【いかにして問題をとくか】超ロングセラー本を解説します【未知の問題に出会ったら？】

はいこんにちはえ今回はいかにして問題を 解くかというこのダベストセラーになって いる名所について紹介解説をしていきたい と思いますまタイトル自体はねえ寿司屋で ウに出された時にいかに変更した方がお得 かみたいなねタイトルしてるんですけども え全然違いますこの本の中身は数学の問題 解決本ですこの著者のGポアという人が ですねえ数学者の人なんですけどもえその 人が数学を勉強する学生とかえ数学を 教える教師の人に向けて書いたえ数学の 問題解決アプローチ本なんですねはいま この本がですねえ最初に出たのが1945 年なんですけどもそこからずっと売れ続け てる普及の名所なんですよまあの内容は ですね中身はめちゃくちゃいいんですけど 一線古い本だったんでめちゃくちゃ読み にくかったんですねそんな本がですね比較 的最近まリニューされて休事体とかが消え たということでですね今えその方をね手に 持ってるんですけどもえリニューアルされ てじゃ読みやすくなったかというと正直な ところですね読みやすくはないと思います まなんならもっと言えばですね読みにくい 本だることは変わりありませんまただね その評判の高さも評判の高さからも伺える ように中身はめちゃくちゃいいんですよな ので今回ですねえこの中身を少しでもえお 伝え多くの人に伝えるためにですねえ僕 なりに噛み砕いて要点をですねまとめてお 伝えしていこうと思いますもし詳細が気に なった方はですね是非概要欄のリンクから ご購入を検討してみてくださいえではです ね話ををしていきたいんですがこの本の どこが優れてるかって言うと一言で言うと 数学の天才がなぜ問題が解けるのかという ことをですね言語化したからだと思います なかまイメージしやすく言うとですねえ 近くで数学の問題めちゃくちゃ解ける人が いるとどうしてあんなに問題が解けるん だろうと思ったことありますよねなんか 不思議だなみたいな天才的な発想とか ひらめきがそんなパパパ出てくるのはどう してなんだろうと思いますよねその人たち の頭の中が言語化されていますしっかりと ステップでまとめられているとま結構数学 をねずっと勉強してると当たりになって いることもですね現行されてるのでま 改めてねもうすごくだいぶできるように なった人も何かねえ問題にぶち当たったえ ぶち当たった時にですねもう1回この本の 内容を見てみるとえ初心に帰れてねその 問題が解決するかもしれませんまそういっ たえ頭の中が言語化された本ですまそれが ますごく優れているというのがえ1つなの で是非ですねえ受験生とかはこの動画を見 てですねえ受験数でも解く時に役立てて見 てくださいあとどうしてですねこんなに 売れたかというともちろん数学の本として 優れていたということもあると思うんです けどもあとはですねこの本に載っている 問題解決の方法が別に数学に限らずに 役立つよねということでビジネス本的な 売れ方をしてるんだと個人的には思ってい ますなので是非ですねま仕事で別に数学 使わないよとしてもですねえこの本の内容 から何かね皆さんのビジネスに参考になる ことがあれば嬉しいですえではですね そんな話を踏まえてやってきたいんです けど今の話をまとめてですねこの本を ざっくりまとめるとこれですこの本は未知 の問題への対処法が載ってる本なんですね え何か未知の問題にぶつかった時に我々は どう立ち向かうべきかというステップが 書かれています今回はそのステップをえご 紹介していきましょうえまず1つ目はい 数学の問題が与えられましたそしたらまず は問題を理解することだと言っています 当たり前のように聞こえるんですけども よく理解しましょうって言ってますなんと なく分かってる状態でよく分かってない こともあるなっていう状態のまま例えば 計算をしてしまったりとか作図をして しまったりとかっていうまその細かい仕事 をするなよって言ってますしっかりとまず は問題文をまず大まかに理解して細胞 どんどん理解していってもう頭にしっかり とくっきりと理解した状態が残ってから 実際に進めましょうねと言ってるんですね それぐらいすごく大事なことだと言ってい ますえ具体的にちょっと過剰書きで紹介し