Самый легкая теория чисел за всю историю ЕГЭ? ЕГЭ 2025 Математика. Задача 19

Рад приветствовать всех любителей олимпиадной математики не спешите закрывать это видео на самом деле Я обращаюсь сейчас к одиннадцатиклассника который сдают ЕГЭ по профильной математике ведь задача номер 19 так Казалось бы и звучит олимпиадная математика условно говорю я Вам потому что это материал шестого класса открываете любой учебник по математике за шестой класс и всё что вам нужно Вы там Видите Там правда теории без доказательств И это не очень привычно потому что здесь нас просят придумать пример доказать что Примера нет найти какое-то наибольшее либо наименьшее значение и доказать что других не бывает непривычно да Но этому уже всему можно научиться Ну как минимум пункты аиб и Вот за это я что называется топлю каждый год ребята даже если вы решаете Только первую часть прочитайте пожалуйста сло задачи номер 19 но вдруг это будет как на ЕГ д чего года где были монетки Ну там 1-д рублика добавили и задачка сразу все три пункты решились Конечно вы скажете а вдруг это будет сахарный песок Ну не повезло кому-то Да и тем Сегодня я хочу с вами разобрать одну задачу про натуральные числа с моей точки зрения это самая простая задача которая в принципе была на иг причём это была основная волна так что готовьтесь всё может попасться и ещё раз я верю в каждого из вас Вы точно можете этот материал освоить поехали посмотрим как это работает на практике Ну что же как обычно начинаем разговор доски читайте условия задачи внимательно и понимайте что вы уже много чего знаете В каком смысле много чего знать но открыли учебник за шестой класс там всё это написано берём Два натуральных числа у них нет общих делите больше единички Это значит что они какие взаимно простые Не сами по себе простые а взаимно простые Ну например можно придумать два составных числа 8 и де у которых нет общих делителей кроме единички Ну хорошо теперь вопрос может ли сумма всех пяти чисел быть равна 26 Давайте соответственно я это напишу Итак а п А2 П А П Аче п А5 ра 26 Ну вопрос может ли такое быть ответов здесь возможно только два или да или нет Вот Чем хороши эти задачи да что здесь предопределённость пример если нет объяснить почему таких чисел Нет ну давайте я пойду максимально простым путём возьму все числа подряд начиная с единички 1 + 2 + 3 + 4 + 5 ра 15 но это не 26 Ну не беда Да здесь проблем На самом деле две во-первых двойка и четвёрка имеет общий делитель двойку А во-вторых сумма 15 а не 26 но Давайте постепенно с этими проблемами попробуем побороться проблема первая насколько меньше наша сумма чем требуемая Ну понятно что нужно сделать найти разность Да на 11 значит если я например какое-то из чисел увеличу на 11 то должно быть по логике всё хорошо Так давайте я вот эти два проблемные числа которые у меня встретились Сними и поработаю увеличу двойку на 11 2 п 11 это 13 и тогда у меня набор чисел такой 1 П 13 п 3 п 4 п 5 и у чуда сумма этих чисел равна 26 то есть одно из условие мы выполнили действительно сумма равна 26 теперь проверяем А точно ли наши числа вза простые смотрим едини не то может дете сра число простое поэтому общий делитель либо один либо 13 но 1 здесь нет поэтому всё хорошо единичка 3 и 5 Тоже простые нет ничего общего Ну и четвёрка получается не имеет ничего общего ни с единички ни с тринадцатой ни с тройкой ни с пятёркой никаких других общих делителей кроме единички значит всё отлично смотрите Прошло несколько секунд Ну с разговорами пускай будет минута полторы и ответ получен один балл Мы в кармашки себе положили А теперь Сравните например с какой-нибудь задачей десятая или одиннадцатая или двенадцатая из первой части или со сложной теорией вероятности где п а может быть и 10 минут требуется чтобы этот бал заработать А здесь-то вот всего лишь придумать пять чисел и сказать я придумал или я придумал вот такие числа их сумма 26 они взаимно простые ставьте мне балл Когда поставить бал когда мы слово ответ напишем что мы должны в ответе написать Ну в ответе очевидно ответит на вопрос Существуют ли такие числа Да существует Но этого мало Да даже если ответ правильный то слово да или слово нет этого достаточно если слово Да обязательно пример пожалуйста пример Ну давайте в примере числа по возрастанию расположи 1 3 4 5 13 всё то что их сумма равна 26 мы проверили Вот это Разумеется Мы в решении уже писать не будем мы напишем