Teilbarkeit durch ein Produkt

so jetzt schauen wir uns mal die zweite Aufgabe an die zweite Aufgabe war ja untersucht mal Aussagen der folgenden Struktur wenn eine Zahl wenn eine Zahl durch a teilbar ist durch A und durch B teilbar ist dann ist sie auch durch a mal B teilbar so und die Aufgabe war gilt es für alle A und B egal was ich da nehme also wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist durch 3 dann ist sie durch 6 teilbar wenn eine Zahl durch 3 und durch 5 teilbar ist ist durch 15 teilbar wenn eine Zahl durch 2 und durch 6 teilbar ist ist ja auch durch 12 teilbar und so weiter gilt das immer und wenn nein wann gilt's denn habt ihr da was rausgefunden habt ihr da mal verschiedene Zahlenkombinationen getestet ich will nicht das Endergebnis wi bitte sonder einfach nur habt ihr mal Beispiele getestet und welche gefunden bei denen es vielleicht nicht funktioniert hat ja ja also du hast getestet a = 2 und B = 10 also wenn eine Zahl durch 2 teilbar ist und durch 10 dann ist sie auch durch 20 teilbar stimmt das denn stimmt das ich muss nur prüfen ob eine Zahl durch zwe teilbar ist und durch 10 und dann ist auch durch 20ber du nist stimmt alle einverstanden ja bei der 30 geht's nicht ne die 30 ist durch 2 teilbar und durch 10 aber nicht durch 20 okay haben wir schon ein Gegenbeispiel gefunden ich schreib mal die 30 hinten dran ne also die Regel gilt nicht wenn eine Zahl durch 2 und durch 10 teilbar ist dann ist sie auch durch 20 teilbar nein gilt nicht habt ihr andere Beispiele gefunden ja a = 2 und B = 5 und da hast Du durch und gilt es oder nicht ist die Zahl dann no durch 10 teilbar ja genau also wir können vielleicht von hinten aufzäumen das Pferd eine zah ist durch 5 teilb wenn sie auf 0 oder 5 endet und eine Zahl ist durch z teilbar wenn sie auf 0 2 4 6 oder 8 endet wenn also eine Zahl auf 2 durch 2 teilbar ist und durch 5 muss sie auf 0 Enden gibt keine andere Möglichkeit ne hier muss sie auf 0 oder 5 enden da auf 0 2 4 6 oder 8 also wenn beides kombiniert wird muss ja auf ull Enden ist also eine durch 10 teilbare Zahl dann ist auch durch 2 und durch 5 okay also hier geht's und bei was es auch geht ist bei A = 2 und B = 3 dann ist ja auch durch 6 teilbar da geht's auch hat jemand noch ein Gegenbeispiel zwei Zahlen A und B bei denen die Zahl nicht durch a mal B teilbar ist ja aha Moment A = 4 B = 6 die Behauptung ist wenn A dur 4 teil ist wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist und durch 6 dann ist sie auch durch 24 teilbar stimmt das fragen wir mal die anderen eine Zahl ist durch 4 teilbar und durch 6 ist sie dann auch durch 24 teilbar ihr müsst jetzt Detektiv spielen oder Detektiven bet eine Zahl die durch 4 und durch 6 teilbar ist aber nicht durch 24 scharf hinschauen gibt's eine Zahl die durch 4 und durch 6 teilbar ist aber nicht durch 24 ja die 12 genau die 12 ist durch 4 teilbar und durch 6 aber nicht durch 24 auch machen wir noch ein Beispiel ja genau das ist eins der einfachsten Beispiele ne eine Zahl ist durch 2 teilbar und durch 4 also ist sie auch durch a teilbar stimmt das alle mal gefragt detektivpielen ist die eine Zahl die durch zwei teilbar ist und durch 4 aber nicht durch 8 und ich möchte jetzt das einfachste aller Gegenbeispiele haben sucht ein Gegenbeispiel das so einfach wie möglich ist so klein wie möglich ja vi genau ne die vier ist durch 2 teilbar und durch 4 aber nicht durch 8 so also wir haben ein paar Zahlen gefunden bei denen es funktioniert und ein paar Zahlen bei denen es nicht funktioniert jetzt möchte ich mit euch gemeinsam uns eine Regel überlegen welche Eigenschaft müssen A und B erfüllen damit die Regel gilt wer hat eine Idee welche Eigenschaften müssen a& B erfüllen ja wenn beide Zahlen gerade sind gilt die Regel nicht stimmt und das aber wenn beide du s würdest jetzt sagen wenn beide