ていきたいんですけどもえここで意識する ことですねえそれは与えられてるものは 何かと例えば何か文章代で数学の問題が 与ええ与えれた時にえ何が問題部の中でま 条件になっているか与えられてるかっての をしっかりと意識強く意識しましょうと 言っていますまこれは本当に受験数学ねえ 勉強しての人によくあるのがその問題部の 前提をそもそも理解できていないってこと がねえありますねなのでそうならないよう にしっかりとと何が与えられていて何が 与えられていないかつまり未知なものなの かをしっかりと意識しましょうこの本は ですねずっとこれ言ってきます未知なもの は何かというのを意識しましょうとまもう 当たり前なんですけどね例えばなんかその えこの対角線の長さを求めなさいって問題 だったら未知なものは対角性の長さなん ですけどもそのどんどん問題が複雑になれ ばなるほど考えてるとですねこの未知な ものが何かそもそも求めたいものは何 かってのを忘れちゃうんですねしっかりと 原点に戻ろうねとえ言っていますその目標 を見失わないように未知なものは何か未知 なものは何か未知なものは何かと考え なさいと言ってですねえこの本の中で何度 もこのセリフが出てきますもうみちみち みちみち言ってるんでもうみちますかなと 思いましたけどもそれぐらいですねえ大事 なことだと言ってるのでしっかりと与え られてるもの与えられていないものを強く 意識しましょうと言ってるんですねえ そして次は図や記号を書きなさいと言って いますまこれも自分の理解の助けになる ようなえ正確な図を書いたりとかしてえ 正確なというかその適し図を書いたりして ですねえより深く理解して問題解き進め ようって言ってるんですけど少し面白いの がま記号かけというのは要するになんか その点ABBとかのことなんですけどここ で使う記号はまあのある程度よく用い られるま決まったものを使いましょうと 言っていますだからこれって当たり前な ようであまりその言葉で言われたことない ですよね例えばその未知なものに対してX とつつけるとか次にえYとつつけるとか 何か与えられた定数とかに対してab シートえ置くとかって何かその特に高等で 言われたことないですよねこうきましょう とかってただまその数学が得意な人であれ ばあるほど別にその文字の種類に意味はな いってのをま強く認識してるんであまり 強くは言わないんですけどもただ実際に 問題を解く時にそのよく用いられているお 決まりの記号とかを使うと自分のこれまで の記憶とかとマッチしやすいとこれまで こういう問題取れてきたなとかっていうの とマッチしやすいというのでまおまいの ものをしっかりと使いましょうねとえ名言 してくれていますなのでなんかそのなんか 文字どうしたらいいですかってね数学 めちゃくちゃできる人に聞くとそんな文字 なんて何でもいいんだよみたいなねもう 記号なんだからってね冷たく言われたこと があるかもしんないんですけどこの方えで はですね優しくま決められたものを使い ましょうと混乱がないように例えばまその 長さとかだったらL使うとかねえ高さとか ではH使うとか体積だったらV使うとか よく持ちられてるものを使いましょうねと 言ってくれていますはいそして3つ目がえ を分割せようと何かすごくねえ長い複雑な 問題文とかますごく難しい問題ちゃった時 にいぺにねバート見るのではなくて1個1 個分割してしっかりと条件を抑えていき ましょうと言っていますこれもですねま これでつまづいた経験がある人が多いかも しれませんが改めてですね意識してみ ましょうはいえこれがまず1つ目問題を よく理解しなさいと言っていますこれが まず大事実際に手を動かし出して何か 考える前にまず問題もしっかり理解し ましょうとえでは2つ目行きますえ次に 計画を立てましょうと計画を立てること これが問題を解く時に大部分を閉めると 言っています大 部分ここがもうめちゃくちゃ苦しいとこだ ともう言ってくれていますもう苦しい らしいですはいえ計画を立てること具体的 に何をしてくかと言うとこれからですね 結構面白いですねこれまでにやったことの ある似た問題ないかってのをね探せって 言ってます似た問題を知っているかともう これを考えろとめちゃくちゃしつこくもう