Wie groß ist die Fläche? – Geometrie Rätsel

hallo ihr Lieben heute habe ich euch diese Aufgabe mitgebracht die mir ein Zuschauer zugeschickt hat er ist ein ehemaliger Mathelehrer und hat diese Aufgabe seiner zehnten Klasse in der Hauptschule gestellt zwei Schüler konnten diese Aufgabe lösen mal schauen ob wir es auch hinbekommen in ein Quadrat sind zwei Viertelkreise mit einem Radius von jeweils 12 cm einbeschrieben wie groß ist die rot markierte Fläche die wir hier sehen hier haben wir unser Draht und darin befinden sich zwei Viertelkreise einmal haben wir hier auf der linken Seite diesen Viertelkreis und einmal haben wir hier auf der rechten Seite diesen Viertelkreis diese Viertelkreise sollen jeweils einen Radius von 12 cm haben sieht man ja auch hier schön vom Mittelpunkt zum Kreisrand hier haben wir eben die 12 cm von dem Quadrat auch den Radius kann man ja jetzt immer einzeichnen wo man möchte also vom Mittelpunkt zum Kreisrand können wir den Radius auch hier einzeichnen oder hier einzeichnen das sind jeweils immer 12 cm interessant sind immer diese Schnittpunkte hier also würde ich den Radius einfach mal von da zu diesem Schnittpunkt einzeichnen das sind auch meine 12 cm und genauso auf der anderen Seite von diesem Schnittpunkt da zum Mittelpunkt von dem anderen Viertelkreis das ist ja auch mein Radius von 12 und den würde ich dann hier auch mal eintragen und dann entsteht ja hier eben ein Dreieck in der Mitte und an den Seiten hier entstehen kreisausschnitte könnt ihr das sehen so Pizzastücke hier ne also hier ist dieser Kreisbogen und dann haben wir hier eben diese Seiten von diesem Kreisausschnitt also unsere Figur wenn ich die jetzt mal noch mal schön hier hinzeichne besteht aus diese rote Fläche nenne ich mal a die kann ich berechnen indem ich den ganzen Flächeninhalt von dem Quadrat erstmal nehme das ist natürlich zu viel ich will nicht alles davon haben aber den kann ich erstmal berechnen und dann ziehe ich davon jetzt den Flächeninhalt von dem Dreieck hier in der Mitte ab also a Dreieck und ich muss noch zweimal diese Pizzastücke hier an der Seite abziehen also zweimal der Flächeninhalt und ich nen jetzt mal AP für a pizza ganz mathematisch korrekt okay dann starten wir einfach mal der Flächeninhalt von unserem Quadrat ist ja einfach 12 x 12 also 144 und dann ziehe ich davon den Flächeninhalt von meinem Dreieck ab den habe ich noch nicht deswegen lass uns mal auf eine neue Seite gehen und uns hier darum kümmern diesen Flächeninhalt von unserem Dreieck zu finden grundsätzlich ist die Formel für den Flächeninhalt eines drei ja ein/b mal die Grundseite mal die Höhe als Grundseite von meinem Dreieck kann ich einfach hier unten die 12 nehmen und die Höhe steht dann ja senkrecht dazu also wenn ich die hier so einzeichne dann ist das hier meine Höhe die ich jetzt noch nicht kenne aber meine Grundseite kann ich schon mal in die Formel hier eintragen für mein G trage ich eben die 12 ein und mein h muss ich jetzt noch heraus en aber mein h ist ja Teil eines rechtwinkligen Dreiecks hier auf der rechten Seite diese Seite kenne ich mit 12 dieses Stück hier kenne ich aber auch das ist die Hälfte der ganzen Seite also die Hälfte von 12 sind 6 und dann kann ich hier einfach Pythagoras anwenden um meine Höhe zu finden für Pythagoras muss ich erstmal die Hypotenuse finden die liegt da gegenüber vom rechten Winkel also das hier ist meine Hypotenuse und dann sagt Pythagoras nimm die eine Kathete und quadriere sie also h zum quadrat+ die andere Kathete zum Quadrat also die 6 zum Quadrat und dann kommt da die Hypotenuse zum Quadrat raus also 12 zum Quadrat und diese Gleichung müssen wir jetzt nur noch nach H umstellen 6 zum quadr 6* 6 sind 36 können wir schon mal ausrechnen genauso 12 zum Quadrat sind 144 dann bringen wir die 36 mal rüber indem wir 36 rechnen dann steht unser h Quadrat