Профильная математика. Реальный ЕГЭ 2024. Задачи 1-12 / Математик МГУ

ЕГЭ 224 по математике - это уже часть истории выпускники я вас с этим Поздравляю прямо сейчас мы с вами разберём первую часть Дальнего Востока те задачи которые вы мне прислали и у меня к вам огромнейшая просьба пожалуйста поддержите нынешних десятиклассников им сдавать ЕГЭ через год и ваша поддержка им очень нужна Ну а в комментариях соответственно Напишите какие задачки попались вам вот эти или какие-то другие и мы с вами их Обязательно обсудим всё поехали Ну что поехали посмотрим как это было Задачка номер один очень хорошая простая Итак четырёхугольник вписан в окружность Неважно как вы его нарису это значение большого не имеет расставили точечки и посмотрели Что за уголки нам дали Итак угол abd 56° и угол cad у нас вами 53° ищем угол B значит о ЧМ А о чём здесь речь о куче вписанных углов Давайте эти уголки покажем Итак угол abd и угол угол получается cad2 вот они Да но Какое отношение не имеют к углу ABC угол abd - это часть угла ABC а угол CD никакого отношения как будто бы не имеет нашли дугу на которую он опирается и показали значит этот уголок cbd точно такой же впис углы опираются на одну и ту же дугу они равны между собой а значит Угол ABC это сумма углов abd и соответственно cbd А cbd как мы только что установили самое что CD поэтому получаем сразу же 56 + 53 правильный ответ 109 первая задача решена задача номер два про векторы здесь даны координаты двух векторов надо найти длину вектора А ПБ видите я сразу поставил прямые скобочки то есть модуль и длина - это одно и то же Ну давайте посмотрим У нас есть координаты Что такое вектор 12b Это значит что мы координаты вектора B изменяем в 12 раз то есть умножаем на 12 первую и вторую теперь что такое сумма векторов если есть координаты то мы координаты просто складываем А + 12b это что такое будет это соответственно 17 п - 12 то есть 17 - 12 - это 5 и 0 + 12 - это 12 Ну и дальше соответственно вспоминаем теореме пифагору длина нашего вектора - это корень из суммы квадратов его координат то есть 5к п 12к несложные вычисление 25 + 144 - это 169 Ну √ 1669 - это конечно же число 13 ещё одна задача решена задача номер третья простенькая астрометрия Дан палит его рёбра точнее длинны их известно надо найти объём какого-то там многогранника ограничены какими-то точками Ну пока я рисую информация для десятиклассников Я знаю что вы тоже смотрите этот разбор И это правильно готовь Сане летом ещё лучше За год так вот хотите Научиться решать эти задачки простенькие Ну можно начинать уже летом а вы говорите нене Не я хочу также быстро щёлкать как и вы прямо в прямом эфире Как Дальний Восток разбирать Вот для этого уже нужно заниматься Целый год сначала Летняя школа потом годовой курс ВС это по ссылочки в описании вы узнаете и тогда для вас будет легко и просто Но это конечно будет через год Итак что я вижу я вижу паралелепипед я вижу шесть точек а А1 b11 и что мы с вами получили мы с вами получили треугольную призму так нужно найти её объём ну Давайте вспомним как считается объём призмы объём призмы это соответственно площадь основания Умно на высоту но в основани что в основание прямоугольной треугольник ABC площадь которого Это половина площади прямоугольника Ну или что тоже самое половина произведения катетов так получается что это 1/2 AB у BC шикарно Ну а Высота высота - это просто боковое ребро хотите А1 хотите bb1 хотите cc1 я возьму А1 только потому что мне это дали По условию смотрите у меня вообще всё известно Всё тогда соответственно я подставляю 1/2 9 6 и 5 сокращ 6 на 2 у меня остатся Ну и получить ответ вот здесь 15 на у получило 135 ВС Как говорится задача полностью решена переходим к теории вероятности максимально простенькая Задачка на внимательность Итак есть 25 билетов В 15 из них встречается вопрос по теме страны Европы а нужно чтобы Не достался билет по теме страны Европы тогда получается нужно сделать простое действие от 2 от 15 10 этоко билетов которых по теме страны Европы и тогда вероятность это количество благоприятных всходов к общем количестве исходов 1025 на 5 сокращ 25 Ну и получаю ответ 0,4 чуть-чуть посложнее пятый номер Итак вероятность того что лампочка перегорит равна соответственно 0,9 у нас есть три лампочки они перегорают Независимо друг от друга это Ключевое условие задачи нужно найти Вероятность того что хотя бы одна лампочка не перегорит и внимание то есть вот переводим усло задачи на русский язык Что значит хотя бы одна не перегорит знат я вол в комнату нажал три рубильника и у чуда свет появился при этом неизвестно сколько лампочек горит Может быть одна Может быть две может быть три Но это противоположно по смыслу того что ничего не горит А того что ничего не горит то есть всё перегорело так всё перегорело тоже самое что дто нет это просто произведение 0,9 0,9 0,9 Почему произведение потому что улови было сказано Независимо всё замечательно 9 у 9 81 81 у 9 - это 729 Ну а у нас вероятность того что что-то Горит что-то горит это значит что это значит что свет есть а свет есть и света нет это предположено по смыслу события значит о минус Вот это число и мы получаем что 0271 задача номер 6 для восьмиклассников Почему для восьмиклассников корни квадратные звучат как раз в восьмом классе иррациональное уравнение Как решается возведение в квадрат обеих частей этого самого уравнения слева 4x - 23 справа 9 Ну тогда соответственно 4x - это 23 + 9 несложная арифметика говорит что это 32 таблица умножения говорит нам что X - это 8 Ну 32 4 теперь важный момент Пожалуйста сделайте проверку на ЕГЭ вот эту восьмёрочка сюда подставьте 32 - 23 - это 9 √ из 9 - это 3 И тогда точно можно сказать что задача полностью решена задача номер семь преобразование выражений и здесь вы видите тригонометрия раз и корни квадратны это два как я говорил В таких случаях отделяем мух от котлет и вот этим Мы очень часто занимаемся в моём Telegram канале где ребята присылают какие-то непонятные решения непонятные задачки и мы учимся с ними разбираться ссылочку телек оставлю в описании Ну а что значит муха от котлет вот есть иррациональность Давайте её вынесем за мно общей множителе за скобочку А в скобочках останется в чистом виде тригонометрия Ну и конечно же будет гораздо легче с этим работать Да так шикарно вот Это что такое Это же формула косинуса двойного угла квадрат косинуса минус квадрат синуса одного и того же аргумента что мы получаем √2 Умно на косинус аргумента который в два раза больше чем 5 пи на 8 Ну дальше Элементарно сокращаем на два и получаем что это есть косинус угла 5 Пи на 4 5 Пи на 4 Ну прекрасно Если вы в ладах с формулами приведения я вас поздравляю если не в ладах вы говорите так Ну а давайте представим 5 Пи на 4 как пи п пи на 4 Спросите А как ты так догадался это непонятно выделил целую часть 5/4 - это 1 П 1/4 Ну а дальше как раз уже работает шикарно формула косинуса суммы само Главное вот здесь не забудьте скобочку поставить если я вместо одного косинуса пишу Целую формулу то раньше косинус унося √2 теперь вся формула умножается на √2 cos Пи x cos Пи на 4 - sin пи у sin Пи на 4 Ну а дальше Всё в табличку посмотрели -1 √2 на 2 0 √2 на 2 поэтому остаётся -1 X √2 на 2 это - √2 на 2 то есть √2 X -2 на 2 но √2 X √2 это же 2 восьмиклассники знают на 2 поделили это вообще второклассники вам скажут это один Ну и знак минус не забыли Это вам скажут шестиклассники ответ ми о Итак задача номер во здесь дан график функции FX это очень важно отмечены четыре точки на все ацис я не стал её рисовать Я