только вот этот числовой пример и ответ всё пункт а Рен оди балл у нас уже в кармашке переходим к пункту б те же самые п чисел только теперь их сумма должна быть равна двад Тём Возможно ли такое да или нет ну сейчас будем разбираться и во одушевлённые пункты ва мы говорим Ну наверное это такая же простая задача но не буду лукавить не всегда будет так просто на ЕГЭ в том числе бывает и более сложные задачи но научиться этому может каждый не нужно думать что это олимпиадная задача для головастиков для каких-то супер гениев Да почему потому что нам что нужно уверенность в своих силах и учебник за шестой класс Почему за шестой класс потому что то что написано про простые числа составные числа а общие делители там нот ног а разложение произведение простых нож и основной теоремы арифметики Вот это всё там есть но если вы такие слова ещё дополнительное знаете как алгоритм евклида поиск наибольшего общего делителя или уравнение в целых числах или инвариант чётность нечётность свойства и признаки делимости кстати тоже из шестого класса все весь этот материал Просто он там вот так явно не обозначен то вы просто Молодцы У вас уже всё есть а дальше вперёд дерзайте а пробуйте учиться составлять примеры пробуйте доказывать что таких х примеров не существует и у вас всё может получиться Ну а если вам нужна моя помощь то помните что на годовом курсе этой теме то есть теории чисел у нас посвящены куча занятий вот весь год по пятницам в 17:30 мы как раз этим и занимаемся присоединиться Вы можете в любой момент времени Ну лучше не затягивать да чем раньше вы начинаете тем больше у вас времени и возможности для того чтобы этот материал поработать Как можно более качественно подробности по ссылочки в описании увидимся на занятиях Но мы с вами попробуем сделать то же самое что сделали в пункте а просто напишем сумму 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 но мы знаем что это не 23 и знаем что нужно сделать найти разницу между этими числами между 23 и 15 это разница восемь Ну и теперь надо восемь добавить или к двойке или к четвёрке и здесь будет первая проблема значит если я добавлю восемь к двойке то получу 10 чётное число если добавлю во к четвёрке получу 12 чётное число и вот эта проблема с двумя чётными числами никуда не ищет Да смотрите 2 + 8 10 Но тогда нот 10 и четы - это двойка А это больше чем один Если же я прибавлю восьмёрку к четвёрке то тогда нот двойки двенадцати это 2 тоже больше одно но тогда естественно возникает предложение А давайте мы эту восьмёрку Разобьём на части и одну часть отправим к двойке а другую например к четвёрке или даже так одну часть к двойке а другую к какому-нибудь другому числу или даже так Разобьём восьмёрку на три части что-то к двойке добавим что-то например к Пятёрке что-то к четвёрке Можно так сделать Ну попробовать можно Давайте попробуем скажем восьмёрку разбить ну скажем 8 это будет 7 + 1 например да попробуем то есть мы же в пункте а очень быстрый пример придумали и пока не видно в чём принципиальная разница между пунктами А иб и Давайте скажем Семёрку добавим двойки 2 п 7 9 Но тогда будет проблема тогда будет проблема Какая что нот получен девят ЕС добавить че тогда ВС будет замечательно 4 п 7 11 это чис просто это вообще хорошо и тогда вопрос А куда эту единичку добавить если мы добавим двойке нас будет две Трой числа если добавим к едини у нас будет д двойки д о числа если мы добавим к Пятёрке то получится шестёрка чётная шестёрка и чётная двойка проблема если мы добавим ктт и получилось дальше я Рекомендую вам что называется помучиться самостоятельно эту восьмёрку побиваю на части и в какой-то момент либо один удачный пример как это было в пункте а Либо мы должны перебрать все возможные примеры но всех возможных примеров здесь очень много это ну не очень сложная комбинаторная задача Но всё-таки если вы с комбинаторика не знакомы то Придётся потратить много сил То есть это задача на разбиение числа на какие-то слагаемые Да теория разбиения Да таже такой раздел есть в теории чисел Ну ладно мы не хотим в этот раздел погружаться Тем более что это вроде там уже выше математика не надом ничего этого нам нужно как-то совсем просто на пальцах Да задача для школьников обычных тогда надо что-то придумать да то есть Пока ноль баллов потому что у нас не получилось все примеры Мы вряд ли успеем за время экзамена перебрать Значит нужно что-то подметить Давайте