Der Flächeninhalt von Rechtecken

so mir wurde neulich eine Frage gestellt und zwar wenn wir uns Rechtecke anschauen ne ich zeichne mal Rechteck hin mit den Seitenlängen A und B ah warte mal ich kann das hier ein bisschen schicker noch zeichnen glaube ich also ein Rechteck so na ja wunderbar mit den Seitenlängen A und B okay und jetzt kann man da Umfang und Flächeninhalt berechnen ne und Umfang ist ist relativ klar ne man muss die vier Kantenlängen des Rechtecks vier Seitenlängen addieren also für den Umfang muss ich rechnen A + A + B + B also 2a + 2b ja und für den flächenhalt auch klar a mal B und jetzt wurde ich neulich gefragt warum a mal B also warum berechnet man den Flächeninhalt eines Rechteck mit der Formel a mal B und die erste Reaktion die man so hat ist na ja ist doch klar ist doch intuitiv klar Logo und so aber wie ihr wisst in der Mathematik ist nichts einfach so klar sondern man muss schon begründen warum das so ist und wenn man länger drüber nachdenkt ist es do gar nicht so easy oh Entschuldigung ah ich habe mich verschrieben genau danke Martin ah natürlich nicht u der Flächeninhalt so genau vi mit a abgekürzt und oder Buchstabe a Formelzeichen a okay ja und das ist natürlich ja das ist nicht einfach so gegeben und man man glaubt das und so ne s wir wollen ja immer verstehen warum Regeln gelten habt ihr eine Idee warum a mal B warum muss ich die Seitenlängen des Rechtecks miteinander multiplizieren um auf den flächenhal zu kommen ja pH schlägt vor eine Möglichkeit eine Grundvorstellung davon zu schaffen könnte darin bestehen dass Rechteck in Einheitsquadrat aufzuteilen das ist eine sehr gute Idee Rechteck in einheitsquadrate aufzählen genau und Martin schlägt eine ähnliche Richtung vor ne a die Seitenlänge a ist a Einheiten in diesem Fall jetzt in Y Richtung wenn man Koordinatensystem hätte ne und B ist B Einheiten Längeneinheiten ne in xrichtung und dann kann man zählen die einheitquadrate zählen genau dann machen wir das doch mal ähm also machen wir mal ein konkretes Beispiel ich zeichne ein Rechteck die Kanten od Seitenlänge a ist vielleicht 3 Längeneinheiten lang und B 5 na wie fünf Längeneinheiten so und jetzt wurde vorgeschlagen dass man das Rechteck mit einheitsquadraten auslegt warum macht man das eigentlich einheizquadrate was ist denn das und warum führt das zum Flächeninhalt also wir haben ja ein Messvorgang ne wir wollen den Flächeninhalt messen wir wollen den Flächeninhalt messen und genau Martin zum Multiplikation kommen wir gleich ne wir wollen den Flächeninhalt messen und für das Messen brauchen wir eine Einheit mit der wir messen und beim Flächeninhalt was schlagt der vor ja fkonner sagt im Grunde genommen besteht der Messvorgang immer durch das Vergleichen mit etwas genau in diesem Fall einem Quadratzentimeter Meter und ähnlichem genau und wir können jetzt mit Quadratzentimetern und Metern und Quadratmetern und quadratdezimetern so arbeiten ich würde vorschlagen wir arbeiten mit einem Quadratmeter weil Meter ja sozusagen Quadratmeter die ähm Grundeinheit ist im metrischen System und so das wir unser Einheitsquadrat ne unser unser Quadratmeter vielleicht schon Quadratmeter reinschreiben das ist ein Quadratmeter so das ist jetzt okay du willst keine Einheiten haben Martin wir können die Einheit auch weglassen ne das Einheitsquadrat wir können uns aber natürlich auch mit Einheiten also warum sollte man in der Mathematik keine Einheiten verwenden können wir haben ja ein Quadratmeter und das ist unser Einheitsquadrat so jetzt haben wir ein Rechteck das ist 3 m lang oder die eine seitenlange Länge beträgt 3 m und die andere Seitenlänge beträgt 5 Meter ach soo du als Physiker vereinnahmst die ein Einheiten für dich ja nee nee ne nee auch in der Mathematik gibt's Einheiten immer dann wenn mit Größenbereichen zu tun hat man mit Einheiten auch zu tun ne so okay 3 m 5 m und den Flächeninhalt messen bedeutet die Fläche auszulegen mit diesen einheitsquadraten und zu schauen wie viele gehen