просто показал точечки вот этим жёлтым цветом уже на самом графике вопрос В какой же из этих точек производная наименьшее Ну и Давайте я вам расскажу байку про то что такое вообще производно это скорость измене нашей функции сй можно попроще попроще устроились на работу зарплата растёт вы радуетесь зарплата падает вы огорчайтесь нужно знать в какой момент времени плата у упала сильнее всего и вот теперь Реальная реальная история из жизни был у меня один ученик в прошлом году значит он До января занимался потом пропал в апреле появился и задают вопрос а Андрей Николаевич я 3 месяца ничего не делал и у меня почему-то по пробником результаты стали хуже Как вы думаете с чем это связано ваши возможные ответы Пишите в комментариях Ну а чтобы такой история не произошло я вам рекомендую заниматься можно начать уже с летней школы подробности по ссылочки в описании а ещё лучше прямо весь год и Кто кстати принимает решение быстро и записывается на весь год тот летнюю школу просто получает в подарок Итак Где же у нас с вами падение самое сильное здесь рост здесь рост здесь непонятно то ли рост то ли падение где-то около нуля мы колем Ну а здесь резко зарплата пошла вниз Ну значит это и есть наш ответ Кстати какая там координата точки я не посмотрел давайте я это сделаю координата точек -2 1 34 в ответ нужно записать координату точки Ну понятно поэтому пишем число четыре задача решена задача номер девять обычно очень простая Но вот как раз в этом варианте оказалось не самой простой Почему Я предупреждал вас что самый сложная задача здесь с квадратичной функцией и тригонометрии вот нам собственно такую дали Итак есть формула соответственно наш автомобиль тормозит начальная скорость известна ускорение известно и путь который он определил тоже известно Ну вот всё это собственно в условия есть подставляем формулу и хот найти время за которое всё это произошло Итак 112 - это 30т - 4т пополам Ну простое квадратное уравнение 112 = 30t - 2t Всё соберём Давайте в левой части 2t - 30t + 112 - это 0 Ну и на два разумно сократить потому что все коэффициенты чётные T - 15t + 56 = 0 отдельный привет передаю тем кто говорит что я не умею пользоваться Терм веты умею 56 - это 7,8 а 15 7 + 8 но на ЕГЭ в первой части рекомендую Посчитайте пожалуйста дискрет вы это сделаете гораздо быстрее так я этот самый дискрет посчитаю 15 к - это 225 - 15 к тоже 225 А 4 56 - это 200 и 24 224 А значит получаем что дискрет ра единички и корни первый корень 15 + 1 пополам - это 8 а 15 - 1 попом - это 7 И к сожалению оба ответа положительные какой же из них выбрать ну кто-то говорит надо брать меньше кто-то говорит Надо брать больше кто-то говорит Надо брать разность логику включаем и говорим вот автомобиль ехал ехал ехал и 112 м он проехал Через 7 секунд Говорите А через 8 секунд он тоже проехал 112 м нет он остановился А с точки зрения математики это же Парабола у параболы при значениях Т равно сево одно и то же значение квадратичной функции Да и мы видим что эти две точки симметричны Всё значит с точки зрения математики два ответа - это хорошо с точки зрения жизни Ответ один единственный и этот ответ Т Рав се задача номер 10 тексто задача на совместную работу здесь два мастера каждый из них по отдельности работы выполняет заказ за 45 и 30 часов соответственно А вот вместе и я вам всем Желаю стать мастерами в той области жизни которую вы выберете Когда поступите в университет после того как сдадите ЕГ поехали Итак заполняем табличку производительность время обм работы 45 30 это время объём работы Ну один же заказ Всё нужно выполнить одну работу когда работает по отдельности и когда работает вместе тоже одну работу я вижу две величины в одной строке значит третья просто вычисляется поскольку производительность умножить