あらゆる手で行ってきます似た問題知っ てるかこれなんかね意外かもしんないん ですけどその数学の天才とかね数学が めちゃくちゃ解けるように見える人たちが 何か問題解く時になんかスーパー発想でね いっぱい問えてるように見えるんですよね なんでそんなの思いつくんだろうとでも ですねこの本は言ってくれてますもうゼロ からその生み出すなんて無理だからとえ 必ずですねその問題を解く時のポイントに なるのはこれまで解いてきたものの蓄積で その経験や知識だと言っていますなので 何か問題が出てきた時にはこの問題の なんかこういう部分にえ対する似た問題は 問えてきたことがなかったかってのを しっかり考えましょうって言ってるんです ねもうこれをしごくですね言ってます本当 に似た問題してるか似た問題知ってるか何 か少しこう見方を変えたらあの問題に似て ないかと自分が知ってる定理が使えないか とこういうのも考えましょうと言ってい ますはいまこう数学者の人が言ってくれ てるとですね心強いですねその発想なんか なんかもうなるべく心を無にして発想を 待ちましょうとかじゃなくて似た問題ない かってのをもう根気強く探そうと言って くれてるわけですえそして次が近い問題を 考えろとなんか雰囲気はねこれと似てるん ですけどもえ少しニュアンスが違くて何か 問題がえ問題をまとめてみたらま難しかっ たとそのままでは解けそうにないって時に 例えばえ問題文をまより一般化してみたり すごくねそれで見通しが変わるかもしん ないしあるいは少し特殊なケースに限って 見たりとなんかまあ一般的な文字で与え られてるかもしんないけども具体的な数値 にしたりとかまえあるいはですねえ何かを 0にしてみてしまったりとかってま受験 数学ではねよくやるテクニックだと思うん ですけど改めてえこに名文化するとそう いうのをまとめて近い問題を考えろて言っ てるわけですね他にもですね問題の考え方 としてはそのある条件を取り除いたりし なさいって言ってますなんかまよく数学の 問題問いててありますよねこの条件がある せてめちゃくちゃむずいみたいなそこのQ がこの壁に制するとかって特別なかったら なとかって時にその条件をもう取り除いた ものをまず考えてみましょうとかって言っ てくれてますそしたら何かねえ見方が 変わってえ問題をね解くのが進むかもしれ ないっていう話をしてくれてるわけですね なので近い問題を考えろとまそういうのね このえ本の中では補助問題って言ってるん ですけどこういうのも自分で細かく作って ことによってちょっとずつも進んでいき ましょうって言ってるんですねもう つまづいても全然失敗してもいいとまその 分だけですね問題の理解度が高まると言っ てるのでどんどんどんどんたくさんつづい てですね保助問題をたくさん作ってえ計画 を立てていきましょうと言ってくれてい ますえでは次ですねえ条件を全て使ったか とはいこれもですね受験数学取れてるとま よくありますねえ特に照明問題かなんかで まあねこうやって計画をたてこうこうこう 証明しようって時に何かその1ピースだけ 足りないともう少しなのになんかいかない うまくいかないなと思ったらま大抵の場合 からですね何か条件を見逃してますそんな ことあると思うかもしんないですけど本当 にま複雑なえ入手問題とか取れてる時には 結構ですね文章の中で過程がさらっと書か れてるんですねその過程をちょっとでも 使ってなかったりするとえその問題が進ま なくなったりしますなんか例えばね問題文 の中でな平行とかで書かれてる時になんか この線も平行とかっていうねえのが一分 書いてあったりとかするとその条件を使わ ないだけですねえ普通ままえうまく証明が できないとか解けなくなってるのでそう いう条件に見落としがないかってのを しっかりとえ考えてみましょうと言って ますもうこの段階でですね問題を理解する 時に与えられてるもの何かは強く意識し てるのでこれで改めてですね計画を立てえ 立ててる時にえ条件を全て使ったか考えて みましょうと言ってくれてるわけですはい もこれはもう本当に大部分になって言って ますなんこの1234とか言ってるけども この2がですねえめちゃくちゃもう時間的 にもかかる重要なえ苦しい部分だと言って ますそして3番目この丸2で考えた計画を 