denn da rein na das war das was pH vor gemeint hat Vergleich mit einer gegebenen Größe und vergleichen bedeutet diesem Zusammenhang ja wir schauen wie oft passt denn dieser Quadratmeter da rein ja und dann können wir jetzt anfangen den da reinzulegen ne einmal zweimal dreimal es hat sogar ganz gut geklappt hier ist natürlich jetzt skizziert ist jetzt nicht ganz exakt aber ihr könnt schon euch vorstellen ne so das zählen wir wurde vorhin vorgeschlagen wir zählen wie oft geht dieser Quadratmeter da hinein und ja jetzt sieht man ja kann man zählen ne 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15 quadrater der flächenhalb beträgt 15 quadr weil 15 mal das einheitsadrat der Quadratmeter dort hineinepasst hat natürlich muss man nach bestimmten Prinzipien Vorgehen das habe ich jetzt gar nicht erwähnt ne also immer schön die Quadrate aninanderlegen nicht überlappen lassen und so weiter keine Lücken lassen und ja das funktioniert natürlich ich nur unter bestimmten Bedingungen unter welchen funktioniert das jetzt so wie wir das gemacht haben was müssen die Bedingungen sein damit das funktioniert na ja also wenn ich jetzt die Quadrate hier reinlege dann muss es tatsächlich auch komplett müssen die komplett das Rechteck ausfüllen ne wir müssen komplett das Rechteck ausfüllen da darf jetzt keine Stelle mehr übrig bleiben die nicht bedeckt ist von Quadraten und so sonst wäre es ja nicht der Flächeninhalt und PH schreibt hier schon hier ist die Bedingung noch so dass die Länge des Rechtecks ganze Vielfache der Länge des einheitsquadrates sein müssen genau also diese Grundvorstellung hier ne das Füllen des einheitsquadrates das funktioniert erstmal nur bei ganz zahligen Seitenlängen so und ja wie kommen jetzt hier auf die Multiplikation warum muss ich hier 3 x 5 rechnen das hat Martin vorhin schon gesagt ne weil ich kann entweder die Einzel Quadrate nacheinander zählen natürlich oder ich nutze aus dass ich drei Reihen mit jeweils fünf einheitsquadraten habe drei Reihen mit jeweils fünf einheitsquadraten bedeutet mein Flächeninhalt ist gleich 3 x 5 quadr² ne ich habe drei Reihen mit jeweils 5 quadr also 3 x 5 m kommt 15 m raus so krestomatie hat noch erwähnt das ist auch die Begründung warum beim Quadrat die flächeninhaltsformel klein a Quadrat ist ne wenn die Seitenlänge des Quadrats a ist a Quadrat genau weil ich dann ja wenn man das Quadrat hier links mal betrachtet können wir gerade mal reinzeichnen dieses Quadrat hier das da das besteht natürlich aus d 3 also D Reihen mit jeweils 3 quadratmet und dann kommt man auf die flächensformel 3 x 3 Quadrat und das führt dann dazu dass die flächensformel des Quadrats klein a Quadrat ist beim Quadrat ist es dann da klein a Quadrat wenn die Seitenlänge des Quadrats a ist so martin hat noch mal erwähnt genau die Multiplikation ist ja die wiederholte addition ne ich habe jetzt hier drei Reihen mit jeweils F Quadraten so und wenn ich die jetzt alle addiere dann rechne ich ja 5 + 5 + 5 und das das gleiche wie 3 x 5 sehr schön Phil sagt jetzt man kann jetzt aber die Größe der Fläche z.B eines halben Quadrates als ein Rechteck der halben Höhe eines einquadrat das motivieren dann kommt man no schnell zu einem halben von einem halben und so weiter genau also du du führst jetzt schon in die richtige Richtung das ist jetzt die Grundvorstellung die funktioniert gut mit ganzzahligen Kanten Seitenlängen des rechdecks ganz zahlige Seitenlängen und ja da [Musik] M ist die Situation sehr eindeutig was man da machen muss so jetzt wie kann man jetzt damit umgehen wenn die Seiten Länge des Rechtecks eine rationale Zahl ist ich habe euch auch mal Beispiel mitgebracht also nehmen mal ein Rechteck das soll mal ein Meter sein okay das ist ein Meter und den teile ich jetzt mal in sieben gleich große Teile das wird nicht so easy so ist mir gar nicht so schlecht gelungen oder so und jetzt nehme ich mal nur einen Teil dieser Strecke hier nämlich nur diesen Teil wie lang ist der wie lang ist der