на время это и есть объём работа значит производительность это объём работы дел на время 1445 130 Но как Только у нас вами работа совместная мы тут же складываем эти две производительности Ребята помогают друг другу ну и привод обще кото ко же ра 90 здесь получается 2 а здесь 3 это сумме Дат 590 590 дробь сократим и сокращаем на 5 1/1 подставили вот сюда 1/1 посмотрели здесь 45 1445 30 13 что-то 1/1 о чудо это же число 18 Как видите очень простая приятная Задачка задача номер 11 функции графики и здесь вы будете смеяться вот ровно тот график который видите на экране Я вчера в ролике показал на этой и случилось чудо всему Дальнему Востоку дали именно этот график вы скажете совпадение Случайность Угадал Угадал но тем задача оказалась максимально простой Кто кстати тот ролик не смотрел рекомендую это сделать пото что здесь мы с вами первую часть быстренько сейчас размотал за 25 минут усиленный джентльменский набор 86 баллов мотайте на ус Итак посмотрели на точечку е координата ми1 и подставили форму вместо и получили что 3 это ае ми значит А это 1 Ну и теперь мы получаем что наша функция Как выглядит FX это просто 1/3 1/3 Степе X вот сюда соответственно написали 1/3 в степени ми4 отрицательный показатель Значит мы переворачиваем дробь 1/3 3 пе это просто 3 Ну а 3 в степени 4 3 3 3 у 3Т сложная для десятиклассников Но не для выпускников ищем точку максимума замечаем что перед нами сложная функция логарифм Потому что это не логарифм X а логарифм какого-то выражение вспоминаем производную сложной функции а Разбираем её по частям G от x внутрення функция - это x - 9 а производная g' от x конечно же равна едини и f от g f от G Самое главное чтобы на девятку не было похоже Да это логарифм от G Ну на самом деле если я вместо G напишу X -9 то получу в точности вот эту у сложную функцию но производный логарифма все прекрасно знаем табли пот увидели что есть еди на Что такое это x - 9 и тогда производная нашей функции мы должны перемножить вот эти две производные и 2 перемножают просто 0 то есть получаем 1 x - 9 - 10 всё производная найдена теперь Прив е к нулю для чего для того чтобы найти подозрительные точки стационарные критически там где производная соответственно равна нулю Что мы с вами видим Мы видим что дробь 1 на x - 9 равняется 10 Ну а что такое 10 Давайте вот так напишем лучше 10 пер Ну правило пропорции же перед нами в честном виде Да x - 9 у 10 это 1 у 1 тогда x - 9 - это 1 по 10 то есть 1 Ну тогда x 9 можно было бы успокоиться но давайте для очистки совести пройдём исследовани функции чит мы нашли точку 9,1 Ну собственно это и есть наш ответ да убеждаемся что X должен быть больше девяти одз десятиклассники Не пугайтесь мы с вами потом в течение всего года узнаем что это за Роки и страшные буквы и научимся не бояться их берём число которое больше чем 9,1 де Ну например 10 и вот сюда в производную подставляем 1 / 1 - это 1 1 - 10 - это -9 то есть число три Ну а значит здесь положительно почему это так Мет интервалов Кто знает что это такое Замечательно Поделитесь в комментариях Кто не знает на летней школе мы обязательно про это будем максимально подробно говорить Итак функция росла функция бывала мы пришли соответственно в точку Максима но раз точку максимум значит ответ 9,1 - Это наш ответ всё первая часть полностью разобрана Итак первая часть разобрана А где же вторая Но второю мы с вами разберём отдельно в прямом эфире поэтому выпускники я вас приглашаю а кто смотрит записи просто Посмотрите этот ролик в записи Итак одиннадцатиклассники выдохнули экзамен математики сдан десятиклассники мотайте на ус Вот это через год у вас должно получаться легко и просто чтобы 70 баллов за первую часть вы все легко получали увидимся с вами на канале С вами был Андрей Павликов так