実行することと言ってるんですけども3番 はですね全く中身がないですこの本の中で もえなぜなら3人必要なは忍耐のみだって 言ってますもうニニもうそれぐらいですね もう要するに言い方悪く言えばもう作業な わけです計画を立ててしまえばこうこ こうこうこういう計算すればうまくいく はずあとはですねも集中してみなないよう にえ自分で手を動かしてですねもう計算を 進めるわけですもう忍耐忍耐忍耐これは もう忍耐あるのみだと言ってますもう書い ちゃおう 忍耐はいだ意外とこれだけなんですねえ3 番は忍耐ま言ってこともなんとなく分かり ますねえでは4番目行ってみたいと思い ますえこっからがですねえ特に受験者は 聞いて欲しいかなと思うんですけどもえ 結果が出ましたと計画を実行して結果が出 たその時に最後にすることは振り返って みることと言っていますえまず結果を 試せるかどうかとえ実際に出てきた結果 っていうのが何か特別な場合にしてみたら えその直感とずれないかとか何かおかしい ことえおかしいことが起きてないかっての をえよく見てみましょうと言ってますえ これからですねねえ少し例題を使ってこの 辺りは細かく話していこうと思います そして次え別の方法はないかえ例えば別の 証明方法はないかとか何か数式の答えが出 てきた時にえ数式の見方を変えたらこう いう風にも解釈できるんじゃないかって いうえ答えが出てから別の視点で考えられ ないかとかあるいはより簡単に示せる方法 とか計算する方はなかったかてのを検討し ましょうって言っていますこれが今後に つながる大事なステップだという話ををし てるんですねえ今後別の問題を解く時に こういう経験が強く生きてくるとそして次 に他の問題に応用できないかを考えなさい と何かえ機関の問題問えた時にも高校こう いう条件変えてみたらまた別の問題になる かえなるなとか高々をこうしてみたらああ いうことも分かるんじゃないかってのを 自分で考えてみましょうって言ってるん ですね自分で問題を作って自分で問題問え たことがなければダメだと言っていますま なかなかねここまでね問題問えてて不やれ ないと思うんですけどけどもこのね他の 問題応用できないかをしっかり考えなさい と言ってくれていますでま最後にねえ追加 するようなことでもないんですけどもこの 本はですねま今話としてはなるべく受験生 にえ刺さるようにねえ向けて話してるん ですけどもこの本をですねま強く押す人 たちの中によくプログラマーの人たちが いるんですねプログラマーの人もですねえ こういう何か難しい問題に日々ま ぶち当たるようでこれをですねえ強く意識 するとえ先に進んだりするとえするそう ですはいというわけでえ今ね1234と ステップを書いてみましたがまあ何かね 具体であった方が分かりやすいですねただ まその数学の問題があまりにも難しいと その数学の事業動画になっちゃうので めちゃくちゃ簡単な問題をもうバカ正直に ですねえこのステップで考えていきたいと 思います実際にこの問題はこの書籍の中で も紹介されてるのでまよりですねえ詳しく たくさんいろんなことがですねいろんな 角度から載ってるのでえ詳しく見たかっ たらですねこの方見て欲しいですけども ここではですねえ要点だけお話ししていき たいと思いますじゃあどんな例題を考える かというと例題としてえ長さ幅高さが与え られている直方体の対角線の長さを求め なさいという問題ですえはいこういう問題 が与えられましたまずは問題をまずよく 理解しましょうえ高さ幅長さが与えられ てる直方体でそれが与えられてるもので 未知なものが何かって言とその対角性の長 さですよねはいしっかりと認識できました えでは図を書いてみたいと思います 図はいこういう直法体なんですよね図を 書いてみましたそうしたら記号を書いてみ ましょう与えられてるのは長さ幅高さなの でえじゃあこれをAと置いてみようBと 置いてみようCと置いてみようというわけ ですねここで使う記号もなんかね突しも ないえオリジナリティ溢れる記号じゃなく てえよくこういう与えられているま定数な ものにはよくこういうABBCっていう 記号を使うのでABBCを使っています はいそうをして求めたいものが何かと言う とこの対角線の長さっと言ってるんですよ ねこの対角線の長さを知りたいじゃあこれ をま記号を使って表しましょう未知なもの にはよくXを使うのでXを使うと記号を 使っていますえお決まりの記号ですねこれ を使うとその自分の別の記憶とリンクし やすいとこのステップがやりやすくなるん だって言ってるんですねま今回単純すぎて ねそんなこともねえよと思ってる人もいる かもしんないですけども図がすごく複雑に なったりとかするとやっぱりですねえよく 使う記号を使うといいでしょうという話 ですはいXを置きましたではですねこれが これはえこれが解きたい問題だということ でよく理解ができたと思いますでは次に ですね計画を立て立てていきたいと思い ます1番強くて1番楽しい部分ですねはえ さてなんからこの問題を初めて見た人のえ 気持ちになってくださいねこんなのに死ぬ 時ぜとかって言うんじゃなくて初めてこの 問題見た時の気持ちになって欲しいんです さてこの問題を解く時に似た問題を何が 知らないかなと考えてみるわけですね似た 問題でもえ例えばもう僕はその立体的な 図形の数学の問題ないで解いたことないよ としますよねでも諦めずに何か似た問題 解いたことないかを考えるんですああ なんか確かに平面なったら長さを求める 問題やったことあるなという風になってで 平面で長さを求める問題って例えばなんか 直角三角形のえ変の長さ求めたりしたこと あるなとなんか3平法の手てやつでなんか やったことがある気がするとという具合 ですねだからまそういう何かしらのえ かけらでもいいんで繋がりを探して似た 問題は知ってるかどうかをひたすら考え なさいと言っていますここではじゃあ今 言ったみたいに平面で直角三角形のま特に 車検の長さだったら求めたことがあると いう風に思ったとしましょうそしたらこの 問題の中から直角三角形が出てきたら 嬉しいですよね自分が知ってる問題と リンクするのでえなのでここに直角三角形 を見つけるわけ ですはい直角三角形を見つけたと言うこと は これCでこれ何も置いてなくてXって書か れてるけどもCとこの何も置かれてない 部分が分かれば斜辺が分かるなと今までの 経験から分かるわけですねそしたらこの 斜辺ね斜辺じゃないこのえ下の底辺の長さ をYと置きましょうはい置いてみます どんどん記号を書いていきますそしたら ここにも直角三角形が現れてることに 気づくこのえ生徒は気づくわけですね はいそしたらあこのYだったら求められる なと自分が知ってる問題とリンクします これがえこれまで解れたことがある問題に なってるわけですねこのYというのはこう いう風に書けるね とはい3平の定理からこういう風に かけれるということが分かったとそしたら このXってのはこのYを使っ てこういう風に書けるのでこれYをえ代入 すれば こうなってでxというのはこれ正の平方 取ってあげれば長さになるの で5というわけですねこれがま似た問題を 探すというステップの話でしたさてまこれ はもう計画実行しちゃいましたね一瞬で 終わりましたこうやれば求めるはずって いうとこまで行って計画を実行ってのは この絵流れですね結果が出ましたでこれで 満足するんじゃなくて次にやりたいことが あるんですねそれが結果を振り返ってみる ことです結果を振り返ってみますこの結果 を試せるかっていうのがねえここでえ結構 その例えば受験生とかだったらえ計算ミス が多い人と計算ミスが少ない人のね下に なってきたりするんですけど計算ミスが 少ない人はですねえ必ずこれを無意識の うちにたくさんやってますえ特に物理を ですねえすごくちゃんと勉強するとよく これをたくさんやるんですけどどういう ことかというと例えばこの図形問題でもえ 例えばですねAABCについて対象な式が 答えになったなきゃおかしいんですね別に え長さ幅高さが与えられて適当にこれAB BCって記号を振ってるだけなんで別に どれも差がないはずですつまりABBCに つて対象なはず自分たちが別にこの名前を つけるの変えても結果は変わらないはずな のでX=の式で出てくるこの右辺の形が ABBC別にどれを入れ替えても同じ結果 になってなきゃいけないとこの時点で何か ちょっとでも近かったらえそれは自分たち の結果が間違ってる計算が間違ってること になりますこれがま結果を試す1つの方法 