準よりちょっとむずずいぐらいで第4問 はまサービス問題ですねこれは絶対落とし ちゃだめで第3問と第2問がまこれは差が つきますね ま解けなかった受験性もかなり多かったと 思いますで第1問はまこれもねまできれば 取りたい問題ですねまこのね第1問自体は 標準的な問題なのでこういったね標準的な 問題をいかに点数取りこぼさないかって いうのがま合否の分かれ目を決めたんじゃ ないかなという風に思いますまこういった ね標準的な問題でしっかりと満点が取れる そういった万力な数学力を身につけたい方 は僕の数学力の全てが詰め込まれてる徹底 基礎講座絶賛開口中ですので気になる方は 概要欄の方からチェックしてみてください 徹底基礎講座は標準的な問題だけじゃなく てまこのね第2問みたいなかなり難しめの 問題に対してもま実は徹底基礎講座で話し てる内容っていうのをしっかりと実践して もらえれば全く問題なく解ける問題だった わけですよしかもですね現在ゴールデン ウィークキャンペーンを実施中で今高野塾 イズムの熟成になっていただいた方全員に 3000円分のクーポンをプレゼントして ますもう大変お得なキャンペーンになって ますのでもうゴールデンウィーク間を利用 して周りの受験生に圧倒的差をつけたい方 は是非ねお早めにご検討いただけたらなと いう風に思いますなので是非この塾イズム で学んで一緒に合格を勝ち取っていき ましょうまだまだ休憩代の実況プレイの方 続いていきますので是非チャンネル登録の 方もよろしくお願いいたしますということ でまた次回の動画でお会いし [音楽] ましょうne [音楽]