wie lang ist diese Strecke wenn die Gesamtstrecke 1 m ist uPS ist runtergefallen sorry ich hoffe es war jetzt nicht zu laut 57 m Philip genau pH Entschuldigung also wir haben eine Strecke der Länge 57 met und jetzt machen das Ganze noch in die andere Dimension ich skizziere hier wieder mal einen Meter ungefähr genauso lang sein wie der andere ne genauso lang vielleicht ein bisschen länger sein so okay so und jetzt teile ich den mal in drei gleich große Teile so und nehm aber nur diese Strecke hier UPS nein nur diese hier so und die ist natürlich 2 dr lang und dieses Rechteck betrachten wir jetzt wir betrachten jetzt das Rechteck mit den Kantenlängen 2 und 57 und wir wollen jetzt begründen dass hier die gleiche Regel gilt ich muss für den flächenhalt fläch zu berechnen 2 dr x 57 nehmen hallo kaffeelebhaber schön dass du da bist Kaffee ist soweit du bist reit bereit für matte super wir haben gerade festgestellt habens gerade überlegt wie man den flächenhalt von Rechtecken berechnet mit ganz zahligen Seitenlängen da sind wir relativ schnell auf die Multiplikation gekommen und jetzt überlegen wir uns gerade wie das mit rationalen Seitenlänge ist und hier haben wir die Seitenlänge jetzt 23 und 57 und wen wissen wie groß ist der Flächeninhalt dark Schlunz ja macht dir auch einen Kaffee sehr schön Martin erweitern geht auch geometrisch ja du möchtest die Brüche loswerden ne ja was können wir hier machen hat jemand eine Idee sieht jemand was wir tun könnten okay alle trinken Kaffee ich habe mal wieder mein alkoholfreies Bier hier damit kann ich sicherlich auch anstoßen oder jetzt habe ich hier gesabbelt Mist und kein Taschentuch da na ja nicht so schlimm oh Eiskaffee m Chaos scen oh ja da hatte ich jetzt auch Lust drauf okay was können wir machen holzhan trink sch alle okay du meinst Martin dass wir es für natürliche Zahlen bereits gezeigt haben werden wir fertig ähm warum wärden wir da fertig also wir haben jetzt hier ein ein Rechteck das kleiner ist als unser Quadratmeter ne wir haben 23 met und 57 m der Quadratmeter ist das ganze Ding ne also warte mal zeich mal den Quadratmeter ein das wäre der Quadratmeter hier so ungefähr jetzt hier der Quadratmeter so wir haben also ein Rechteck das klein ist als unser Quadratmeter und wir wollen den flächenhalt Messen und vorhin haben wir gesagt flächenhalt misst man indem man das Einheitsquadrat nimmt und das Rechteck damit auslegt so können wir aber nicht weil der Quadratmeter an sich schon größer ist als das Rechteck dessen flächenhalt für bestimmen wollen das ist doof aha die zwei Drittel können wir auch als 14 21 darstellen das geht auch mit Zirkel ja das können wir machen wir könnten jetzt hier die zwe Drittel Strecke in 21 teilen weil wir wissen sozusagen dass es in irgendeiner Weise auf 21 hinauslaufen muss also wir werden auf 21 kommen nur nicht darüber dass ich z dritt zu zu 421 mache zu 1421 ja lau 12 Quadrate genau die kann man wieder zählen wie kriege ich denn hier 21 Quadrate hin genau das ist genau die richtige Richtung die es gehen wird werden 21 Quadrate haben und die zelllen schaut mal man kann hier jetzt das Einheitsquadrat unterteilen ne ich Unterteil das hier mal so und ich Unterteil so ich unterteile das einheitquadrat in viele kleine Rechtecke F Strich die Parallelen einzeichnen genau super genau sehr gut mhm wie viele kleine Rechtecke habe ich jetzt im Einheitsquadrat 3 x 7 genau ne 3 x 7 ich habe 3 Reihen drei Reihen mit jeweils 7 Quadraten ne weil hier oben habe ich ja Siebtel hier habe ich Drittel genau also drei rein mit 7 Quadraten ich habe also 3 x 7 Rechtecke wie groß ist denn der Flächeninhalt von so einem Rechteck 11 genau ne wir haben ja den flächenhalt ein Quadratmeter unser Einheitsquadrat und das haben wir jetzt in gleich 21 gleich große recht Ecke geteilt das heißt der flächenhal von so einem kleinen Rechteck ist 11 Meter Quadrat 11 ne wir haben 1 quadratmet 21 gleich große Teile geteilt so wenn ich jetzt aber die und jetzt wissen wir jedes