あとはどんな方法があるかっていうとCを どんどん0にしていったらどうなるべき ですかねCをどんどん0にしていったら このXが最終的にこの床にピタって くっついて平面の3平方の定位になって ほしいですねCを0にしたらしっかりとx =√a2+b2乗という平面の3平の式に なったながま正しそうだなとこういうのが 結果を試すということ他にもどんなことが あるかって言うと対角線が長くなるような ケースとしてCをめちゃくちゃぶちのまし てあげた時にしっかりとX大きくなるかと C大きくしたらXがしっかり大きくなるか なっての見てあげるこのAも大きくなっ たら大きくなるはずなBも大きくなったら 大きくなるはずなっていう風に何か変な こと起きてなさそうですよねこういうのも 結果を試すことの1つ他にももっともっと たくさんあります例えばこれABCを全部 え5倍とかにしたらこのXも5倍になって なきゃおかしいですねそのなかビッグ ライトとかで5倍に全部当てたえ当てる 状況を考えるのでXも5倍になってなきゃ おかしいと5倍5倍5倍Aを5abを5B Cを5Bにした時にしっかりとXはこの 全体の5倍になってるかってのをチェック してあげるとこの式見たらそれは成り立っ てそうですねっていう具合にもできるし あとはですねちょっとこれ物理チックなん ですけどもえ次元を考えるまより優しく 言うと単位を考えるという方法があります 例えばAABCがメで与えられてるとし ましょうとえ1m2m3Mとかっていう風 に単位付き与えられてるとするそしたら しっかりとこのXの単位もメになって なきゃおかしいですね長さなんではいと 考えるとしっかりと2乗しちゃってるけど もルート取ってるんで単位メーになりそう ですねという具合にまこれが次元を考える という操作ですあとは足し算してる時に これ次元の違うものはですね足し算され ないはずなので一方はメトなのにもう一方 がえ平Mの足算ってこれありえないですね 長さと面子の足算ってありないのでこの ルートの中でも変な足し算とか行われて ないかってのをチェックできるとこれも 結果を試すことの1つですま物理では本当 によくやるんですねこういうのもえ何か 結果出た時にえまず次元があってるかどう かを確かめる今自分が求めてんのは周期と いう時間なので出てきた式がしっかりと 時間の次元になってるかを確かめるっての はよく物理をやりますま数学のこの機関の 問題とかではしっかりとえ長さの次元に なってるかどうかってのをチェックし ましょうという話なんですねはいえこれが 結果を試すということそしてですね別の 方法はないかってのが何か別の証明方法が ないかってのを考えることま今回ですねえ だとねちょっとねえ問題が単純すぎるので あんまり出てこないかもしんないですけど もう少し複雑な問題に出会った時にも別な 証明方法はないかとか結果が出てきたけど も別の解釈方法はないかってのをしっかり と考えますはい そして次が他の問題に応用できないかって のをしっかりと考えてみるとえこの結果を 見て何かに応用できないかこの問題見て何 が応用できないかってのを考えておくこの たくさん考えておいたストックがですね 今後のここで生きてくるんだっていう話を してますなんですかね例えばこの問題だっ たら えっと直方体をえ直方帯の外接級とかを 考えて外接級の問題とかに使えないかなと かあるいは直方がこれ別になくてもえ3 次元の空間中に点と点の財が与えられたら その長さ求められるんじゃないかなとかっ ていう風に何か自分で近い似たような問題 のケースを考えてみなさいと言ってるわけ ですねはいこれがえ具体的なえ例を使った このえフローのお話でしたはいというわけ でですねえこの本はまこういった何か未知 の問題に出会った時にえどうやって対処す べきか数学ができる人の頭の中がどうなっ てるかってのはねええ書いてあるのでその ね要点をまとめたものがこちらになります というわけでえ今回はですねこのいかにし て問題の解くかを紹介解説してみました 是非ですねえ面白かったと思う方は チャンネル登録高評価をして是非コメント もよろしくお願いしますというわけでまた 別の動画でお会いしましょう さよなら 届け 声何年でも声になって 度 だて 描き直しを 立ち尽くす方が痛いからさ