nicht gerade sind gilt die Regel ne eine also was muss sein Was muss der Fall sein wann würdest sagen gilt die Regel was müssen A und B erfüllen eine muss ungerade sein und die andere gerade okay eine Zahl ist durch 3 teilbar und die andere durch se ist sie dann durch 18 teilbar Detektiv welche nee nee ne warum nicht sech ist das Gegenbeispiel ne 6 ist durch 3 teilbar und durch 6 aber nicht durch 18 weiterüberlegen wer hat eine Idee woran können es liegen ja genau A und B müssen Primzahlen sein dann klappt's A = 4 b = 5 wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist und durch 5 dann behaupte ich sie es auch durch 20 teilbar obwohl a keine Primzahl ist stimmt das wenn eine Zahl durch 4er teilbar ist und durch 5 ist ja auch durch 20 teilbar du nist schon ja okay ist tatsächlich so du bist aber auf der richtigen Spur die Bedingung ist nicht A und B müssen Primzahlen sein hat jemand eine andere Idee ja also nicht eine allgemeine Regel aber okay also be 4 5 oder wenn A und B aufeinander folgen ja richtig ja stimmt sehr gut sehr gut ja wenn zwei Zahlen aufeinander folgen 12 und 13 17 und 18 und so weiter da würde das funktionieren tatsächlich aber es gibt noch mehr z.B bei 3 und oder bei 2 und 5 die Folgen nicht aufeinander und geht trotzdem wir brauchen irgende andere Eigenschaft [Musik] ja wenn bei der Primfaktorzerlegung nur ein einziger Primfaktor drin vorkommt meinst du das dann müss es bei beiden Zahlen der Fall sein bei beiden beide müssen eine primzahlpotenz sein dann funktioniert das A = 4 B = 15 wenn eine Zahl durch 4 teilbar ist und durch 15 dann ist sie auch durch 60 teilbar stimmt verrate ich euch jetzt aber die 15 ist keine primzahlpotenz sondern 3 x 5 ne ja ja du sehr schön A* B muss die kleinste Zahl sein die durch A und B teilbar ist das heißt anders formuliert brauch jetzt ein bisschen Platz ich ma mal die ja ich mach das H mal weg das kleinste gemeinsame Vielfache von A und B muss A* B sein das hast du gerade formuliert das kleinste gemeinsame Vielfache von A und B muss A* B sein schauen wir mal das kleinste gemeinsame Vielfache von 2 und 10 ist 10 nicht 20 funktioniert nicht das kleinste gemeinsame Vielfache von 44 ist 60 stimmt also gilt die Regel es gibt noch also herzlichen Glückwunsch du hast die Regel gefunden es gibt noch eine Alternative Formulierung die äquivalent ist zu das kleinste gemeinsame Vielfache von A und B ist a mal B nämlich weiß es jemand ja dass A nicht durch B teilbar sein darf ja aber 2 ist auch nicht durch 10 teilbar oder ja ja ja es geht schon in die richtige Richtung ja ja genau die dürfen keinen gemeinsamen Teile haben außer die eins das heißt der größte gemeinsame Teiler von A und B = 1 oder man sagt do dass die beiden Zahlen Teiler fremd sind ne Teiler fremd heißt der größte gemeinsame Teiler ist 1 die haben keinen anderen Teiler gemeinsam außer ein die überlappen nicht in ihrer Primfaktorzerlegung ja wenn die irgende Überlappung haben wenn da zwei bei beiden vorkommt oder so also z. be a ist 2 x 2 wenn A 4 ist also 2 x 2 und B ist 6 2 x 3 dann haben die beide ein Teiler gemeinsam die 2 und dann kann ich eine Zahl konstruieren die durch 4 und durch 6 teilbar ist aber nicht durch 24 nämlich einfach indem ich ein von den beiden Streiche habe ich 2 x 2 x 3 = 12 und durch vi teilbar und 12 ist durch se teilbar wenn die beiden Zahlen sich überlappen in derer Primfaktor Zerlegung dann gilt nicht wenn Zahl durch A und B teilbar ist dann ist sie auch durch A und B Teil A mal B teilbar ja sondern sie müssen Teiler fremd sein das heißt keinen gemeinsam Teiler haben außer die eins dann klappt das okay die Zeit ist leider um wir haben jetzt keine Zeit mehr da noch drüber nachzudenken versucht es noch mal zu Hause nachzuvollziehen anhand von Beispiel wir ausgerechnet haben und Stopp der Lehrer beendet den Unterricht