dieser kleinen Rechtecke hat den flächenhalt 121 aus wie viel kleinen Rechtecken besteht denn unser Rechteck das uns interessiert das rotgelbe Rechteck da aus wie vielm besteht das denn wer sieht aus wie vielen kleinen Rechtecken dieses Rechteck hier besteht wie kriegt man das raus ah ja F Strich genau aus 2 x 5 ne zwei Reihen mit jeweils fünf Rechtecken also wir haben 2 x 5 Rechtecke die jeweils den Flächen halt 121 haben also wir müssen rechnen Zi mal 5 10 Rechtecke jeweils den flächenhalt von einem 21 haben also 1021 na ja und was haben wir da letztenendes gerechnet natürlich im Zähler haben wir 2 x 5 gerechnet im nner haben wir 3 x 7 gerechnet also haben wir doch letztenendes 23 x 5/7 gerechnet ne 23 x 5/7 wir haben also einfach die Seitenlängen miteinander multipliziert 23 Mal 57 im Nenner 3 x 7 bekommt man die den Flächeninhalt des kleinen Rechtecks mit dem wir jetzt letztenendes die gesamte Fläche ausgelegt haben und mit 2 x 5 im Zähler bekommt man die Anzahl der Rechtecke aus denen das Rechteck das uns interessiert besteht genau und jetzt konnten wir zeigen dass selbst bei rationalen Zahlen also bei Seitenlängen rechteckseitenlängen die eine rationale Länge haben eine Bruchzahl ja selbst da funktioniert das multiplizieren der Seitenlängen was würde jetzt sofort als nächsten Schritt eigentlich folgen das machen wir heute vielleicht nicht mehr aber was was was folgt jetzt an der Stelle eigentlich noch ne okay jetzt haben wir das für ganze Zahlen gezeigt und äh für Bruchzahlen haben wir es auch gezeigt so ganz zufrieden können wir eigentlich noch nicht sein ne warum nicht Martin irrationale Seitenlängen z.B genau die reellen Zahlen fehlen was mache ich denn wenn der Wurzel 2 an der PI oder E oder Wurzel 2 genau was mache ich denn wenn da so eine irrationale Zahl am Rand steht ne also eine irrationale Seitenlänge da kann ich dir ja es g ja kein Bruch ne ist irrationale Zahl Pi lässt sich nicht als Bruch schreiben oder Wurzel 2 nicht als Bruch schreiben und so und dann würden wir da schon wieder aus diesem Schema rausfallen letztenendes ist es aber kein wirkliches Problem sondern was macht man da man nähert sich an mit Brüchen ja also man macht eine sogenannte Intervallschachtelung man nimmt Brüche die sozusagen ein bisschen größer sind ein bisschen kleiner als Wurzel Z und dann wieder welche die ein bisschen näher dran liegen und so weiter man nähert sich mit Brüchen immer weiter der Wurzel Z an so dass man am Ende approximation dark Schlunz genau s man am Ende auch sagen kann ja gut das ist das gleiche Prinzip ja also überträgt sich dann natürlich auch auf reelle Seitenlängen Martin schreibt ich würde immer umschließen um dann wieder auf rationale natürliche Zahlen zu kommen genau ja man bettet sozusagen die reelle Zahl zwischen zwei rationale Zahlen ein die irrationale Zahl zwischen zwei rationalen und genau sehr schön das ist ein Beispiel dafür dass man nicht einfach nur Regeln hinnehmen sollte ne jeder weiß Flächeninhalt vom Rechteck a mal B aber warum und ich bin so dankbar für die Frage h auch jemand getraut hat diese Frage zu stellen ne weil viele haben ja Angst solche Fragen zu stellen obwohl das natürlich vollkommen na Quatsch ist ne brauchen wir keine Angst haben son ist eine Frage die man eigentlich haben sollte jeder sollte diese Frage haben ja wenn er nicht weiß m wie es geht oder warum es so ist muss man das doch fragen dürfen ne und deswegen finde ich total toll dass diese Frage mir gestellt wurde und dass wir die jetzt hier gemeinsam beantwortet haben ah ja Martin wendet ein Trick an da sagt ja ich kann ja auch die Einheit ändern ja wobei du dann natürlich Schwierigkeiten bekommst wenn du wieder einheitsquadrate haben willst und die haben die Kantenlänge PI und du hast jetzt ein Rechteck das eine Seitenlänge pI hat und die andere Seitenlänge 2 also eine ganze Zahl hat man eine Schwierigkeit das jetzt mit piquadraten auszulegen das funktioniert da nicht okay Problem gelöst würde ich sagen