начнём подмечать и первое что мы с вами видим что вот проблема вот она здесь да обозначена то что нельзя чтобы было два чётных числа то есть сразу фиксируем нельзя чтобы было два или больше я в скобках напишу или больше чётных числа потому что их нот очевидно будет Ну как минимум двойки А может быть даже и больше Да скажем взяли четвёрку и восьмёрку у них нот уже четвёрка значит чётное число может быть максимум одно Ну хорошо тогда давайте рассмотрим два варианта Первый вариант чётное число одно одно и второй вариант чётных чисел нет Ну и здесь давайте всё-таки приписку сделаем да А так как нот чётных чисел уж никак не меньше двойки если чётное число одно то тогда у нас будет такая картинка нечётное плюс нечётное плюс нечётное плюс нечётное плюс чётная Ну это как раз материал шестого класса Да сумма двух нечётных чётная сумма двух нечётных чётная сумма трёх чётных чётная Да но чёт а у нас 23 точно это не 23 как бы мы не старались ничего не получится да хорошо с этим разобрались кстати в пункте А у нас СМИ было 26 сумма чётна да и у нас там всё получилось тогда вариант второй чётных чисел нет тогда у нас получается нечётные плюс нечётно плюс нечётно плю нечётное плю нечётное Это что такое вот это чт Вот это чёт чёт плюс чёт - Это чёт чёт плюс нечёт не чёт может быть это как раз 23 но пока вроде бы ничего плохого нет но зато мы уже поняли что надо избавляться не только от двойки или четвёрки а от обоих чисел сразу прекрасно теперь делаем следующее попробуем выписать по аналогии вот с этим примером пример самых маленьких нечётных чисел 1 п 3 + 5 + 7 + 9 сколько это будет кто ви видел арифметическую прогрессию тот молодец кто не видел ничего страшного просто эту сумму Легко находите и видите что эта сумма равна 25 Это больше чем 23 и это проблема В чём состоит Проблема в том что мы взяли самые маленькие нечётные числа и уже получили сумму которая гораздо больше чем нам нужно Причём здесь ещё и проблема тройка и девятка не взаемно простые у них общие делитель тройка есть значит ещё и надо либо тройку либо девятку увеличивать Так у нас уже сумма больше чем нужно куда же нам её увеличивать ответ никуда поэтому мы уже понимаем что на самом деле Вот здесь уже всё доказано что значит всё Доказано шаг первый нельзя допустить что было два или больше чётных чисел иначе у них нот будет не меньше двойки А это плохо если чётное число одно то вся сумма будет чётной а значит не будет равна числу 23 если чётных чисел нет то все числа нечётные их сумма будет как минимум 25 Да это мы взяли минимальный пример минимальный пример Ну а теперь чтобы завершить доказательства пишем что наше число а первое которое самое маленькое уж никак не меньше одного а второе число давайте мы их по порядку так расположи что начинает от самого маленького до самого большого второй не меньше тройки Но это какое-то следующее нечётное число берём третье число не меньше пятёрки четвёртое число не меньше Семёрки и пятое число не меньше девятки Ну может быть например оди Да подойдёт но о не меньше чем девятка А значит их сумма Первое второе третье чет п будут не меньше чем 25 потому что вот как раз минимальную сумму мы посчитали А это число Точно больше противоречия Да противоречие с тем с чем с тем что нужно получить вот эту маленькую сумму всё и Как видите пункт Б он Несмотря на то что не такой уж и сложный да то есть вот это всё за Разумное время можно придумать скажем за 5 минут но он уже гораздо более идейный чем пунк в пун вы просто взяли набор чисел и быстренько получили из него нужный в пункте б вы должны исполнить Что такое чётное нечётное число Да А что такое минимально возможный пример и вот за всем этим проследить Да и прийти к противоречию и тогда всё будет хорошо и тогда ваше доказательство будет оценено ровно в один балл переходим к самому сложному на первый взгляд пункту в в большинстве задач так оно есть но не в этой в этой нам просто несказанно повезёт здесь самый сложный был пункт Б И кстати если бы мы когда рассмотрели случай что чётных чисел нет а только Все нечётные говори что вот Сумма пяти нечётных чисел нечётна значит такой пример есть и пишем ответ да то мы получаем ноль баллов Почему Потому что Несмотря на то что сумма нечётная 23 мы получить никак не можем и это мы собственно с вами доказали Итак Теперь мы хотим получить наименьшую возможную сумму но мы знаем что пять самых маленьких натуральных чисел это 