alleine und 144 - 36 sind 108 um noch h aufzulösen müssen wir auf beiden Seiten noch die Wurzel ziehen dabei entstehen zwei Lösungen eine positive und eine negative die Wurzel von 108 würde ich einfach mal so hinschreiben auf der zweiten Lösung haben wir die Wurzel von 108 die negative Lösung interessiert uns hier allerdings nicht weil unsere Höhe positiv sein muss von daher schnappen wir uns diese Lösung hier tragen die für unser h hier in die Formel ein dann können wir entweder mit dem exakten Wert hier weiterrechnen also 1/b x 12 könnte man noch 12 dur 2 mit 6 kürzen dass man hier sechs Mal die Wurzel von 108 einfach hat und damit weiterrechnet oder falls es euch lieber ist und es okay ist für euren Lehrer dann auch dass man das hier einfach in Taschenrechner tippt und rundet und zwar kommt man dann auf einen Wert von 62,35 wenn man das auf zwei nachkommerstellen angibt und mit dem Wert rechnen wir jetzt einfach weiter den habe ich jetzt noch mal hier hineschrieben denn wir haben ja den Flächeninhalt von unserem Dreieck gesucht also packen wir denn hier schön in unsere Formel rein dann haben wir das schon mal und dann ziehen wir jetzt noch zweimal den Flächeninhalt von unserem Pizzastück ab den kennen wir auch noch nicht deswegen gehen wir mal auf eine neue Seite und versuchen hier den Flächeninhalt für dieses Pizzastück herauszufinden es wird ja verdoppelt also uns reicht jetzt erstmal ein Pizzastück Flächeninhalt also a pizza ist wie ist dafür die Formel es ist ja ein Kreisausschnitt also von dem vollen Kreis die Formel wäre ja pi mal der Radius zum Quadrat wir haben ja hier aber keinen vollen Kreis sondern der Winkel hier den wir noch nicht kennen ich nenne mal Alpha der bestimmt wie viel von dem Kreis denn wirklich uns interessiert und deswegen müssen wir diese Formel für den vollen Kreis noch mit einem Bruch multiplizieren auf den der Alpha Winkel von unserem Kreisausschnitt hier oben kommt und hier unten teilen wir das Ganze durch den Winkel von dem vollen Kreis durch 360°. das ist die Formel für so einen Kreisausschnitt wenn man da die Fläche berechnen möchte wie sie aus den Radius kennen wir von unserem Kreisausschnitt okay wie sieht's mit dem Winkel hier aus na ja noch kennen wir ihn nicht aber wenn wir uns mal dieses Dreieck hier anschauen dann ist es ja ein gleich seitiges Dreieck 12 12 12 und in einem gleichseitigen Dreieck sind alle drei Winkel gleich groß wie groß sind sie na ja in dem Dreieck grundsätzlich wenn man alle drei Winkel zusammen rechnet kommt man ja auf 180° wenn alle drei gleich groß sein müssen müssen wir das einfach nur durch dre teilen also muss jeder Winkel hier in diesem Dreieck 60° haben die hier an den Seiten interessieren uns jetzt nicht aber ich trag es trotzdem mal ein und das praktische ist dann dass wir automatisch wissen wie groß unser Alpha hier ist denn die beiden zusammen müssen ja 90° ergeben wegen dem Quadrat 60 + 30° ergeben zusammen 90° und damit wissen wir dass unser Alpha eben 30° ist und dann können wir das hier alles schön in die Formel einsetzen für unseren Radius haben wir die 12 die reinkommt für unser Alpha haben wir die 30° die dann noch geteilt werden durch 360° und entweder vereinfacht man das jetzt hier wieder und rechnet mit einem exakten Wert weiter oder man tippt das ganze einfach ein Taschenrechner ein lässt sich eine Zahl ausgeben von 7 3,7 gerundet für unser pizzastückchen das tragen wir jetzt hier in unsere Formel ein letztes Mal ein und dann können wir das letztendlich ja eh Taschenrechner eintippen und uns ausgeben lassen einen Wert von 6,25 für die Fläche von unserem roten Stückchen hier und damit haben wir die Aufgabe gelöst ich bin gespannt wie ihr vorgegangen seid schreibt Lösungswege gerne in die Kommentare ansonsten habt noch einen wunderschönen Tag und wir sehen uns beim nächsten Video macht's gut