Sigmaumgebung, Sigmaintervalle, Hypothesentest | Mathe by Daniel Jung

Ja nochmal ein Streifzug durch Sigma-Umgebungen. Egal wo ihr jetzt hockt, ob ihr vielleicht beim Testen von Hypothesen seid und auf signifikante Abweichungen überprüfen wollt, wenn man sich das visualisieren kann, ist das immer besser. Ihr habt, sagen wir mal als Beispiel, x-tausend Leute gefragt, liebt ihr Mathe oder nicht? Es gibt einen gewissen prozentualen Wert, der wohl so im Raum steht, ob man Mathe liebt oder nicht. Und dann kann man eben einen Erwartungswert berechnen. Den Erwartungswert µ, wo mit der höchsten Wahrscheinlichkeit entsprechend die Leute sagen, sie lieben Mathe. Und jetzt wird vielleicht weiter getestet und die Frage ist, ob es denn weiterhin so besteht. Der Erwartungswert hat einen gewissen Wert. Wenn wir jetzt von einem normalverteilten Zusammenhang dann ausgehen, sprich zuerst wir fragen Personen, wir fragen sie unabhängig voneinander. Es liegt ein binomialverteilter Zusammenhang vor und wir können dann aufgrund der Größe mit der Normalverteilung annähern. Wir haben dann eine Standardabweichung vom Erwartungswert und die Standardabweichung, ja Sigma, gibt dann einen Bereich an und das ist das Erste, was man verstehen muss. Wir haben hier dann von µ ausgesehen minus Sigma nach links weg und hier µ plus Sigma nach rechts weg. Das heißt, wir haben dann von dem Wert bis zu dem Wert ein Intervall und vielleicht ist es erstmal grob gut zu wissen, wie viel Prozent aller Werte in diesem Intervall liegen. In dieser einen Sigma-Umgebung von hier, naja fast getroffen, bis hier, in diesem Bereich liegen ungefähr 68,3 Prozent aller Werte. Und jetzt gibt es noch die 2- und 3-Sigma-Umgebung. Wenn man jetzt auf die 2-Sigma-Umgebung geht, von hier bis hier, dort haben wir insgesamt ca. 95,5 Prozent aller Werte, die in diesem Bereich liegen. Und dann hätten wir noch, ich mache es nur grob, reiße ich es an, ja, das wäre dann die 3-Sigma-Umgebung und in diesem Bereich liegen ca. 99,7 Prozent aller Werte. Man kann sich schon vorstellen, wenn man aus diesem Bereich rauskommt, dann hat man eine hochsignifikante Abweichung. Beim Testen von Hypothesen werden meistens, ja ich sage jetzt mal, glatte Prozentwerte genommen. Deshalb braucht man dann nicht die 1-, 2- oder 3-Sigma-Umgebungen, sondern dann kommen Werte zustande, wie zum Beispiel, wir sind jetzt hier um 2-Sigma abgewichen vom Erwartungswert, ja, 2-Sigma. Und wenn man nicht um 2-Sigma abweicht, sondern erstmal um, ich versuche es mal hier oben so deutlich zu machen, hierhin, so, da bin ich jetzt um Plus und Minus 1,64-Sigma abgewichen, ja, also das 1,64-Fache von Sigma abgezogen vom Erwartungswert und addiert und in diesem Bereich liegen exakt 90 Prozent aller Werte. Das ist relativ relevant zu wissen, wenn man beim einseitigen oder zweiseitigen Hypothesentest arbeitet. Ich komme da gleich noch mal drauf zu sprechen. Es gibt dann, ich muss mal so ungefähr genau zwischen hier bis hier ungefähr, so von hier bis hier haben wir 1,96-Sigma nach links und nach rechts abgezogen und addiert. In diesem Bereich liegen 95 Prozent aller Werte. Und dann haben wir entsprechend noch, versuche ich mal eben 2,53, das geht so ungefähr von hier bis hier, hier haben wir 2,58-Fache von Sigma abgezogen, dazu addiert. In diesem Bereich liegen exakt 99 Prozent aller Werte. So, da muss man sich jetzt vorstellen, wenn man jetzt zum Beispiel testet, gibt es ja den einseitigen Test und den beidseitigen Test, deshalb fragen viele auch immer ja, welchen Wert nehme ich denn jetzt? Da muss man eben aufpassen, wenn ich einen beidseitigen Test mache auf 5 Prozent Irrtumswahrscheinlichkeit, beidseitig, zweiseitig auf 5 Prozent, dann teilen sich die 5 Prozent ja auf 2,5 und 2,5 auf und diese 2,5 und 2,5, dann bleiben in der Mitte 95 Prozent übrig, deshalb haben wir dann 1,69 als Wert für das so und so vielfache von Sigma. Wenn ich einen beidseitigen Test auf 5 Prozent Irrtumswahrscheinlichkeit mache, wenn ich einen einseitigen auf 5 Prozent Irrtumswahrscheinlichkeit mache, einen einseitigen Test auf 5 Prozent Irrtumswahrscheinlichkeit, dann haben wir ja zum Beispiel, wenn ich hier auf der Seite 5 Prozent habe, jetzt Achtung, der Seite 5 Prozent habe und will an hier einen markanten Wert kommen, ja, dann sind ja hier auch 5 Prozent übrig, ja, so, ja, dann haben wir insgesamt 5 und 5 sind 10, dann bleiben in der Mitte 90 übrig und deshalb muss ich beim einseitigen Test auf 5 Prozent das 1,64 fache nehmen. Nochmal, da kommen viele durcheinander, dass man dann sagt, naja gut, jetzt habe ich ja beim zweiseitigen Test auf 5 Prozent Irrtumswahrscheinlichkeit, habe ich das 1,96 fache genommen, aber das ruht daher beim zweiseitigen Test, 5 Prozent teilen sich auf auf 2,5 und 2,5, bleiben 95 übrig in der Mitte und wenn ich jetzt einen einseitigen auf 5 Prozent mache, dann habe ich ja hier 5 Prozent und wenn ich mit der Sigma-Umgebung spiele, 5 Prozent und hier 5 Prozent bleiben 90 hier übrig, deshalb muss ich das 1,64 fache nehmen. Das einfach nur mal um das, wenn man sich das so visualisieren kann, dann macht es einem das Ganze etwas einfacher und grundsätzlich sollte man verstehen, wir haben einen zu erwartenden Wert, ja, bei einer, ich sage jetzt mal auch bestehenden Hypothese und je weiter ich natürlich dann auch bei den Überprüfungsergebnissen oder bei den Testergebnissen davon abweiche, desto unwahrscheinlicher wird, dass es immer noch diese Wahrscheinlichkeit ist und natürlich auch, wenn man das optisch jetzt so sieht, je weiter ich nach rechts abweiche, desto naheliegender ist es, dass die eigentliche Wahrscheinlichkeit, mit der etwas dann auch eintritt, sich erhöht hat und je weiter ich nach links abweiche, desto eher ist es wohl der Fall, dass die Wahrscheinlichkeit sich verringert hat. Das nun mal als so kleiner Streifzug für die Sigma-Umgebungen mit den entsprechenden Werten, die auch dahinter stecken, was eben beim Testen passieren kann, dass man sich das eben auch vorstellt, wie sind so die Bereiche aufgeteilt und dann kommt man hoffentlich locker eigentlich dadurch.