1 2 3 4 5 да третий раз Мы это с вами пишем это 15 Значит понятно что вот эта сумма уж Ну никак не меньше 15 Ну а если быть точным конечно же больше чем 15 Почему больше чем 15 Ну потому что здесь дво чет два чётных числа мы с вами доказали что двух чётных чисел быть не может значит надо от одного из них как минимум избавиться может быть от обоих сразу и тогда получать какую-то другую сумму Ну давайте подумаем Значит от чего мы точно должны избавиться Мы точно должны от четвёрке избавиться почему Ну потому что четвёрка - это из двух чётных чисел большее число чит если мы к примеру вместо четки напишем ну скажем какое-нибудь простое число нечётное да и вместо двойки то же самое простое число напишем то мы заменяя двойку на это нечётное число простое увеличим всю сумму больше ровно на два чем когда мы заменяем четвёрку звучит вроде как непонятно да Ну давайте поясню свою мысли примеру мы взяли число 11 если мы четвёрку меняли да то 11 - 4 7 Значит мы вот эту сумму увеличили на семь А если мы двойку меняли то получаем Дея Значит мы сумму увеличили на девять Ну 9 это же больше чем 7 Поэтому лучше мы понимаем избавиться от четки Ну как избавиться от четки заменить е на ближайшее простое число ближайшее простое число это конечно 5 двух пятк быть не может Т берм соответственно мы четвёрку заменяем на секу и тогда наша сумма 1 П 2 п 3 п 7 П 5 становится ра 18 я утверждаю что задаре это выяснили Мы в пункте б выяснили что если есть чётных чисел больше одного это сразу катастрофа вычеркнули если чётное число одно вот как здесь Ну понятно тогда у нас уже есть готовый пример мы просто берём с вами смотрите все подряд нечётные числа самые маленькие значит это очень хороший пример Если же у нас чётных чисел нет то тогда у нас получается сумма 1 + 3 + 5 + 7 + 9 что мы видели в пункте Это 25 но это гораздо больше чем 18 Да поэтому уже можно писать ответ вы скажете Неужели такая халява в пункте б может быть 18 чего не хватает для того чтобы получить два балла пою Что за пункт В мы получаем целых два балла пример соответствующий пример числа 1 2 3 5 7 Ну какое-то есть небольшое ощущение что-то мы не договорили да давайте е раз зафиксируем что мы на самом деле всё проговорили вот это пять самых маленьких чисел их сумма равна 15 два чётных числа допустить Нельзя значит либо чётных чисел нет и тогда наша сумма уж никак не меньше чем 25 а это гораздо больше чем 18 да либо чётное число есть одно Вот пример самого маленького чётного числа пример четырёх самых маленьких нечётных чисел которые в сумме даёт 18 и несложно проверить что они взаемно простые Почему Потому что 2 3 5 и 7 простые и единичка Ну единичка Понятно У неё общия делитель с любым втм числом равен единички всё задача тем самым решена и пожалуйста ещё два балла Мы в кармашек себе положили Ну что ж Давайте подведём итоги ещё раз хочу свой тезис который я озвучил в начале ролика подтвердить задача номер 19 последняя условно олимпиадная доступна для изучения каждому из вас это же материал шестого класса Но в самом деле мы что-то выдающееся с вами делали сказать Ну я не знаю что такое чётные нечётные числа Давайте вспоминать я не знае что такой инвариант Давайте изучать это же всё можно сделать для этого нужно всего лишь немного усилий и тогда получится и как минимум пункты IB Где ответы это уже заранее известны Это ответ или слово да И пожалуйста пример Придумайте один или слово нет ну Докажите что таких примеров нет Вот это-то точно можно сделать и я вас призываю пожалуйста изучайте эту задачу А вы можете сказать Ну это конечно халява полнейшая А вот что вы скажете про контейнеры с сахарным песком которые были в 2 чето году а я вам во заражу А что вы скажете про защ с монетками которая тоже была в два чертом году которая кажется ещё легче чем это вы просто эти рублики сидите считаете и говорите ну вот сразу всё получилось и у меня за 5 минут все три пункта решены Если вы хотите чтобы я эти задачи разобрал Ну в комментариях соответственно пишите контейнеры с сахарным песком монетки или любые другие задачи и кстати если у вас условия задач интересных с вашей точки зрения есть можете смело прислать мне их в Telegram канал по ссылочки в описании подпишитесь на него там будет куча полезных материалов по теме ЕГЭ Ну а также буду рассказывать про все свои активности в том числе интенсивы и различные движухи Ну а с вами был Андрей Павликов увидимся на канале